吳贛昌編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章

1、第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征、極限定理隨機(jī)變量的數(shù)字特征、極限定理v數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望v方差方差v協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)v大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理4.14.1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例例4.1 甲、乙兩射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知在甲、乙兩射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知在100次射擊次射擊中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下：中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下： 環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)8910次數(shù)次數(shù)301060環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)8910次數(shù)次數(shù)205030甲甲乙乙試問如何評(píng)定甲、乙射手的技術(shù)優(yōu)劣？試問如何評(píng)定甲、乙射手的技術(shù)優(yōu)劣？甲平均射中的環(huán)數(shù)為：甲平均射中的環(huán)數(shù)為：

2、乙平均射中的環(huán)數(shù)為：乙平均射中的環(huán)數(shù)為： (830+910+1060)100=80.3+90.1+100.6=9.3(環(huán)環(huán))(820+950+1030)100=80.2+90.5+100.3=9.1(環(huán)環(huán))因此從平均射中的環(huán)數(shù)看，甲的技術(shù)優(yōu)于乙。因此從平均射中的環(huán)數(shù)看，甲的技術(shù)優(yōu)于乙。 在例在例4.1中，中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6等，是事件等，是事件(X=k)在在100次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率(X為命中為命中的環(huán)數(shù)的環(huán)數(shù))，當(dāng)射擊次數(shù)相當(dāng)大時(shí)，這個(gè)頻率接近于事件，當(dāng)射擊次數(shù)相當(dāng)大時(shí)，這個(gè)頻率接近于事件(X=k)在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在一次試

3、驗(yàn)中發(fā)生的概率pk。上述平均環(huán)數(shù)的計(jì)。上述平均環(huán)數(shù)的計(jì)算可表示為算可表示為我們稱之為隨機(jī)變量我們稱之為隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，或均值。，或均值。108kkkp定義定義4.1 4.1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為是離散型隨機(jī)變量，其分布律為XP(X=xi)=pi, i=1,2,n，如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)1iiipx絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂，并稱級(jí)數(shù)并稱級(jí)數(shù)1iiipx的和為隨機(jī)變量的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作的數(shù)學(xué)期望，記作則稱則稱X的數(shù)學(xué)期望存在的數(shù)學(xué)期望存在，E(X)，即即1)(iiipxXE 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望不存在不存在。 注意：隨機(jī)變量注意：隨機(jī)變量X的

4、數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)完全是由完全是由X的分布律的分布律確定的，而不應(yīng)受確定的，而不應(yīng)受X的可能取值的排列次序的影響，因的可能取值的排列次序的影響，因此要求級(jí)數(shù)此要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。若級(jí)數(shù)1iiipx1iiipx不絕對(duì)收斂不絕對(duì)收斂，例如，設(shè)離散型隨機(jī)變量例如，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為X-2-1012Pk1/162/163/162/168/1687168216211630162) 1(161)2()(XE則則X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為例例4.2 擲一顆均勻的骰子，以擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。2761)(6

5、1iiXE解解 X的分布律為的分布律為X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例例4.4 設(shè)設(shè)X取取kxkkk2) 1(k=1,2,)對(duì)應(yīng)的概率為對(duì)應(yīng)的概率為kxkp21，證明，證明E(X)不存在。不存在。證明證明021kxkp12111kkkxkp且且1111212kkkkkxkkkpxk但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散所以所以E(X)不存在，但級(jí)數(shù)不存在，但級(jí)數(shù)2ln) 1(212) 1(111kkkkkkkxkkkpxk(交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足Leibniz條件條件)(收斂收斂) 要注意數(shù)學(xué)期望的條件：要注意數(shù)學(xué)期望的條件：“絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂”。 定義定義4.2 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變

6、量，概率密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f(x),.)()(dxxxfXE二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若積分若積分dxxxf)(絕對(duì)收斂，則稱絕對(duì)收斂，則稱X的的數(shù)學(xué)期望存在數(shù)學(xué)期望存在，且稱積分且稱積分為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)dxxxf)(即即數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望或均值期望或均值。例例6 6：( , )()XU a bE X。設(shè) ，求1 ( )0 axbbaXf x解： 的概率密度為： 其他X的數(shù)學(xué)期望為：()( )E Xxf x dxbaxdxba2ab( , )a b即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn)幾種重要分布的

7、數(shù)學(xué)期望1)(,5)(),(42)(),(3)(),(2)(),(12XEXXENXbaXEbaUXXEPXnpXEpnbX則的指數(shù)分布服從參數(shù)為、設(shè)則、設(shè)則、設(shè)則、設(shè)則、設(shè)三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理定理4.1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)，的函數(shù)，Y=g(X)(g()為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)) (1)設(shè)設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為離散型隨機(jī)變量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1)(iiipxg絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂，則，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且1)()()(iiipxgXgEYE(2)設(shè)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量

8、，其概率密度為為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，dxxfxg)()(若積分若積分絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂，則，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且dxxfxgXgEYE)()()()( 此定理說明，在求隨機(jī)變量此定理說明，在求隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù)Y=g(X)的的期望時(shí)，不必知道期望時(shí)，不必知道Y的分布而的分布而只需知道只需知道X的分布的分布即可。即可。推廣：設(shè)推廣：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)，g(,)是連是連續(xù)函數(shù)。續(xù)函數(shù)。(1)設(shè)設(shè)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，分布律為是離散型隨機(jī)變量，分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2, 則當(dāng)則當(dāng)絕

9、對(duì)收斂時(shí)，絕對(duì)收斂時(shí)，Z的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且11( ,)ijijijg x yp11),(),()(ijijjipyxgYXgEZE(2)設(shè)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x,y)，則當(dāng)，則當(dāng) dxdyyxfyxg),(),(絕對(duì)收斂時(shí)，絕對(duì)收斂時(shí)，Z的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散離散r.v. ijjiiyxpxXE),()( ijjijyxpyYE),()(連續(xù)連續(xù)r.v. dxdyyxxfXE),()( dxdyyxyfYE),()( iiXixp

10、xXE)()( jjYjypyYE)()( dxxxfXEX)()( dyyyfYEY)()(例例4.7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XB(n,p)，XeY2求求E(Y)解解 XB(n,p)，分布律為，分布律為 nkqpCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)(nkknkknkXqpCeeEYE022)()(nkknkknqpeC02)(nqpe)(2其中其中p+q=1例例4.8 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度具有概率密度設(shè)設(shè)Z=XY，試求，試求Z的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。解解21501( , )0 x yxyf x y其其它它 dxdyyxfxyXYEZE),()()(2815

11、151002 dyydxxxyyO 1 xy1y=x1、設(shè)、設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C;2、設(shè)、設(shè)C是常數(shù)，是常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則為隨機(jī)變量，則E(CX)=CE(X);四四. .數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3、設(shè)、設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y);推廣：推廣： Xi為隨機(jī)變量，為隨機(jī)變量，Ci為常數(shù)，為常數(shù)，i=1,2,nE(C1X1+ C2X2+ CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+ CnE(Xn)4、若、若X，Y是是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量，則E(XY)=E(X)E(Y)。推廣：推廣： X1,X2,

12、Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立，則，則E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)反之不然，即由反之不然，即由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出不能推出它們獨(dú)立。它們獨(dú)立。例例1：已知甲乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有：已知甲乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件件合格品和合格品和3件次品，乙箱中僅裝有件次品，乙箱中僅裝有3件合格品。從甲箱中任件合格品。從甲箱中任取取3件產(chǎn)品放入乙箱中，求乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望。件產(chǎn)品放入乙箱中，求乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望。例例2：已知：已知 0，其它，其它求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X).例例3：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：的分

13、布列為：求：求：X-202P0.40.30.3例例4：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)：的密度函數(shù)：f(x)= 0, 其它其它對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X獨(dú)立地重復(fù)觀察獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用次，用Y表示觀察值大于表示觀察值大于 的次數(shù)，的次數(shù)，求求EY例例5：設(shè)（：設(shè)（X,Y）分布列為：）分布列為：(1)求求E(X),E(Y);(2)設(shè)設(shè)Z=X/Y，求，求E(Z);(3)設(shè)設(shè) ，求，求E(Z)X Y123-10.20.1000.100.310.10.10.12ZXY例例6：設(shè)（：設(shè)（X,Y）的密度函數(shù)：）的密度函數(shù)： f(x,y)= 0 其它其它求：求：E(X),E(Y),E(XY), 212,0

14、1yyx22E XY4.2方差方差一、方差的概念一、方差的概念例例4.13 甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同一種機(jī)軸，軸的直徑為甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同一種機(jī)軸，軸的直徑為10mm，公，公差為差為0.2mm，即直徑在，即直徑在9.8mm到到10.2mm的為合格品，超出范圍的為合格品，超出范圍的均為廢品?，F(xiàn)從甲乙兩機(jī)床的產(chǎn)品中各隨機(jī)地抽取的均為廢品?，F(xiàn)從甲乙兩機(jī)床的產(chǎn)品中各隨機(jī)地抽取6件進(jìn)行測(cè)件進(jìn)行測(cè)試，機(jī)軸的直徑的測(cè)試尺寸如下：試，機(jī)軸的直徑的測(cè)試尺寸如下：(mm)甲甲9.89.910.010.010.110.2乙乙9.09.29.410.610.811.0易知，甲乙兩組產(chǎn)品的直徑的均值都為易知，甲乙兩組產(chǎn)品的直

15、徑的均值都為10.0mm，但兩組的質(zhì)量，但兩組的質(zhì)量顯然差異很大，甲組全為合格品，乙組全為廢品。這里光看均顯然差異很大，甲組全為合格品，乙組全為廢品。這里光看均值無差別，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程值無差別，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程度不同。甲組度不同。甲組離散程度小離散程度小，質(zhì)量較穩(wěn)定質(zhì)量較穩(wěn)定，乙組的，乙組的離散程度大離散程度大，質(zhì)量不穩(wěn)定質(zhì)量不穩(wěn)定。 為衡量一個(gè)隨機(jī)變量為衡量一個(gè)隨機(jī)變量X關(guān)于均值的關(guān)于均值的離散程度離散程度，可用，可用|X- -EX|的的均值均值來表示，稱為來表示，稱為X的絕對(duì)離差，用的絕對(duì)離差，用E|X- -EX|記，這在實(shí)際統(tǒng)記，

16、這在實(shí)際統(tǒng)計(jì)中有一定的作用。但由于絕對(duì)值的均值不易計(jì)算，常用計(jì)中有一定的作用。但由于絕對(duì)值的均值不易計(jì)算，常用隨機(jī)隨機(jī)變量與均值差的平方的均值變量與均值差的平方的均值來描述離散程度。來描述離散程度。 定義定義 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若EX- -EX2存在，則稱存在，則稱EX- -EX2為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的方差方差，記為，記為D(X)或或Var(X)，即即D(X)=EX- -EX2 在應(yīng)用上，常用與隨機(jī)變量在應(yīng)用上，常用與隨機(jī)變量X具有相同量綱的量，具有相同量綱的量，稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的的均方差均方差或或標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差。)()(XDX 方差方差是衡量隨機(jī)變量取值是衡量隨機(jī)變

17、量取值波動(dòng)波動(dòng) 程度程度的一個(gè)數(shù)字特征。的一個(gè)數(shù)字特征。由方差的定義可知，由方差的定義可知，D(X)0。當(dāng)當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量，且分布律為為離散型隨機(jī)變量，且分布律為P(X=xk)=pk時(shí)，時(shí)，則則12)()(kkkpXExXD當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且密度函數(shù)為f(x)，則，則2()()( )D XxE Xf x dx在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式222)()(2)()(XEXXEXEXEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE22)()(XEXE即方差是即方差是“隨機(jī)變量隨機(jī)變量平方的期望減去平方的期望減去隨機(jī)變量隨機(jī)變

18、量期望的期望的平方平方”。例例4.14 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布律如下，求的分布律如下，求D(X)。X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16解解 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)=7/8，25168216211630162) 1(161)2()(222222XE641116449160)87(25)()()(222EXXEXD例例4.15 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量110( )1010 xxXf xxx 其它求求D(X)解解0)1 ()1 ()(0110dxxxdxxxXE61)1 ()1 ()(0110222dxxxdxxxXE61)()()(22EXXEXD二、方差的性質(zhì)二、

19、方差的性質(zhì)1、設(shè)、設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則D(C)=0，且，且D(X+C)=D(X);2、設(shè)、設(shè)C是常數(shù)，是常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則為隨機(jī)變量，則D(CX)=C2D(X); 3、設(shè)、設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有()()( )2 ()( )D XYD XD YE XE XYE Y特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立時(shí)，時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y)所以所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)推論：若隨機(jī)變量推論：若隨機(jī)變量X1, X2,Xn相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)又又X,Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， C1，C2為

20、常數(shù)，則為常數(shù)，則D(C1X+C2Y)= C12 D(X)+C22D(Y)特別注意：特別注意： D(X- -Y)=D(X)+D(Y) (當(dāng)當(dāng)X,Y獨(dú)立獨(dú)立)4、D(X)=0的充分必要條件是的充分必要條件是X以概率以概率1為常數(shù)，即為常數(shù)，即P(X=C)=14.3幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差一、一、01分布分布XB(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1- -p=qE(X)=1p+0(1- -p)=p，E(X2)=12p+02(1- -p)=pD(X)= E(X2)- -(E(X)2=p- -p2=pq=p(1- -p)二、二項(xiàng)分布二、二項(xiàng)分布XB(n,p)分布

21、律為分布律為P(X=k)=Cnkpkqn- -k，(p+q=1)，k=0,1,2,nnkkXpkXE0)()(nkknkknqpCk01!(1)!()!nkn kknpqknk11(1)!(1)!(1)(1)!nkn kknn ppqknknkknkknqpCnp1)1()1(111101111nttntknktqpCpnnpqppnn1)(nkknkqpknknk0)!( !22)()()(EXXEXD2)()() 1(EXXEXXEnkknkknqpCkkXXE0) 1() 1(2)() 1(EXXXXE22)() 1(npnppnnnpqnpnp2其中其中nkknkqpknknkk0)!

22、( !) 1(nkknkqpknknpnn2)2()2(22!)2()2()!2()!2() 1(2022!)2(!)!2() 1(nttntqptntnpnn20222) 1(nttnttnqpCpnn222) 1()() 1(pnnqppnnn隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望學(xué)期望在計(jì)算時(shí)，若將在計(jì)算時(shí)，若將X表示成若干個(gè)相互獨(dú)立的表示成若干個(gè)相互獨(dú)立的01分布分布變量之和，計(jì)算就極為簡(jiǎn)便。變量之和，計(jì)算就極為簡(jiǎn)便。在在n重重Bernoulli試驗(yàn)中，試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概，不發(fā)生的概率為率為q=1- -p。設(shè)。設(shè)則則A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)niiXX1pXE

23、i)(niiXEXE1)()(1nippn不發(fā)生不發(fā)生試驗(yàn)試驗(yàn)第第發(fā)生發(fā)生試驗(yàn)試驗(yàn)第第AiAiXi01ni, 2 , 1XB(n,p)niiXDXD1)()(pqXDi)(1ninppqq三、三、Poisson分布分布XP()，ekkXPk!)(, 2 , 1 , 0k0)()(kkXPkXE0!kkekk1)!1(kkke11)!1(kkke0!ttteee22)()()(EXXEXD2)()1(EXEXXXE222)1(XXE0!) 1()1(kkekkkXXE222)!2(kkke02!ttteee22五、均勻分布五、均勻分布XUa, b其它其它01)(bxaabxfdxxxfXE)()

24、(badxabx12ab22)()()(EXXEXD222)(badxxfxbabadxabx22212()12ba2332)(3baabab六、正態(tài)分布六、正態(tài)分布),(2NX222)(21)(xexfRxdxexx222)(21dxxxfXE)()(tx令令dttett2221)(dtedttett22222121 02)()(EXXEXDdxxfx)()(2dxexx222)(221)(tx令令dtett2222212222ttde dtett222221dtetett222222)20(222N(,2)中中兩個(gè)參數(shù)兩個(gè)參數(shù)和和2 ，分別是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)，分別是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期期望望和和

25、方差方差。 七、指數(shù)分布七、指數(shù)分布( )XE0( )00 xexf xxdxxxfXE)()(0 xxedx122)()()(EXXEXD2201xxedx222211某些常用分布的數(shù)學(xué)期望及方差某些常用分布的數(shù)學(xué)期望及方差（1）若）若), 1 (pBX則則)1 ()(,)(ppXDpXE （2）若）若),(pnBX則則)1 ()(,)(pnpXDnpXE （3）若）若),(PX則則 )(,)(XDXE（4）若）若),(baUX則則12)()(,2)(2abXDbaXE （5）若）若),(eX則則21)(,1)( XDXE（6）若）若),(2NX2)(,)( XDXE則則課課 堂堂 練練 習(xí)

26、習(xí)1.設(shè)設(shè)X 其它0102)(xxxf,求下列求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X-1, (2)(X-2)22. 設(shè)設(shè)X 其它021210)(xxxxxf, 求求E(X),D(X).3. X,Y獨(dú)立，獨(dú)立，D(X)=6，D(Y)=3，則，則D(2X-Y)=（ ）。）。4.3 協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)定義定義 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，如果是二維隨機(jī)變量，如果EX E(X)Y E(Y)存在存在, 則稱它是則稱它是X與與Y的的協(xié)方差協(xié)方差，記為，記為cov(X,Y)即即 cov(X,Y)= EX E(X)Y E(Y)。當(dāng)當(dāng)D(X)0,D(Y)0時(shí)稱時(shí)稱一、概念一、概念)

27、()(),(CovYDXDYXXY為為X與與Y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)，或稱，或稱X與與Y的的標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。XY是一個(gè)無量綱的量。是一個(gè)無量綱的量。當(dāng)當(dāng)X與與Y是離散型隨機(jī)變量時(shí)，分布律是離散型隨機(jī)變量時(shí)，分布律P(X=xi,Y=yj)=pij11)()(),(CovijijjipYEyXExYX當(dāng)當(dāng)X與與Y是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，密度函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，密度函數(shù)f(x,y) dxdyyxfYEyXExYX),()()(),(Cov由協(xié)方差定義可得，對(duì)任意的隨機(jī)變量由協(xié)方差定義可得，對(duì)任意的隨機(jī)變量X、Y，有，有cov(X,Y)= EX E(X)Y E(Y)= E(XY) E(X)E(Y)

28、協(xié)方差的一個(gè)計(jì)算公式。協(xié)方差的一個(gè)計(jì)算公式。又有又有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X- -Y)=D(X)+D(Y)- -2cov(X,Y)二、協(xié)方差的性質(zhì)二、協(xié)方差的性質(zhì)(1) cov(X,Y)=cov(Y,X);(2) cov(X,X)=D(X)，cov(X,C)=0；(3) cov(aX,bY)=abcov(X,Y)，其中其中a,b為常數(shù)；為常數(shù)；(4) cov(X+Y, Z)=cov(X, Z)+cov(Y, Z)；(5)X, Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， cov(X,Y)=0稱稱)()(XDXEX 為為X的的標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)化變量，即，即“隨機(jī)變量與期望之差除以均

29、方差隨機(jī)變量與期望之差除以均方差”若記若記)()(*XDXEXX則則E(X*)=0， D(X*)=1*cov(,)XYXY三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1、|XY|1，即即“相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于等于相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于等于1”。 證明證明),cov(2)()()(*YXYDXDYXD)1 (2XY0)1 (2XY方差的方差的非負(fù)性非負(fù)性|XY|12、 |XY|=1的充分必要條件是的充分必要條件是X與與Y以概率以概率1存在線性關(guān)存在線性關(guān)系系，即，即P(Y=aX+b)=1，a0，a,b為常數(shù)。為常數(shù)。證明（充分性）證明（充分性）(p108)設(shè)設(shè)Y=aX+b，則，則E(Y)=aE(X)+b，

30、D(Y)=a2D(X)Cov(X,Y)= EX E(X)Y E(Y) = EX E(X)aX+b aE(X) b =aEX E(X)2= aD(X)0101)(),(CovaaaaDXaDXXDaDYDXYXXY即即 |XY|=1（必要性）設(shè)（必要性）設(shè)XY=1，則，則性質(zhì)性質(zhì)10)()(DYYEYDXXEXD1)()(CDYYEYDXXEXP方差性質(zhì)方差性質(zhì)DYYEYDXXEXEC)()(0)(*YXE其中其中1)()(DYYEYDXXEXP1)()(XEDXDYYEXDXDYYP即即X與與Y以概率以概率1存在線性關(guān)系，此時(shí)稱存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X，Y正相關(guān)正相關(guān)。當(dāng)當(dāng)XY=- -1時(shí)時(shí)0)

31、()(DYYEYDXXEXD1)()(CDXYEYDXXEXP其中其中DYYEYDXXEXEC)()(0)()(*YEXE1)()(DYYEYDXXEXP1)()(YEXEDXDYXDXDYYP即即X與與Y以概率以概率1存在線性關(guān)系，此時(shí)稱存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X，Y負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)。定義定義 若若XY=0，則，則稱稱X與與Y不相關(guān)不相關(guān)。3、若、若X與與Y相互獨(dú)立，則必有相互獨(dú)立，則必有X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。證明證明 X與與Y相互獨(dú)立，有相互獨(dú)立，有E(XY)=E(X)E(Y)cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)=0所以所以 XY=0即即X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。注意：注意：X與與Y不相

32、關(guān)，不相關(guān)， X與與Y未必相互獨(dú)立未必相互獨(dú)立。所謂不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言，而相互獨(dú)立是就所謂不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言，而相互獨(dú)立是就一般關(guān)系而言的。一般關(guān)系而言的。二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y) ，X與與Y獨(dú)立獨(dú)立例例4.18 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量221212(, ) (,; )X YN 則可求得協(xié)方差則可求得協(xié)方差cov(X,Y)=1 2且相關(guān)系數(shù)且相關(guān)系數(shù)XY =二維正態(tài)變量二維正態(tài)變量(X,Y)，X與與Y相互獨(dú)立的充分必要條相互獨(dú)立的充分必要條件是件是=0(P78 例例7)；而而XY =0表示表示X與與Y不相關(guān)，不相關(guān)，可見，可見， X與與Y獨(dú)立的獨(dú)立的充分必要條

33、件是充分必要條件是X與與Y不相關(guān)不相關(guān)。 X與與Y不相關(guān)不相關(guān)等價(jià)于等價(jià)于矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣1、若、若E(Xk)存在，則稱存在，則稱Ak=E(Xk)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的k階原階原點(diǎn)矩點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱k階矩階矩(k=1,2,)，而，而E(|X|k)稱為稱為X的的k階絕階絕對(duì)原點(diǎn)矩；對(duì)原點(diǎn)矩；2、若、若EX-E(X)k存在，則稱存在，則稱Bk=EX-E(X)k為隨機(jī)為隨機(jī)變量變量X的的k階中心矩階中心矩(k=1,2,)，而，而E|X-E(X)|k稱為稱為X的的k階絕對(duì)中心矩；階絕對(duì)中心矩；3、若、若E(XkYl)存在，則稱存在，則稱E(XkYl)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X、Y的的k+l

34、階階混合混合原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩(k,l=1,2,)；4、若、若EX E(X)kY E(Y)l存在，則稱存在，則稱EX E(X)kY E(Y)l維隨機(jī)變量的維隨機(jī)變量的k+l階階混合混合中心矩中心矩(k,l=1,2,)。由矩的概念由矩的概念數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)即為即為X的一階原點(diǎn)矩；的一階原點(diǎn)矩；方差方差D(X)即為即為X的二階中心矩。的二階中心矩。 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn為為n個(gè)隨機(jī)變量，記個(gè)隨機(jī)變量，記cij=Cov(Xi,Xj)，i,j=1,2,n。則稱由。則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量組成的矩陣為隨機(jī)變量X1,X2,Xn的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣C。即。即nnnnnnnnijcccccccc

35、ccC.)(212222111211)Chebyshev(不等式或或2, EXDX方方差差,022|/ PX22|1/ PX定理：（切比雪夫不等式）定理：（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X 有數(shù)學(xué)期望有數(shù)學(xué)期望對(duì)任意對(duì)任意不等式不等式成立，成立，稱此式為切比雪夫不等式稱此式為切比雪夫不等式. .4.4 大數(shù)定理大數(shù)定理22|/ PX22|1/ PX證明證明：設(shè)：設(shè)X X為連續(xù)性（離散型類似），其密度為為連續(xù)性（離散型類似），其密度為 .xf|=( ) xf x dx 22|( ) xxf x dx 22 |1/ PX于于是是|PX221()( ) Rxf x dx 22 22|/ P

36、X22|1/ PX切比雪夫不等式切比雪夫不等式 說明說明 （1 1）證明切）證明切比雪夫比雪夫大數(shù)定律；大數(shù)定律；（2 2）表明）表明D D（X X）描述了）描述了X X偏離偏離E E（X X）的離散程度；）的離散程度；（3 3）給出）給出X X的分布未知時(shí)，事件的分布未知時(shí)，事件 |X-E|X-E（X X）| |的概的概率的一個(gè)率的一個(gè)大致估計(jì)大致估計(jì)。22/|XP22/1|XP對(duì)未知分布對(duì)未知分布X X，取，取,2,3 22| 3 1/ 3 PX80.89 9 22| 2 1/ 2 PX30.75 4例例1 1 估計(jì)估計(jì)|()| 3()XE XD X的概率的概率2()1|()| 3() 9

37、(3() )D XPXE XD XD X解解練練 習(xí)習(xí)例例 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差為的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式，則根據(jù)切比雪夫不等式 有有 )2)(XEXp )6(YXp例例 2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 和和 Y 的數(shù)學(xué)期望分別為的數(shù)學(xué)期望分別為-2 和和 2 ，方，方 差分別為差分別為1 和和 4 ，而相關(guān)系數(shù)為，而相關(guān)系數(shù)為 0.5， 則根據(jù)切比雪則根據(jù)切比雪 夫不等式有夫不等式有 例例3 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 的概率分布為的概率分布為X 1 2 3 p 0.2 0.3 0.5試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)事件試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)事件5 . 1)( XEX的概率的

38、概率.大數(shù)定理大數(shù)定理 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn，若存在隨機(jī)變量，若存在隨機(jī)變量Y，使得對(duì)于任意正數(shù)使得對(duì)于任意正數(shù) ，均有，均有0)|(|limYXPnn則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Xn依概率收斂依概率收斂于隨機(jī)變量于隨機(jī)變量Y，并記，并記為為PnXY 一、依概率收斂一、依概率收斂若存在常數(shù)若存在常數(shù)a，任意的，任意的正數(shù)正數(shù) ，使得，使得0limaXPnn則稱則稱隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列Xn依概率收斂于常數(shù)依概率收斂于常數(shù)a，并記為，并記為aXPn意思是：當(dāng)意思是：當(dāng)aaanXaXn而而意思是：意思是：N, 0|aXnn時(shí)，時(shí)，Xn落在落在),(aa內(nèi)的概率越來越大

39、。內(nèi)的概率越來越大。, ,當(dāng)當(dāng)NnN ,Nn aXPnaXPnaXn與與的區(qū)別的區(qū)別 辛欽大數(shù)定理（弱大數(shù)定理）辛欽大數(shù)定理（弱大數(shù)定理） 設(shè)設(shè)X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n為獨(dú)為獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，且有相同的數(shù)學(xué)期望立、同分布的隨機(jī)變量，且有相同的數(shù)學(xué)期望E E（X Xi i）= = （i=1,2,=1,2,），）， 則對(duì)則對(duì)00，有，有11lim1niinXnP1nii=1XXn或或者者， 序 序列列 以概率收斂于以概率收斂于 PX 即即 辛欽大數(shù)定律表明辛欽大數(shù)定律表明 若若Xk，k=1,2,.為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, EXk= 0)(i=1,

40、2,)，記前，記前n個(gè)變量的和個(gè)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為的標(biāo)準(zhǔn)化變量為一、一、獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理(Lindeberg- Levy林德貝格林德貝格-列維列維)(P117 定理定理3 )nnXYniin1則則Yn的分布函數(shù)的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的對(duì)任意的x(- -,+)都有都有 xnnXPxYPxFniinnnnn1lim)(lim)(limdtetx2221 該定理說明，當(dāng)該定理說明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)， Yn近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，態(tài)分布，YnN(0,1)，)(n隨機(jī)變量隨機(jī)變量近似地服從于正態(tài)分布近似地服從于正態(tài)分布nYnXnnii1),(2nnN 中心極限定理可以解釋如下：中心極限定理可以解釋如下： 假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和量的和，其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和的作用都很微小，其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和的作用都很微小，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布的。的。 在實(shí)際工作中，在實(shí)際工作中，只要只要n足夠大，便可把獨(dú)立同分布足夠大，便可把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量