第二章相交線與平行線

1、第二章 相交線與平行線2.1 相交線【知識精華點擊】課標要求1.了解對頂角、鄰補角等概念；2.會辨認對頂角、鄰補角，能用對頂角、鄰補角的性質(zhì)說理。本節(jié)重點是辨認對頂角、鄰補角，掌握對頂角的性質(zhì)；難點是運用對頂角的性質(zhì)進行推理和計算.教材詳析1.對頂角的定義1234O圖2.1-1頂點公共，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角。如圖2.1-1所示，1與3，,2與4分別互為對頂角。(1)對頂角的特征：兩個角有公共頂點；兩個角的邊分別互為反向延長線。也就是說只有當(dāng)兩條直線相交時，才會產(chǎn)生對頂角。所以識別兩個角是否為對頂角，一要看這兩個角是否由兩條相交直

2、線所得到的，二要看這兩個角是不是有公共頂點而沒有公共邊只有同時滿足這兩個條件時，才能斷定這兩個角是對頂角如圖2.1-2(1)、 (2)、 (3)中的兩個角都不是對頂角。122211 (1) (2) (3)圖2.1-2能舉出一個反例嗎(2)對頂角是成對出現(xiàn)的。只能說“某角與某角互為對頂角”或“某角是某角的對頂角”，而不能說“某角是對頂角”。2.對頂角的性質(zhì)對頂角的性質(zhì)是：對頂角相等。注意這種敘述格式(1)注意：不能說成“兩個角相等，它們就是對頂角”，也不能由此說“相等的角是對頂角”。(2)這個性質(zhì)用符號語言敘述是： “如果1與2互為對頂角，那么1與2相等”或“1與2互為對頂角，1=2(對頂角相等

3、)”，在實際運用時，往往也可簡寫成“1=2(對頂角相等)”。3.鄰補角的定義兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且一條公共邊、另一條邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角。如圖2.1-1所示，1與2，1與4，3與2，3與4分別互為鄰補角。(1) 互為鄰補角描述了兩個角之間的兩種關(guān)系：位置關(guān)系；這兩個角有公共頂點且一條公共邊、另一條邊互為反向延長線；不能說互補的兩個角是互為鄰補角數(shù)量關(guān)系：這兩個角互補，即它們的和為180°.(2)兩個角“互為鄰補角”與“互補”的關(guān)系：兩個角“互為鄰補角”，則這兩個角一定互補，反過來， “互補”的兩個角就不一定“互為鄰補角”。一個角的補角有無數(shù)個，它們都

4、相等；一個角的鄰補角只有兩個，它的兩個鄰補角不僅相等而且互為對頂角。(3) 互為鄰補角的符號語言：如1+2=180°(鄰補角定義)。【名師優(yōu)質(zhì)講堂】例題精析例1 下面四個圖形中，1與2是對頂角的圖形的個數(shù)是（）圖2.1-3A.0 B.1 C.2 D.3分析 根據(jù)對頂角的定義可知：只有第3個圖中的是對頂角，其它都不是解 選B說明 判斷兩個角是否互為對頂角，只需看它們是否滿足以下兩個條件：（1）頂點公共；（2）兩邊互為反向延長線。同時滿足這兩個條件的兩個角就是互為對頂角，否則不是?！咀兪?】下圖中，1與2是對頂角的是（） A. B. C. D.解 選B【變式2】下面各圖中的1與2是對頂角

5、的是（） A. B. C. D.解 選C例2 如圖2.1-4，直線AB、MN相交于一點O，OCAB，則1的鄰補角是（）A2 BAOC CNOC DMOBO 圖2.1-4 圖2.1-5 圖2.1-6沒有反向延長線的那條邊即是公共邊分析 1的兩邊是OM,OC，圖中只有OM有反向延長線ON,OC沒有，故以O(shè)N,OC為邊的角即為所求。解 選C說明 判斷兩個角是否互為鄰補角時，一看頂點：頂點必須公共；二看兩邊：一邊公共，另一邊互為反向延長線?！咀兪健咳鐖D2.1-5，已知1+3=180°，則圖中與1互補的角有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解 相加等于180°的兩角稱作互為補

6、角，即兩角互補1的補角有它的兩個鄰補角5和7；另外1+3=180°，則3和它的對頂角4，都是1的補角故選D【變式2】如圖2.1-6所示，1的鄰補角是（）ABOC BBOE和AOF CAOF DBOE和AOC解 選B.例3 如圖2.1-7所示，AB與CD相交于O，AOD+BOC=280°，則AOC為（）A40° B140° C120° D60° 圖2.1-7 圖2.1-8 圖2.1-9分析 根據(jù)對頂角的性質(zhì)，得AOD=BOC，又AOD+BOC=280°，故AOD=×280°=140°，所以AOC=

7、180°-AOD=40°。解 選A.說明 在計算時，主要是由角的位置關(guān)系得到數(shù)量關(guān)系，即對頂角相等和鄰補角互補?！咀兪?】如圖2.1-8，三條直線相交于點E，則1+2+3=（）A90° B120° C180° D360°解 由圖形可知，2（1+2+3）=360°，1+2+3=180°故選C【變式2】如圖2.1-9所示，AB，CD相交于M，ME平分BMC，且AME=104°，則AMC的度數(shù)為（）A38° B32° C28° D24°解 AME與BME互為鄰補角，BME

8、=180°-104°=76°。ME平分BMC，EMC=BME=76°，AMC=AME-EMC=104-76=28°。故選C例4 如圖2.1-10，AB，CD交于O點（1）如果AOD=3BOD，那么BOD= 度，COB= 度；（2）如果AOC=2x°，BOC=（x+90）°，BOD=（y+4）°，求x，y的值 圖2.1-10 圖2.1-11 圖2.1-12分析 （1）結(jié)合已知條件，利用鄰補角互補計算；（2）根據(jù)對頂角相等和鄰補角互補的性質(zhì)來計算解 （1）由AOD=3BOD，設(shè)BOD=x°，則AOD=3x&#

9、176;。AOD+BOD=180°，故x+3x=180,解得x=45。故BOD=45°，COB=135°；（2）已知AOC=2x°，BOC=（x+90）°，根據(jù)這兩個角互補，得2x+x+90=180，解得x=30，BOD=AOC，y+4=60，y=56說明 用方程幫助計算時，對頂角相等和鄰補角互補常常作為等量關(guān)系成為列方程的依據(jù)?！咀兪?】如圖2.1-11所示，O是直線AC上一點，OB是一條射線，OD平分AOB，OE在BOC內(nèi)，BOE=EOC，DOE=70°，則EOC= 度解 根據(jù)角平分線定義設(shè)EOC=x，則得到2（70-x）+x=1

10、80°，解得x=80故填80【變式2】如圖2.1-12，直線a，b，c相交于點O，1=2，3：1=8：1，求4的度數(shù)分析 利用1=2，3：1=8：1的關(guān)系，結(jié)合平角的定義，可得1，2的度數(shù)，運用對頂角相等得4的度數(shù)解 1+2+3=180°，又1=2，3：1=8：1，即3=81，1+1+81=180°，即1=18°，4=1+2=36°為什么錯 1.概念理解錯誤例5 小明同學(xué)認為對頂角可以這樣定義：頂點公共，而且相等的角叫對頂角，你認為正確嗎？如果你認為不正確請舉一個反例，并對“對頂角”正確定義錯解 正確。分析 “對頂角”描述的是兩個角的位置關(guān)系，

11、必須同時滿足兩個條件：頂點公共，兩邊分別互為反向延長線。這個定義沒有對兩邊進行規(guī)定，所以不對。正解 不正確，如圖2.1-13，AOB=COD，且其有公共的頂點O，但不是對頂角對頂角的定義：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角互為對頂角 圖2.1-13 圖2.1-142.思路混亂錯誤例6 圖2.1-14中有 對對頂角 錯解 不知從何入手，無法解答。分析 錯解沒有正確的解題思路。這類問題的常見解題思路有兩種。思路1：從特殊到一般，尋找規(guī)律求解；思路2：先考慮兩條直線相交有2對對頂角，再看圖中4條直線有幾個兩條直線相交，一共有3+2+1=6個，故共有2×6=12對對頂角.

12、正解 填12探究平臺例7 如圖2.1-15，已知直線AB、CD相交于點O，BODEOC，有人說“OA平分EOC”，你認為他的說法對嗎？為什么？ABCDEO圖2.1-15分析 所以如果OA平分EOC，那么必須有AOC=AOE=EOC，而因為BOD與AOC是一對對頂角，再結(jié)合已知條件不難得到所需條件.解 他的說法對，理由如下：BOD與AOC是對頂角，BOD=AOC，又BODEOC，AOCEOC. OA平分EOC.說明 由對頂角的性質(zhì)將已知條件由“BODEOC”轉(zhuǎn)化為“AOCEOC”，從而為我們作出正確判斷提供了依據(jù)?！咀兪健咳鐖D2.1-16，直線AB、CD相交于O，1+2=110°，3=

13、140°（1）求2的度數(shù)；（2）試說明OM平分AOD圖2.1-16解 （1）3=140°，AOD=3=140°，1=180°-140°=40°，1+2=110°，2=110°-40°=70°；（2）1+2=110°，MOD=180°-110°=70°，2=MOD=70°，OM平分AOD例8 觀察下列圖形（圖2.1-17），并閱讀相關(guān)文字2條直線相交，3條直線相交，4條直線相交，5條直線相交；有2對對頂角，有6對對頂角，有12對對頂角，有20對對頂

14、角； 圖2.1-17通過閱讀分析上面的材料，計算后得出規(guī)律，當(dāng)n條直線相交于一點時，有多少對對頂角出現(xiàn)（n為大于2的整數(shù)）由材料可以得到：利用對頂角的個數(shù)，除以對應(yīng)的相交直線的條數(shù)，就得到圖形的順序數(shù)因而有n條直線相交時，這個圖形是第（n-1）個圖形，因而對頂角的個數(shù)是：n（n-1）解 2條直線相交，有2×1=2對對頂角；3條直線相交，有3×2=6對對頂角；4條直線相交，有4×3=12對對頂角；5條直線相交，有5×4=20對對頂角；n條直線相交，有n（n-1）對對頂角說明 本題是一個探索規(guī)律型的題目，解決時注意觀察每對數(shù)之間的關(guān)系【智能分級演練】知識達標

15、 1.下列語句正確的是（）A若兩個角是對頂角，則這兩個角相等B若兩角相等，則這兩個角是對頂角C若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等D以上判斷都不對2. 鄰補角是指（）A和為180°的兩個角B有公共頂點且互補的兩個角C有一條公共邊且相等的兩個角D有公共頂點且有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角3. 下列說法中正確的有（）個對頂角相等；相等的角是對頂角；若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等A1 B2 C3 D44. 下列各組角中，1與2是對頂角的為（） A. B. C. D.5.以下說法正確的是（）A有公共頂點，并且相等的兩個角是對頂角B兩

16、條直線相交，任意兩個角都是對頂角C兩角的兩邊互為反向延長線的兩個角是對頂角D兩角的兩邊分別在同一直線上，這兩個角互為對頂角6. 在下圖中，1，2是對頂角的圖形是（） A. B. C. D.7. 1的對頂角是2，2的鄰補角是3，若3=45°，則1的度數(shù)是（）A45° B90° C135° D45°或135°8.如圖2.1-18，是用對頂角的量角器測量圓錐形零件的錐角的示意圖，則此零件的錐角等于 度 圖2.1-18 圖2.1-19 圖2.1-209. 用剪刀剪東西時，剪刀張開的角度如圖2.1-19所示，若1=25°，則2= 度1

17、0. 若兩個角是對頂角，且互補，則這兩個角都是 角11. 如圖2.1-20，1=15°，AOC=90°，點B、O、D在同一直線上，則2的度數(shù)為 12. 如圖2.1-21，若3+6=190°，則1+5= ；若3+4=130°，則2+5= 圖2.1-21 圖2.1-22 圖2.1-2313. 如圖2.1-22，直線AB與直線CD相交于點O，OEAB，OF平分AOD，COE=28°求AOC和DOF的度數(shù)14. 如圖2.1-23所示，直線AB、CD相交于O，OE平分AOD，F(xiàn)OC=90°，1=40°，求2和3的度數(shù)能力挑戰(zhàn)15.如圖

18、2.1-24，直線AB、CD相交于點O，如果1比3的2倍還多30°，那么2的度數(shù)是（）A50° B120° C130° D150° 圖2.1-24 圖2.1-25 圖2.1-2616. 如圖2.1-25，直線l1，l2，l3相交于一點，則下列答案中，全對的一組是（）A1=90°，2=30°，3=4=60°B1=3=90°，2=4=30°C1=3=90°，2=4=60°D1=3=90°，2=60°，4=30°17. （1）延長射線OM； 

19、（2）平角是一條射線；（3）線段、射線都是直線的一部分；（4）銳角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是鈍角；（6）一個銳角的補角與這個銳角的余角的差是90°； （7）相等的兩個角是對頂角； （8）若A+B+C=180°，則這三個角互補；（9）互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直以上說法正確的有（）A2個 B3個 C4個 D5個18. 如圖2.1-26，直線AB、CD相交于點O，作DOE=BOD，OF平分AOE，若AOC=28°，則EOF= 度19. 如圖2.1-27：AB、CD、EF相交于點O，1=50°，2=50°求3的度

20、數(shù) 圖2.1-27 圖2.1-28 圖2.1-2920. 如圖2.1-28，直線AB、CD相交于O，OE平分AOC，BOC-BOD=20°，求BOE的度數(shù)21. 如圖2.1-29，把AOE繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，得COD，且使射線OC平分AOE的鄰補角，已知DOE=30°，問AOE按順時針方向旋轉(zhuǎn)了多少度22. 如圖2.1-30，直線AB、CD交于O點，且BOC=80°，OE平分BOC，OF為OE的反向延長線（1）求AOD和AOF的度數(shù)；（2）OF平分AOD嗎？為什么？ 圖2.1-30 圖2.1-3123. 如圖，直線AB、CD相交于O，1+2=110&#

21、176;，3=140°（1）求2的度數(shù)；（2）試說明OM平分AOD24.觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）：圖2.1-32（1）如圖a，圖中共有 對對頂角；（2）如圖b，圖中共有 對對頂角；（3）如圖c，圖中共有 對對頂角；（4）研究（1）（3）小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線相交于一點，則可形成 對對頂角；（5）若有2008條直線相交于一點，則可形成 對對頂角答案與提示1.A 提示：對頂角的性質(zhì)。2.D 提示：鄰補角的定義。3.B 提示：、正確。4.D 提示：根據(jù)對頂角的特征辨認。5.C 提示：A有公共頂點，并且相等的兩個角是對頂角，不符合對頂角的定義，錯誤；

22、B中兩角的兩邊互為反向延長線的兩個角是對頂角，且有公共頂點的兩個角是對頂角，任意兩個角都是對頂角的說法錯誤；C中兩角的兩邊互為反向延長線的兩個角是對頂角，符合對頂角的定義，正確；D中兩角的兩邊分別在同一直線上，這兩個角是對頂角或者鄰補角，錯誤6. C 提示：根據(jù)兩條直線相交，才能構(gòu)成對頂角進行判斷，A、B、D都不是由兩條直線相交構(gòu)成的圖形，錯誤；C是由兩條直線相交構(gòu)成的圖形，正確7. C 提示：1的對頂角是2，故1=2，2的鄰補角是3，則2+3=180°，若3=45°，則1=2=135°；故選C8.30° 提示：量角器的使用方法。9.25° 提

23、示：2=1。10.直 提示：設(shè)這兩個角都是x度，則2x=180,x=90.11.105° 提示：1=15°，AOC=90°，BOC=90°-15°=75°，2=180°-BOC=180°-75°=105°12. 190°，230° 提示：因為3=1，6=5，又3+6=190°，所以1+5=190°因為3+2=180°，4+5=180°，又3+4=130°，所以2+5=230°13.OEAB，BOE=90°，

24、BOC=BOE+COE=90°+28°=118°，AOC=180°-BOC=180°-118°=62°；AOD=BOC=118°，又OF平分AOD，DOF=AOD=×118°=59°14.由已知FOC=90°，1=40°結(jié)合平角的定義，可得3的度數(shù)，又因為3與AOD互為鄰補角，可求出AOD的度數(shù)，又由OE平分AOD可求出2FOC=90°，1=40°，AB為直線，3+FOC+1=180°，3=180°-90°-40&#

25、176;=50°3與AOD互補，AOD=180°-3=130°，OE平分AOD，2=AOD=65°15. C 提示：設(shè)3為x，則1為2x+30°根據(jù)題意得：2x+30+x=180，解得x=50°，2=180°-3=180°-50°=130°故選C16.D 提示：2=60°，4=30°，1=3=180°-60°-30°=90°。17. B 提示：（1）射線有起點，終點在無窮遠處，無法延長，故（1）錯誤；（2）角的定義是具有公共點的兩條射線

26、組成的圖形故（2）錯誤；（3）在直線上畫兩點，兩點之間的部分就是一條線段，在直線上畫一點，這點把直線分成兩部分，這兩部分就是兩個相反方向的射線所以線段和射線都是直線的一部分故（3）正確；（4）兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角如45°+45°=90°，故（4）錯誤；（5）根據(jù)直角的定義可知，大于直角而小于平角的角叫做鈍角，故（5）錯誤；（6）因為補角=180°-這個角，而余角=90°-這個角，故（6）項正確；（7）相等的兩個角有很多情況如是兩條直線平行時，同位角相等等，故（7）錯誤；（8）兩個角的和等于180°就說這

27、兩個角互為補角，故（8）錯誤；（9）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直，故（9）正確所以正確18. 62° 提示：OF平分AOE，AOF=EOF，COD為平角，AOC+AOF+EOF+EOD=180°，AOC與BOD為對頂角，AOC=BOD，又DOE=BOD，2AOC+2EOF=180°，又AOC=28°，EOF=62°19.由圖可知1=BOF，2=AOD，1=50°，2=50°BOF=50°，AOD=50°，又AOD+3+BOF=180°，3=180°-50

28、76;-50°=80°故3的度數(shù)為80°20.根據(jù)鄰補角的定義和性質(zhì)，結(jié)合已知BOC-BOD=20°，可求BOC、BOD的度數(shù)，利用對頂角相等，得AOC的度數(shù)，利用角平分線的定義，可求EOC的度數(shù)，從而求出BOEBOC-BOD=20°且BOC+BOD=180°，BOC=100°，AOC=80°，OE平分AOC，EOC=AOC=40°，BOE=BOC+EOC=140°21.由旋轉(zhuǎn)的定義，找出AOE繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)的角度：AOD根據(jù)已知射線OC平分AOE的鄰補角和圖形，得出AOD=COE=BO

29、C已知DOE=30°，由圖形得，AOB=AOD+DOE+COE+BOC=180°，從而得出AOD的度數(shù)AOE=COD，AOE=AOD+DOE，COD=DOE+COE，AOD=COEOC平分BOE，COE=BOC，AOD=COE=BOCAOB=AOD+DOE+COE+BOC=180°，DOE=30°，AOD=50°把AOE繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得COD，AOD即為AOE旋轉(zhuǎn)的角度，是50°22.（1）AOD=BOC（對頂角相等），AOD=80°。又OE平分BOC，BOE=BOC=×80°=40°。又AOF=BOE（對頂角相等），AOF=40°。（2）OF平分AOD。AOD=80°，AOF=40°，F(xiàn)OD=80°-40°=40°，即AOF=FOD。OF平分AOD。23.（1）3=140°，AOD=3=140°，1=180°-140°=40°，1+2=110°，2=110°-40°=70°；（2）1+2=110°，MOD=180°-110°=70&