應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分析

1、7 應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分析析FN7.1 應(yīng)力狀態(tài)概述應(yīng)力狀態(tài)概述這是所已知的應(yīng)力分布情況。這是所已知的應(yīng)力分布情況。7.1 應(yīng)力狀態(tài)概述應(yīng)力狀態(tài)概述1凡提到凡提到“應(yīng)力應(yīng)力”，必須指明：，必須指明：在哪一點(diǎn)；在哪個面；在哪個方向。在哪一點(diǎn)；在哪個面；在哪個方向。一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1凡提到凡提到“應(yīng)力應(yīng)力”，必須指明：，必須指明：在哪一點(diǎn)；在哪個面；在哪個方向。在哪一點(diǎn)；在哪個面；在哪個方向。7.1 應(yīng)力狀態(tài)概述應(yīng)力狀態(tài)概述一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)目的：判斷受力構(gòu)件在目的：判斷受力構(gòu)件在那個點(diǎn)那個點(diǎn)，那個方向那個方向最危險，最危險，以便解決構(gòu)件在

2、復(fù)雜受力情況下的強(qiáng)度問題。以便解決構(gòu)件在復(fù)雜受力情況下的強(qiáng)度問題。一點(diǎn)處的一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)：是指通過一點(diǎn)不同截面：是指通過一點(diǎn)不同截面上的應(yīng)力情況的集合。上的應(yīng)力情況的集合。二、單元體分析法二、單元體分析法 一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可用圍繞該點(diǎn)截取的一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可用圍繞該點(diǎn)截取的微單元微單元體體（微正六面體）上三對互相垂直微面上的應(yīng)力情況（微正六面體）上三對互相垂直微面上的應(yīng)力情況來表示。來表示。軸向拉伸桿件內(nèi)圍繞點(diǎn)截取的兩種微元體。軸向拉伸桿件內(nèi)圍繞點(diǎn)截取的兩種微元體。1、微元體三個方向的尺寸均無窮?。?、微元體三個方向的尺寸均無窮?。?、每個面上的應(yīng)力是均勻的；、每個面上的應(yīng)力是均勻的；

3、3、微元體內(nèi)相互平行的截面上，應(yīng)力相同；、微元體內(nèi)相互平行的截面上，應(yīng)力相同；4、互相垂直的兩個側(cè)面上切應(yīng)力服從剪切互等關(guān)系。、互相垂直的兩個側(cè)面上切應(yīng)力服從剪切互等關(guān)系。特點(diǎn)特點(diǎn)：正正 應(yīng)應(yīng) 力力xxxx拉為正拉為正壓為負(fù)壓為負(fù)正應(yīng)力正負(fù)號規(guī)則正應(yīng)力正負(fù)號規(guī)則切切 應(yīng)應(yīng) 力力 使微元或其使微元或其局部順時針方向局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之轉(zhuǎn)動為正；反之為負(fù)。為負(fù)。 y x 切應(yīng)力正負(fù)號規(guī)則切應(yīng)力正負(fù)號規(guī)則q 角角 由由 x正向正向反時針轉(zhuǎn)到反時針轉(zhuǎn)到x正向者為正；正向者為正；反之為負(fù)。反之為負(fù)。xyyxqq角角正負(fù)號規(guī)則正負(fù)號規(guī)則三、主應(yīng)力與主平面三、主應(yīng)力與主平面 主平面主平面：切應(yīng)力為零

4、的面：切應(yīng)力為零的面 。主應(yīng)力主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。：主平面上的正應(yīng)力。主單元體主單元體：對于受力構(gòu)件內(nèi)的任意一點(diǎn)，都可找到三：對于受力構(gòu)件內(nèi)的任意一點(diǎn)，都可找到三個互相垂直的主平面，三對主平面組成一個主單元體，個互相垂直的主平面，三對主平面組成一個主單元體，主單元體上存在三個主應(yīng)力，用主單元體上存在三個主應(yīng)力，用1、2、3表示表示。321 1 2 3 1 2 3 四、應(yīng)力狀態(tài)分類四、應(yīng)力狀態(tài)分類單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài) 二向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài) 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài) 說明：從構(gòu)件內(nèi)取出說明：從構(gòu)件內(nèi)取出一單元體，往往并非一單元體，往往并非主單元體，須在求出主單元體，須在求出其主應(yīng)力之

5、后，才能其主應(yīng)力之后，才能判斷它屬于哪一種應(yīng)判斷它屬于哪一種應(yīng)力狀態(tài)。力狀態(tài)。2薄壁圓筒壓力容器薄壁圓筒壓力容器1軸向拉壓桿件軸向拉壓桿件3受鋼輪擠壓的鋼軌受鋼輪擠壓的鋼軌 應(yīng)力狀態(tài)的工程實(shí)例應(yīng)力狀態(tài)的工程實(shí)例:4彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用下的圓軸彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用下的圓軸FPlaSyxzMzFSMx43211txWM1zzxWM 1 43txWM4txWM3zzxWM3五、應(yīng)力狀態(tài)分析的目的：五、應(yīng)力狀態(tài)分析的目的：確定構(gòu)件上的危險點(diǎn)及危險方向確定構(gòu)件上的危險點(diǎn)及危險方向平面一般應(yīng)力狀態(tài)平面一般應(yīng)力狀態(tài)，即空間應(yīng)力狀態(tài)中，即空間應(yīng)力狀態(tài)中，z方向的方向的應(yīng)力分量全部為零；或只存在作用于應(yīng)力分量全部為

6、零；或只存在作用于x-y平面內(nèi)的平面內(nèi)的應(yīng)力分量。應(yīng)力分量。7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法yyyxyx7.2.1平面一般應(yīng)力狀態(tài)斜截面上應(yīng)力平面一般應(yīng)力狀態(tài)斜截面上應(yīng)力斜截面平行于斜截面平行于z軸且與軸且與x面成傾角面成傾角 ，由力的平衡條件，由力的平衡條件 可求得斜截面上應(yīng)力可求得斜截面上應(yīng)力 ， 。 cos)cos(dAx ydA(sin )sin 0dA + + dA(cos )sinx+ + dA(sin )cosy22xyxcossin2sin cos + + 0nyx22xyxcossin2sin cos + + xyxyx11()()cos2sin222 +

7、 + + 1cos22cos2 2sin212cos 0t22xyx()sin cos(cossin) + + xyx1()sin2cos22 + +yx 一單元體如圖所示，試求在一單元體如圖所示，試求在 = 30 的斜截面的斜截面上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。3020,20a3010,MPaMPa,MP,MPayxyxMPa.sincossincosxyxyx32260206023010230102222+MPa.cossincossinxyx33160206023010222+7.2.2主應(yīng)力主應(yīng)力 及作用平面方向及作用平面方向maxmin ，7.2.3 及作用平面方向及作用平面方向maxmin ，

8、7.3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法應(yīng)力圓法二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法應(yīng)力圓法1應(yīng)力圓方程應(yīng)力圓方程xyxy2222x()()22 + + + + + +xyxyx11()()cos2sin222 + + + xyx1()sin2cos22 + +xyxyx11()()cos2sin222 + + 圓的方程圓的方程此為以此為以，為變量的為變量的圓方程圓方程。以以為橫坐標(biāo)軸，為橫坐標(biāo)軸， 為縱坐標(biāo)軸，則此圓圓心為縱坐標(biāo)軸，則此圓圓心O坐標(biāo)為坐標(biāo)為 xy1(),02 + + 122xy2xR2 +半徑為半徑為此圓稱此圓稱應(yīng)力圓應(yīng)力圓或或莫爾莫爾（Mohr）圓圓。xyxy2222x()()22+ 2xy2xR

9、2 +R xy+ +2c應(yīng)力圓應(yīng)力圓2x2yx22yx)2()2( + + + + + 在在 - 坐標(biāo)系中，標(biāo)定微元的坐標(biāo)系中，標(biāo)定微元的A、D面面上上 應(yīng)力對應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)力對應(yīng)的點(diǎn)a和和d（由兩個面找兩個點(diǎn)由兩個面找兩個點(diǎn)） 連連a,d交交 軸于軸于c點(diǎn)，點(diǎn)，c即為圓心，即為圓心，cd為為應(yīng)力圓半徑應(yīng)力圓半徑。 yy x AD a( x , x)d( y , y)cR xy+ +2x 2x2yx22yx)2()2( + + + + + x xAD odac245245beBE可見：可見： o a (0, )d(0,- )A ADbec245245 y x BE y x y x ocadA ADq

10、 q2q q qq， x， xytan12 2xyxy2cos 222qq + + + + + 2xy2sin 22qq + + oc2q q0ad2xyxy21x22 + + + + + 2xyxy22x22 + + + + 30 yxx022tan q q y x y xA ADq q0 0 o o2xyxy21x22 + + + + + 2xyxy23x22 + + + + 20 2xyxy22x22 + + + + + 2xyxy23x22 + + + + 10 132xy2x22 + + o maxc oc2q q0ad30080 , ,yx例例 單元體上應(yīng)力如圖，求出主應(yīng)力，畫出主

11、單元體單元體上應(yīng)力如圖，求出主應(yīng)力，畫出主單元體3080單位：單位：MPa80301 3 OA (80, 3080, 30BCx y D1、取、取 的中點(diǎn)的中點(diǎn)C為圓心為圓心yx, 以以 AC 為半徑畫莫爾圓為半徑畫莫爾圓2、算出心標(biāo)、算出心標(biāo) 0C = -40，半徑，半徑3、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值5022+DCADACR4、算出方位角、算出方位角MPaMPaRC 9010031 MPaR -minmax50 5、畫出主單元體、畫出主單元體 1 3 OA (80, 3080, 30BCx y Do 257712863618086360. .DCADtg arcACD 3

12、080單位：單位：MPa803 1 o pD1210pD2 p 022121sincos0.8q q q q q q + + b2.43D o1 2 2q q1212cos 222q q q q+ + 3364z120 300111 270I8810 mm1212 3zaS120151507.5256000mm 求求a、b兩點(diǎn)的主應(yīng)力兩點(diǎn)的主應(yīng)力 3aa64zM8010 N my0.135m122.7 MPaI8810m 363szaa643z20010 N25610mF S64.6MPaI d8810m910m x x x x x x x x 11122xxOAOCCA150.4MPa22

13、+ + + + + 32OCCA27.7 MPa 0 xtan 22 0023.2 3bb64zM8010 N my0.15m136.4MPaI8810m b0 3bb64zM8010 N my0.15m136.4MPaI8810m b0 求主應(yīng)力方向的主點(diǎn)法：求主應(yīng)力方向的主點(diǎn)法：【例題】【例題】 如圖（）所示單元體，如圖（）所示單元體， 試用應(yīng)力試用應(yīng)力圓求圓求 時斜截面上的應(yīng)力，時斜截面上的應(yīng)力， 最大正應(yīng)力及作用平面最大正應(yīng)力及作用平面方向方向 ， 最大切應(yīng)力及作用平面方向最大切應(yīng)力及作用平面方向 。2xyxy22cos22q+ + + + + 2xy22sin48MPa2q + +

14、00 xytan2 2q 0020180120q 20MPa 【例題】【例題】 如圖（）所示單元體，如圖（）所示單元體， 試用應(yīng)力試用應(yīng)力圓求圓求 時斜截面上的應(yīng)力，時斜截面上的應(yīng)力， 最大正應(yīng)力及作用平面最大正應(yīng)力及作用平面方向方向 ， 最大切應(yīng)力及作用平面方向最大切應(yīng)力及作用平面方向 。2xyxy2164MPa22+ + + + + 2xyxy2334MPa22+ + + + max49MPa min49MPa 【例題】【例題】 如圖（）所示單元體，如圖（）所示單元體， 試用應(yīng)力試用應(yīng)力圓求圓求 時斜截面上的應(yīng)力，時斜截面上的應(yīng)力， 最大正應(yīng)力及作用平面最大正應(yīng)力及作用平面方向方向 ， 最

15、大切應(yīng)力及作用平面方向最大切應(yīng)力及作用平面方向 。011180BODBD C2 011ACD180BOD 0 xytan2 0011.98 0【例題7.3】如圖7.10（a）所示單元體為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，若切應(yīng)力x=y為已知，試用應(yīng)力圓求其主應(yīng)力的數(shù)值和方向。7.4 梁的應(yīng)力狀態(tài)分析及主應(yīng)力軌跡線梁的應(yīng)力狀態(tài)分析及主應(yīng)力軌跡線7.4 梁的應(yīng)力狀態(tài)分析及主應(yīng)力軌跡線梁的應(yīng)力狀態(tài)分析及主應(yīng)力軌跡線【例題】【例題】 有一懸臂梁如圖。有一懸臂梁如圖。 試求距自試求距自 由端由端 的截面的截面 上、上、 五點(diǎn)的五點(diǎn)的主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置。主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置?！窘狻俊窘狻?在梁在梁 截面上的內(nèi)截面上的

16、內(nèi) 力為力為1. 點(diǎn)點(diǎn) 點(diǎn)點(diǎn)A處于單向處于單向 應(yīng)力應(yīng)力 狀態(tài)，狀態(tài)， 在該點(diǎn)處的橫截面和縱截面就是主平面在該點(diǎn)處的橫截面和縱截面就是主平面2. 點(diǎn)點(diǎn) B3. 點(diǎn)點(diǎn) C4. 點(diǎn)點(diǎn) D與與B點(diǎn)計(jì)算方法相同：點(diǎn)計(jì)算方法相同：5. 點(diǎn)點(diǎn) E與與A點(diǎn)計(jì)算方法相同：點(diǎn)計(jì)算方法相同：目的：設(shè)計(jì)鋼筋混凝土梁時，若已知梁中主應(yīng)力方向的變目的：設(shè)計(jì)鋼筋混凝土梁時，若已知梁中主應(yīng)力方向的變化情況，化情況， 即可判斷梁上裂縫可能發(fā)生的方向即可判斷梁上裂縫可能發(fā)生的方向 ， 從而可以從而可以恰當(dāng)?shù)嘏渲娩摻?，恰?dāng)?shù)嘏渲娩摻睿?更有效地發(fā)揮鋼筋的抗拉作用。更有效地發(fā)揮鋼筋的抗拉作用。1主應(yīng)力主應(yīng)力 空間一般應(yīng)力狀態(tài)空間一

17、般應(yīng)力狀態(tài)：總可將微元體轉(zhuǎn)到某一方位，此時三對微：總可將微元體轉(zhuǎn)到某一方位，此時三對微面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力作用。此三對微面即主平面，三個面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力作用。此三對微面即主平面，三個正應(yīng)力即主應(yīng)力（正應(yīng)力極值）。空間一般應(yīng)力狀態(tài)一般具有正應(yīng)力即主應(yīng)力（正應(yīng)力極值）?？臻g一般應(yīng)力狀態(tài)一般具有三個非零的主應(yīng)力，故也稱三個非零的主應(yīng)力，故也稱三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)。 7.5 三向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力分析簡介三向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力分析簡介2222xyxx+極小極大，01極大0203極小例例 受彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用圓軸中的受彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用圓軸中的1點(diǎn)，可用應(yīng)力點(diǎn)，可用應(yīng)力圓求其主應(yīng)力：圓求其主應(yīng)力

18、：2最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力2cos)(21)(212121+2sin)(21211）平行）平行 3 3方向的任意斜截面方向的任意斜截面 上應(yīng)力上應(yīng)力 )(212112 45 o122）平行）平行2方向斜截面上的主方向斜截面上的主切應(yīng)力切應(yīng)力(最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力)： )(213113 o1233）求平行）求平行1方向斜截面上的主切應(yīng)力方向斜截面上的主切應(yīng)力:)(213223薄壁圓筒壓力容器薄壁圓筒壓力容器40pDL得軸向應(yīng)力：得軸向應(yīng)力： 20pDH得環(huán)向應(yīng)力：得環(huán)向應(yīng)力： 42013maxpD極大1222xxx22+極極大大，極極小小極大13max2極小極大22xx2 +146MPa 220M

19、Pa 326MPa o234 單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)單向胡克定律單向胡克定律橫向效應(yīng)橫向效應(yīng)純切應(yīng)力狀態(tài)純切應(yīng)力狀態(tài)剪切胡克定律剪切胡克定律 7.6 胡克定律（應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系）胡克定律（應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系） 簡單應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律和橫向效應(yīng)：簡單應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律和橫向效應(yīng)：Exxyxzx Gxyxy三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)胡克定律：胡克定律： 1）對空間一般應(yīng)力狀態(tài)）對空間一般應(yīng)力狀態(tài)xxyzyyzxzzxy1()E1()E1()E + + + GGGxyxyzxzxyzyz 2）對平面一般應(yīng)力狀態(tài)）對平面一般應(yīng)力狀態(tài)xxyyyx1()E1()E Gxyxyzxyyzzx()E0 +

20、+ 1123223133121()E1()E1()E + + + 如果已知三個主應(yīng)力，則如果已知三個主應(yīng)力，則如果為平面應(yīng)力狀態(tài)，則如果為平面應(yīng)力狀態(tài)，則為為01122213121)E1)EE + + +12EG1123223133121()E1()E1()E + + + 例例 構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)的兩主應(yīng)變?yōu)闃?gòu)件自由表面上某點(diǎn)的兩主應(yīng)變?yōu)?1=240 10-6 ， 3= 160 10-6， E=210GPa， =0.3， 求該點(diǎn)的主應(yīng)力求該點(diǎn)的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。及另一主應(yīng)變。 1132E1 + + 3312E1 + + 1 3 2:0 解解自自由由面面上上例例 構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)的兩主應(yīng)變?yōu)闃?gòu)件自由表面上某點(diǎn)的兩主應(yīng)變?yōu)?1=240 10-6 ， 3= 160 10-6， E=210GPa， =0.3， 求該點(diǎn)的主應(yīng)力求該點(diǎn)的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。及另一主應(yīng)變。 MPa1132962E121010( 2400.3160 )1044.310.3 + + MPa3312962E121010(1600.3240 )