數(shù)學立體幾何復習

1、第一節(jié)第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖基礎梳理基礎梳理1. 多面體(1)有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.(2)有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.(3)用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺.2 旋轉(zhuǎn)(1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.(2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐.(3)以半圓的直徑

2、所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球.3. 三視圖和直觀圖(1)三視圖是從一個幾何體的正前方、正左方、正上方三個不同的方向看這個幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.(2)三視圖的排列順序:先畫正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方.(3)三視圖的三大原則:長對正、高平齊、寬相等.(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法：在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應的x軸和y軸,兩軸相交于O,且使xOy=45(或135),用它們確定的平面表示水平面.已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分

3、別畫成平行于x軸或y軸的線段.已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?典例分析典例分析題型一題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說出幾何體的名稱.(1)由八個面圍成,其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面都是矩形;(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180形成的封閉曲面所圍成的圖形;(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.分析分析 要判斷幾何體的類型,從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、錐、臺的定義為依據(jù)，把復雜的幾何體分割成

4、幾個簡單的幾何體.解解 (1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個面平行,其余六個面都是矩形,可使每相鄰兩個面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱.(2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺.(3)如圖3所示,由梯形ABCD的頂點A引AOCD于O點,將直角梯形分為一個直角三角形AOD和矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體,該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成.圖1 圖2 圖3學后反思學后反思 對于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題,要對原平面圖形作適當?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征進行判斷.舉一反三舉一反三. 1

5、 觀察如圖幾何體,分析它們是由哪些基本幾何體組成的,并說出主要結(jié)構(gòu)特征.解析解析 (1)是一個四棱柱和一個四棱錐組成的,它有9個面,9個頂點,16條棱.(2)是由一個四棱臺、一個四棱柱和一個球組成的,其主要結(jié)構(gòu)特征就是相應四棱臺、四棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征.題型二題型二 柱、錐、臺中的計算問題柱、錐、臺中的計算問題【例2】正四棱臺的高是17 cm,兩底面邊長分別是4 cm和16 cm,求棱臺的側(cè)棱長和斜高.分析分析 求棱臺的側(cè)棱長和斜高的關鍵是找到相關的直角梯形,然后構(gòu)造直角三角形,解決問題.解解 如圖所示,設棱臺的兩底面的中心分別是 、O, 和BC的中點分別是 和E,連接 、 、 、OB、 、OE

6、,則四邊形 和 都是直角梯形. =4 cm,AB=16 cm, =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,=19 cm,棱臺的側(cè)棱長為19 cm,斜高為 cm.11BC1O1E1OO1E E11O B11O E11OBBO11OEEO11AB11O E11O B22221111B BOOOBO B2211115 13E EOOOEO E5 13學后反思學后反思 （1）把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解是解決立體幾何問題的常用方法.（2）找出相關的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵，正棱臺中許多元素都可以在直角梯形中求出.舉一反三舉一反三2. （2009上海）若等腰直角三角形的直角邊

7、長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積是_.解析解析 如圖，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐.V= Sh= h= 2= .13132R132283答案答案 83題型三題型三 三視圖與直觀圖三視圖與直觀圖【例3】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫出它的三視圖.分析分析 螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫三視圖的三大原則“長對正，高平齊，寬相等”畫出.解解 該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的,正視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面,俯視圖反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合).它的三視圖如下圖:學后反思學

8、后反思 在繪制三視圖時,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實線畫出.例如上圖中,表示上面圓柱與下面棱柱的分界線是正視圖中的線段AB、側(cè)視圖中的線段CD以及俯視圖中的圓.舉一反三舉一反三3. (2008廣東)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示,A、B、C分別是GHI三邊的中點)得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為 ( )解析解析 由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面AED底面EFD,則側(cè)視圖必為直角梯形,且線段BE在梯形內(nèi)部.答案答案 A題型四幾何體的直觀圖題型四幾何體的直觀圖【例4】(12分)用斜二測法畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.分析分析

9、 畫水平放置的直觀圖應遵循以下原則:(1)坐標系中xOy=45;(2)橫線相等,即AB=AB,CD=CD;(3)豎線是原來的 ,即OE= OE.1212畫法畫法 (1)如圖1,取AB所在直線為x軸,AB中點O為原點,建立直角坐標系,.3畫對應的坐標系xOy,使xOy=45.5(2)以O為中點在x軸上取AB=AB,在y軸上取OE= OE,以E為中點畫CDx軸,并使CD=CD10(3)連接BC、DA,所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖2.12 圖1 圖2 12學后反思學后反思 在原圖形中要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担话闳D形中的某一橫線為x軸，對稱軸為y軸，或取兩垂直的直

10、線為坐標軸，原點可建在圖形的某一頂點或?qū)ΨQ中心、 中點等.坐標系建得不同，但畫法規(guī)則不變，關鍵是畫出平面圖形中相對應的頂點.舉一反三舉一反三4. 如圖所示，矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中OA=6 cm，OC=2 cm，則原圖形是 （）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四邊形解析解析 在直觀圖中，平行于x軸的邊的長度不變，平行于y軸的邊的長度變?yōu)樵瓉淼?，原圖中，OA=6 cm,OD=4 cm，OC=6 cm,BC=AB=6 cm，原圖形為菱形.答案答案 C122易錯警示易錯警示【例】畫出如圖1所示零件的三視圖.錯解錯解 圖1的零件可看做是一個半圓柱、一個柱體、

11、一個圓柱的組合,其三視圖如圖2. 圖1 圖2錯解分析錯解分析 錯誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時應畫出其交線.正解正解考點演練考點演練10. （2010濰坊模擬）如圖，已知正四棱臺ABCD- 的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則線段 的長是_.1111ABC D1BC1B解析解析 連接上底面對角線 的中點 和下底面BD的中點O，得棱臺的高 ，過點 作 的平行線交BD于點E，連接CE.在BCE中，由BC=2，BE= ,CBE=45，利用余弦定理可得CE= ，故在Rt 中易得答案答案 11B D1O1OO1OO221021B EC2211014122BC14211

12、. 圓臺的兩底面半徑分別為5 cm和10 cm,高為8 cm,有一個過圓臺兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分別為3 cm和6 cm,求截面面積.解析解析 如圖所示截面ABCD,取AB中點F,CD中點E,連接OF, ，EF, ,OA,則 為直角梯形,ABCD為等腰梯形,EF為梯形ABCD的高,在直角梯形 中, （cm），在Rt 中， （cm）,同理, （cm）,1O E1O D1O EFO1O EFO221173EFOOOFO E1O ED22114DEO DO E228AFOAOF212487312 732ABCDScm 梯形12. 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3

13、倍,軸截面的面積等于392 ,母線與軸的夾角是45,求這個圓臺的高、母線長和兩底面半徑.2cm解析解析 圓臺的軸截面如圖所示,設圓臺上、下底面半徑分別為x cm,3x cm.延長 交 的延長線于S,在RtSOA中,ASO=45,則SAO=45,SO=AO=3x, =x， =2x,又 ,x=7.故圓臺的高 =14 cm,母線長 = =14 cm,兩底面半徑分別為7 cm,21 cm.1AA1OO111SOAO1OO1=6223922Sxxx軸截面1OOl12OO2第二節(jié)第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積基礎梳理基礎梳理1. 柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面

14、積是各個面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2. 把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.3. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積22S=2,=2;=,=;,.rl Sr rlSrl Sr rlSrr l Srrr lrl圓柱側(cè)柱圓錐側(cè)錐圓臺側(cè)臺4. 柱、錐、臺體的體積這是柱體、錐體、臺體統(tǒng)一計算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺還可以分別寫成: 5. 球的體積及球的表面積設球的半徑為R, 222211= r,=r,33Vh Vh Vh rr rr圓柱圓錐圓臺324=RS =4 R3V球球，31=,=a ,=,V =Sh31=3Vabc VVShVSSS

15、Sh長方體正方體柱錐臺典例分析典例分析題型一題型一 幾何體的表面積問題幾何體的表面積問題【例1】已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30 cm和20 cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺的高.分析分析 要求正棱臺的高，首先要畫出正棱臺的高，使其包含在某一個特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問題，由已知條件列出方程，求解所需的幾何元素.解解 如圖所示,正三棱臺ABC- 中,O、 分別為兩底面中心,D、 分別為BC和 中點,則 為棱臺的斜高.設 =20,AB=30,則OD=5 , = ,由 ,得在直角梯形 中,棱臺的高為4 cm.111ABC1O11BC1D1DD11AB11O D310 33=+SS

16、S下側(cè)上2211320+303 DD =20 +3024 113DD =3311O ODD221111O O= DD -4 3ODO D3學后反思學后反思 (1)求解有關多面體表面積的問題,關鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖.（2）借助于平面幾何知識,利用已知條件求得所需幾何要素.舉一反三舉一反三1. 圓臺側(cè)面的母線長為2a,母線與軸的夾角為30,一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和.解析解析 如圖,設圓臺上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,ASO=30,在RtSOA中, =sin 30,SA=2r.在RtSOA

17、中, =sin 30,SA=4r.SA-SA=AA,即4r-2r=2a,r=a.圓臺上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為 .rSA2rSA222212255SSSrrra25 a題型二題型二 幾何體的體積問題幾何體的體積問題【例2】已知四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4 cm，8 cm，側(cè)棱長為8 cm，求它的側(cè)面積和體積.分析分析 由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺的高,然后利用平面圖形面積公式和臺體體積公式求得結(jié)論.解解 如圖,設四棱臺的側(cè)棱延長后交于點P,則PBC為等腰三角形,取BC中點E,連接PE交 于點 ,則PEBC, E為側(cè)面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上

18、底面于點 ,連接 、OE.在P 和PBC中, , 為PB的中點, 為PE的中點.在RtPEB中,11BC1E1E1O11O E11BC1114182PBBCPBBC118PBB B1B1E22221644 15PEPBBE112 152E EPE在RtPOE中,1 111111111222212P-ABCDP A B C D1ABCDA B C D2224 1544 1412 14.21=4S4482 1548 152=V11SPOSPO3311224 1484 1442 14333BCC BPOPEOEcmOOPOcmScmVVcm四棱臺側(cè)梯形四棱臺四棱錐四棱錐四邊形四邊形學后反思學后反思

19、（1）求棱臺的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關系式中的未知量與滿足題設條件中幾何圖形元素間關系的“橋梁”.（2）平行于棱臺底面的截面分棱臺的側(cè)面積與體積比的問題，通常是“還臺為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺為錐”借助于軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，求出相關數(shù)據(jù)，進行計算.“還臺為錐”是解決棱臺問題的重要方法和手段.舉一反三舉一反三2. 如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且ADE、BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為 .解析解析 如圖,分別過A、B作E

20、F的垂線,垂足分別為G、H,連接DG、CH,易求得EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,答案答案 12321221,22412112121342342423AGDBHCE ADGF BHCAGD BHCSSVVVV 23題型三題型三 組合體的體積和表面積問題組合體的體積和表面積問題【例3】(12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E為AB的中點,將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱錐的外接球的體積.分析分析 易知折疊成的幾何體為棱長為1的正四面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即可.解解 由已知條件知,在平面圖形中,AE=EB=

21、BC=CD=DA=DE=EC=1.1所以折疊后得到一個正四面體.方法一:如圖，作AF面DEC,垂足為F,F即為DEC的中心3取EC中點G,連接DG、AG,過外接球球心O作OH面AEC,則垂足H為AEC的中心.5外接球半徑可利用OHAGFA求得.AG= ,AH= AG= ，AF= , 7322333236133在AFG和AHO中,根據(jù)三角形相似可知, .10外接球體積為 .12方法二:如圖,把正四面體放在正方體中.顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接球.4正四面體棱長為1,正方體棱長為 ,.6外接球直徑2R= ,10R= ,體積為 1233623463AG AHOAAF33446 663348

22、OA22232643466()348學后反思學后反思 (1)折疊問題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一,解決這類問題要注意對翻折前后線線、線面的位置關系，所成角及距離加以比較.一般來說，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對位置的關系和數(shù)量關系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個半平面內(nèi)的元素其相對位置關系和數(shù)量關系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量應在折后立體圖形中求證.對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（2）由方法二可知，有關柱、錐、臺、球的組合體，經(jīng)常是把正方體、長方體、球作為載體，去求某些量.解決這類問題，首先要把這些載體圖形的形狀、特點及性質(zhì)

23、掌握熟練，把問題進行轉(zhuǎn)化，使運算和推理變得更簡單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個非常重要的思想方法.舉一反三舉一反三3. 已知正四棱錐的底面邊長為a,側(cè)棱長為 a.求它的外接球的體積.2解析解析 設外接球的半徑為R,球心為O,則OA=OC=OS,所以O為SAC的外心,即SAC的外接圓半徑就是外接球的半徑,AB=BC=a,AC= a,SA=SC=AC= a,SAC為正三角形.由正弦定理,得2203322 62sinsin603648 6,R3327ACaRaASCaRVa球易錯警示易錯警示涉及組合體問題，關鍵是正確地作出截面圖形，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題進行解決，解此類問題時往往因不能正確地

24、作出截面圖形而導致錯誤.【例】已知球的內(nèi)接正方體的體積為V，求球的表面積.錯解分析錯解分析 過球內(nèi)接正方體的一個對角面作球的大圓截面，得到一個矩形，矩形的對角線長為 x，不是 x.32錯解錯解 如圖所示，作圓的內(nèi)接正方形表示正方體的截面，設正方體的棱長為x，球半徑為R，則有 =V, x=2R，解得3x232232,422RVSRV球正解正解 如圖所示，過正方體的對角面作球的大圓截面，設正方體的棱長為x，球半徑為R,則有 =V, x=2R，解得3x332233,4 R3V2RVS球考點演練考點演練10. （2009遼寧）設某幾何體的三視圖如下（長度單位為m）：求該幾何體的體積.解析解析 三視圖所

25、對應的立體圖形如圖所示.由題意可得平面PAC平面ABC，V= 432=4( ).11323m11. 如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱 =8.若側(cè)面 水平放置時，液面恰好過AC、BC、 、 的中點.當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為多少？1AA11AAB B11AC11BC解析解析 當側(cè)面 水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面ABFE為梯形，設ABC的面積為S，則11AAB B34ABFESS 當?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設水面高為h，則有 =Sh，6S=Sh,h=6.故當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為6.1364VS AAS水V水12. （2009廣東改編）某高速公路收費站

26、入口處的安全標識墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長方體ABCD-EFGH.圖2、圖3分別是該標識墩的正視圖和俯視圖.（1）請畫出該安全標識墩的側(cè)視圖；（2）求該安全標識墩的體積. 圖1 圖2 圖3 解析解析 （1）側(cè)視圖同正視圖，如圖2所示.（2）該安全標識墩的體積為2231V406040203320003200064000()P EFGHABCD EFGHVVcm第三節(jié)第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關系空間點、直線、平面之間的位置關系基礎梳理基礎梳理1. 平面的基本性質(zhì)名稱 圖形 文字語言 符號語言公理1如果一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個

27、平面內(nèi) 公理2經(jīng)過不在同一條直線上的三個點確定一個平面 A、B、C不共線A、B、C平面且是唯一的 公理3如果不重合的兩個平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過這個點的公共直線 若P,P,則=a,且Pa ,Al Bl ABl 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 若ab,bc,則ac 公理2的推論 推論1 經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面 若點A直線a,則A和a確定一個平面 推論2兩條相交直線確定一個平面 ab=P 有且只有一個平面,使a,b 推論3兩條平行直線確定一個平面 ab 有且只有一個平面,使a,b2. 空間直線與直線的位置關系(1)位置關系 相交 共面 共面與否 平行

28、 異面 一個公共點:相交公共點個數(shù) 平行 無公共點 異面(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.（4）異面直線的夾角定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點O作直線aa,bb，我們把兩相交直線a、b所成的角叫做異面直線a、b所成的角（或夾角）.范圍：（0, .特別地，如果兩異面直線所成的角是 ，我們就稱這兩條直線垂直，記作ab.3. 空間中的直線與平面的位置關系 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 直線與平面相交有且只有一個公共點 直線在平面外 直線與平面平行無公共點4. 平面與平面的位置關系平行無公共點

29、相交有且只有一條公共直線22典例分析典例分析題型一題型一 點、線、面的位置關系點、線、面的位置關系【例1】下列命題:空間不同三點確定一個平面;有三個公共點的兩個平面必重合;空間兩兩相交的三條直線確定一個平面;三角形是平面圖形;平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形;垂直于同一直線的兩直線平行;一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交;兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是_.分析分析 根據(jù)公理及推論作判斷.解解 由公理2知,不共線的三點才能確定一個平面,所以命題、均錯,中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當這三個公共點共線時);空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點,若為三

30、個交點,則這三線共面,若只有一個交點,則可能確定一個平面或三個平面;正確;中平行四邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;如圖,在正方體ABCD-ABCD中,直線BBAB,BBBC,但AB與BC不平行,所以錯;ABCD,BBAB=B,但BB與CD不相交,所以錯;四邊形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四邊形,所以也錯.學后反思學后反思 平面性質(zhì)的三個公理及其推論是論證線面關系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應用.舉一反三舉一反三1. 給出下列命題：如果平面與平面相交,那么它們只有有限個公共點;經(jīng)過空間任意三點的平面有且只有一個;如果兩個

31、平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合為一個平面;不平行的兩直線必相交.其中正確命題的序號為_.解析解析 由公理3知，錯;由公理2知，錯;對;不平行的兩直線可能異面，故錯.答案答案 題型二題型二 證明三點共線證明三點共線【例2】已知ABC的三個頂點都不在平面內(nèi),它的三邊AB、BC、AC延長后分別交平面于點P、Q、R.求證:P、Q、R三點在同一條直線上.分析分析 要證明P、Q、R三點共線,只需證明這三點都在ABC所在的平面和平面的交線上即可.證明證明 由已知條件易知,平面與平面ABC相交.設交線為 ,即 =面ABC.PAB,P面ABC.又PAB,P,即P為平面與面ABC的公共點,P .同理

32、可證,點R和Q也在交線 上.故P、Q、R三點共線于 .lllll學后反思學后反思 證明多點共線的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個平面的交線，再證明各個點都是這兩個面的公共點，即在交線上，則多點共線.或者，先證明過其中兩點的直線是這兩個平面的交線，然后證明第三個點也在交線上.同理，其他的點都在交線上，即多點共線.舉一反三舉一反三2. 如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點,且直線EF和GH交于點P,如圖所示.求證:點B、D、P在同一條直線上.證明證明 由于直線EF和GH交于點P,

33、PEF,又EF平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD與平面CBD的交線BD上,即B、D、P三點在同一條直線上.題型三題型三 證明點線共面證明點線共面【例3】求證:兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).分析分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點，故有兩種情況：一種是三條交于一點，另一種是任何三條都不共點，故分兩種情況證明.要證明四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直線在這個平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個平面內(nèi)，故四線共面.證明證明 (1)如圖,設直線a,b,c相交于點O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點,直線d和點O確定平面,由O平面,A平

34、面,O直線a,A直線a,知直線a平面.同理b平面,c平面,故直線a,b,c,d共面于.(2)如圖,設直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點,交點分別是M,N,P,Q,R,G,由直線ab=M,知直線a和b確定平面.由ac=N,bc=Q,知點N、Q都在平面內(nèi),故c.同理可證d,故直線a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點的四條直線必在同一平面內(nèi).學后反思學后反思 證多線共面的方法：（1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個平面內(nèi).同理其他直線都在這個平面內(nèi).（2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.舉一反三舉一反

35、三3. 在正方體ABCD- 中,E是AB的中點,F是 的中點.求證:E、F、 、C四點共面.1111ABC D1AA1D證明證明 如圖，連接 ,EF, .E是AB的中點,F是 的中點,EF . ,EF .故E、F、 、C四點共面.1AB1CD1AA1AB1CD1AB1CD1D題型四題型四 異面直線及其所成角的問題異面直線及其所成角的問題【例4】(2008全國)已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE、SD所成的角的余弦值為 （）A. B. C. D. 13233323分析分析 通過作平行線找到AE與SD所成的角，再利用三角形求解.解解 如圖，連接AC、BD交于點

36、O，連接OE.因為OESD，所以AEO為所求.設側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在AEO中，OE=1，AO= ，AE= ，于是cosAEO= .故選C.232223123323 1學后反思學后反思 求異面直線所成的角的方法：（1）根據(jù)平行線定義，作出異面直線所成的角.（2）證明作出的角是異面直線所成的角.（3）在三角形內(nèi)求得直線所成角的某個三角函數(shù)值.舉一反三舉一反三4. 在四面體A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60，點M，N分別是BC，AD的中點.求直線AB與MN所成的角的大小.解析解析 如圖，取BD中點E，連接NE，EM，則EN AB,EM CD,故EMN為等腰三角形，由條件MEN=6

37、0，EMN為等邊三角形，且ENM即為AB與MN所成的角，ENM=60./ /12/ /12題型五題型五 證明三線共點證明三線共點【例5】(12分)已知四面體A-BCD中,E、F分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上的點,且 .求證:直線EG、FH、AC相交于同一點P.2BGDHGCHC分析分析 先證E、F、G、H四點共面，再證EG、FH交于一點，然后證明這一點在AC上.證明E、F分別是AB、AD的中點,EFBD且EF= BD.2又 ,GHBD且GH= BD,EFGH且EFGH,4四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設兩腰EG、FH的延長線相交于一點P,.6EG平面ABC,FH

38、平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.8又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10故直線EG、FH、AC相交于同一點P12122BGDHGCHC13學后反思學后反思 證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理3可知，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點.舉一反三舉一反三5. 如圖所示,已知空間四邊形ABCD,點E,F,G,H,M,N分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點.求證:三線段EG,FH,MN交于一點,且被該點平分.證明證明 如圖所示,連接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.E

39、,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,EFGH,EHFG，四邊形EFGH是平行四邊形.設EGFH=O,則O平分EG,FH.同理,四邊形MFNH是平行四邊形.設MNFH=O,則O平分MN,FH.點O,O都平分線段FH,O與O兩點重合，MN過EG和FH的交點,即三線段共點且被該點平分.易錯警示易錯警示【例】過已知直線a外一點P,與直線a上的四個點A、B、C、D分別畫四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).錯解錯解 P、A、B三點不共線,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.A、B、C、D均在直線a上,PA、PB、PC、PD四條直線在同一

40、平面內(nèi).錯解分析錯解分析 錯解在證明了四條直線分別在三個平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,通過A、B、C、D均在a上,而認為三個平面重合在同一個平面內(nèi),這種方法是錯誤的.錯誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個平面重合.正解正解 過直線a及點P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在內(nèi).直線PA、PB、PC、PD上各有兩點在內(nèi),由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面內(nèi),即四直線共面.考點連接考點連接10. 已知a、b為異面直線，則經(jīng)過直線a,存在唯一平面，使b；經(jīng)過直線a，若存在平面使ba,則唯一；經(jīng)過直線a、b外任意一點，存在平面，使a且b.上述命題中，真命

41、題是_.（寫出真命題的序號）解析解析 平移b到b，使b、a交于點O，則a與b確定平面為，b，唯一，故正確.a、b為異面直線，故無法確定a是否垂直于b.如圖，a平移到a，b平移到b，a、b交于點O，則a、b確定的平面唯一.答案答案 11. （2010濱州質(zhì)檢）已知正方體ABCD- 的棱長為a，求異面直線 和 所成的角.1111ABC D11B D1C A解析解析 如圖所示，連接 , 異面直線 和 所成角為90.11AC11111111111B DACB DA AACA AA1111B D 面A C A111111B DAC面A C A，C A11B D1C A12. 已知直線abc,直線 a=A

42、, b=B, c=C.求證:a、b、c、 共面.llll證明證明 如圖，ab,a、b可以確定一個平面.又 a=A, b=B,Aa,Bb,A,B,AB;又A ,B , .另一方面,bc,b、c可以確定一個平面.同理可證, .平面、均經(jīng)過直線b、,且b和 是兩條相交直線,它們確定的平面是唯一的,平面與是同一個平面,a、b、c、共面.lllllllll第四節(jié)第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1. 平行直線(1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.(2)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的

43、平面和這個平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行.(4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行.(5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條直線平行.2. 直線與平面平行(1)定義:直線a和平面沒有公共點,叫做直線與平面平行.(2)線面平行的判定定理:如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.基礎梳理基礎梳理(3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面. 3. 平面與平面平行(1)定義:如果兩個平面沒有公共點,那么這兩個平面叫做平行平面.(2)面面平行的

44、判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(3)判定定理的推論:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行.(4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個平面平行.(5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個平面平行.典例分析典例分析題型一題型一 線線平行線線平行【例1】已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.分析分析 若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行即可. 證明證明 如圖,連接BD.EH是ABD的

45、中位線,EHBD,EH= BD.又FG是CBD的中位線,FGBD,FG= BD.FGEH,且FG=EH,四邊形EFGH是平行四邊形.2121學后反思學后反思 若證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑：一是證明兩組對邊分別平行,二是證明一組對邊平行且相等.舉一反三舉一反三1. 已知E、 分別是正方體ABCD- 的棱AD、 的中點.求證:BEC= .1111DCBA11DA111B EC1E證明證明 如圖,連接 . ,E分別為 ,AD的中點,四邊形 為平行四邊形，四邊形 是平行四邊形， EB.同理 EC.又 與CEB方向相同， =CEB.1EE1E11DA11/ /AEAE11AE EA11

46、1111/ / /,/ /A AE EA AB BE EB B11E EBB11E B11EC111C E B111C E B題型二題型二 線面平行線面平行【例2】如圖,正方體ABCD- 中,側(cè)面對角線 上分別有兩點E,F,且 .求證:EF平面ABCD.1111DCBA11,AB BC11B EC F分析分析 要證EF平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過EF作與平面ABCD平行的平面.證明證明 方法一:過E作EMAB于M,過F作FNBC于N,連接MN(如圖)，則EM ,FN ,EMFN. AE=BF,1BB1

47、BB1111,ABBC B EC FEM=FN,四邊形EMNF是平行四邊形,EFMN.又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.111111111,EMAEBFAEFNBBABBCABCCEMFNBBCCBBCC方法二:連接 ,并延長交BC的延長線于點P,連接AP(如圖). PFB,1B F1111/ /,BPBCB FC1111111111.,/ /B FC FFPBFABBC B EC FC FB EAEBFBFEAB EB FEFAPEAFP又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.方法三:過點E作EH 于點H,連接FH(如圖)，則EHAB,EHFH=H,平面

48、EFH平面ABCD.EF平面EFH,EF平面ABCD.1BB11111111111111111111B E.,B E,/ /./ /,/ /.B HB AB BABBC B EC FC FB AC BB HC FFHBCB BC BBCBCFHBC學后反思學后反思 判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa);(4)利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa).舉一反三舉一反三2. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,E為PC中點.求證:PA平面EDB.證明證明 如圖，連接A

49、C交BD于O,連接EO.四邊形ABCD為正方形,O為AC中點.E為PC中點,OE為PAC的中位線,故EOPA.又EO平面EDB,PA平面EDB,PA平面EDB.題型三題型三 面面平行面面平行【例3】如圖,正方體ABCD- 的棱長為1.求證:平面 平面1111ABC D1ABC11AC D分析分析 要證明平面 平面 ,根據(jù)面面平行的判定定理或推論，只要證明AC平面 ， 平面 ,且AC =A即可.1ABC11AC D11AC D1AB11AC D1AB證明證明 方法一: 四邊形 為平行四邊形1111111111/ / / /AABBAABBAACCBBCCBBCC11AAC C1111111111

50、1111111/ /A C DACA C D/ /A C DAB / /A C DACABAAB C/A C DACACACAC平面平面平面同理平面平面平面方法二:易知 和確定一個 平面 ,于是,1AA1CC1AC11111111111111111111111111ACA C =A CACAC=ACA C / /ACA C / / /AB CAB CA D/AB CA DACAB CAB C/A CACACACACAD平面平面平面平面平面平面平面平面同理平面平面平面平面學后反思學后反思 證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明.具體方

51、法有:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.舉一反三舉一反三3. 在正方體ABCD- 中,M、N、E、F分別是棱的中點.求證:平面AMN平面EFDB.1111DCBA11111111,A DB CC DAB，證明證明 如圖，連接MF,M、F分別是 的中點,且四邊形 為正方形,又四邊形ADFM為平行四邊形,AMDF.又AM平面EFDB,DF平面EFDB,AM平面

52、EFDB.同理可證AN平面EFDB.AM,AN平面AMN,AMAN=A,平面AMN平面EFDB.1111,AB C D1111DCBA11/ /MFAD11/ /,/ /,ADADMFAD題型四題型四 平行的探究問題平行的探究問題【例4】（2009銀川模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2 ，底面ABCD是菱形，且ABC=60，E為CD的中點.(1)求證：CD平面SAE；(2)側(cè)棱SB上是否存在點F，使得CF平面SAE？并證明你的結(jié)論.2分析分析 （1）先利用勾股定理和線面垂直判定定理證明直線SA底面ABCD，再證明直線SACD，證明直線與平面垂直時，必須證明直線與

53、平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.（2）先回答問題，再證明充分條件.探究的點往往是特殊點（中點）.證明證明 （1）ABCD是菱形，ABC=60，AB=AC=AD=2,ACD為正三角形.又E為CD的中點，CDAE.SA=AB=AD=2,SB=SD=2 ,2則有SAAB,SAAD.又ABAD=A,SA底面ABCD,SACD.由CDAE,SACD,AESA=A,CD平面SAE.222222,SBSAABSDSAAD (2)側(cè)棱SB上存在點F，當F為SB的中點時，使得CF平面SAE.證明證明 假設側(cè)棱SB上存在點F，使得CF平面SAE.不妨取SA的中點N，連接EN，過點N作NFAB,交SB于F點，連接CF.則

54、作圖知NF AB,點F為SB的中點.又CE AB，NF CE，四邊形CENF為平行四邊形,CFEN.1/ /21/ /2/ /又EN平面SAE，CF平面SAE，CF平面SAE.即當F為側(cè)棱SB的中點時，CF平面SAE.學后反思學后反思 定理、定義是做題的依據(jù)，具備了條件，便可得到結(jié)論；條件不足，要通過題設和圖形的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)去尋求，增添輔助線是解決問題的關鍵.舉一反三舉一反三4. 長方體ABCD-ABCD，點PBB（不與B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求證：MN平面AC.證明證明 如圖，連接AC,AC,ABCD-ABCD為長方體，ACAC.AC平面ACB,AC平面ACB,AC平面A

55、CB.又平面PAC過AC與平面ACB交于MN，MNAC.MN平面AC，AC平面AC，MN平面AC.題型五題型五 平行關系的綜合應用平行關系的綜合應用【例5】(12分)求證:若一條直線分別和兩個相交平面平行,則這條直線必與它們的交線平行.分析分析 此題可先過直線作平面分別與已知兩平面相交,由線面平行的性質(zhì)定理及公理4,可證得兩交線平行,從而進一步證得一條交線與另一平面平行,進而可證得結(jié)論.證明證明 , ,=a.過 作平面交于b,過 作平面交于c,.3 , ,=b, b.(線面平行的性質(zhì)定理)同理 c.5bc.6又c,b,b.(線面平行的判定定理).8又b,=a,ba.(線面平行的性質(zhì)定理)10

56、a.(公理4).12lllllllll學后反思學后反思 把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言和圖形語言，過 作平面和與、得到兩條交線，利用線面平行的性質(zhì)定理及公理4可證得交線平行，從而進一步證明一條交線與另一個平面平行，進而可證得結(jié)論.l舉一反三舉一反三5. 如圖所示,在四面體A-BCD中,截面EFGH平行于對棱AB和CD.試問:截面在什么位置時,截面的面積最大?解析解析 AB平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH,ABFG,ABEH,FGEH.同理可證,EFGH.四邊形EFGH是平行四邊形.設AB=a,CD=b,FGH=(a、b、均為定值,其中為異面直線AB與CD所成的角)

57、,又設FG=x,GH=y,由平面幾何知識,得兩式相加,得 ,即,xCG yBGaCB bBC1xyabbyaxasinsinsin.EFGHbSFG GHxaxabx axax0,a-x0,且x+(a-x)=a(定值)，當且僅當x=a-x,即x= 時,故當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時,截面面積最大.2amaxsin.4EFGHabS易錯警示易錯警示【例】如圖所示，平面平面，點A,C，點B，D，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEB=CFFD.求證：EF.錯解錯解 ，ACBD.又AEEB=CFFD，EFBD.又EF，BD，EF.錯解分析錯解分析 上述

58、解法的錯誤在于未討論AB與CD是否共面，而直接把AB、CD作為共面處理，忽視異面的情況.本題中對AB、CD位置關系的討論具有一定的代表性，可見分類討論的思想在立體幾何中也多有體現(xiàn).正解正解 當AB，CD在同一平面內(nèi)時，由，平面ABDC=AC，平面ABDC=BD，ACBD,AEEB=CFFD,EFBD,又EF，BD，EF.當AB與CD異面時，如右圖所示，設平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH,四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD,EGBH，又EGGF=G，BH平面，DH平面，平面EFG平面.EF平面EFG，E

59、F.綜上，EF.考點演練考點演練10. 如圖,下列四個正方體圖形中,A、B為正方體的兩個頂點,M、N、P分別為其所在棱的中點,能得出AB面MNP的圖形的序號是.(寫出所有符合要求的圖形序號)解析解析圖中,MNAD,NPAC,平面MNP平面AB，AB平面MNP.圖中,AB不平行于平面MNP(反證法).連接BE,分別交CD、MP于R、Q,若AB平面MNP,則ABNQ.又由N為AE中點,R為BE中點，得ABNR.在平面ABE中過點N有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.圖中,AD BC,四邊形ABCD為平行四邊形，ABCD.又MPCD,ABMP，故AB平面MNP.圖中,AB

60、不平行于面MNP(反證法).若AB平面MNP,則ABDM.又由AD BC,得四邊形ABCD是平行四邊形,故ABCD.在平面ABCD中過點D有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP./ / /答案答案 11. 已知正方體ABCD-ABCD，求證：平面ACD平面ABC.證明證明 正方體ABCD-ABCD中,ADBC,CDAB,又ADCD=D,BCAB=B,平面ACD平面ABC.12. （2009揚州模擬）如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：APGH.證明證明 連接AC，