網(wǎng)絡(luò)流算法介紹與分析

1、網(wǎng)絡(luò)流一些符號和定義一些符號和定義V表示整個圖中的所有結(jié)點的集合.E表示整個圖中所有邊的集合.G = (V,E) ,表示整個圖.s表示網(wǎng)絡(luò)的源點,t表示網(wǎng)絡(luò)的匯點.對于每條邊(u,v),有一個容量c(u,v) (c(u,v)=0)如果c(u,v)=0，則表示(u,v)不存在在網(wǎng)絡(luò)中。如果原網(wǎng)絡(luò)中不存在邊(u,v)，則令c(u,v)=0對于每條邊(u,v),有一個流量f(u,v).v1tsv2(2,2)(4,4)(2,4)(0,3)(2,2)一個簡單的一個簡單的例子例子.網(wǎng)絡(luò)可網(wǎng)絡(luò)可以被想象成以被想象成一些輸水的一些輸水的管道管道.括號內(nèi)括號內(nèi)右邊的數(shù)字右邊的數(shù)字表示管道的表示管道的容量容量,左

2、邊的左邊的數(shù)字表示這數(shù)字表示這條管道的當(dāng)條管道的當(dāng)前流量前流量.網(wǎng)絡(luò)流的三個性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)流的三個性質(zhì)1、容量限制容量限制: fu,v v2 - v1 - t這條路徑這條路徑經(jīng)過的弧的流量都增加經(jīng)過的弧的流量都增加2,就得到了該網(wǎng)絡(luò)的最就得到了該網(wǎng)絡(luò)的最大流。大流。注意到這條路徑經(jīng)過了一條后向弧注意到這條路徑經(jīng)過了一條后向弧:(v2,v1)。如果不設(shè)立后向弧，算法就不能發(fā)現(xiàn)這條路徑。如果不設(shè)立后向弧，算法就不能發(fā)現(xiàn)這條路徑。從本質(zhì)上說，后向弧為算法糾正自己所犯的錯從本質(zhì)上說，后向弧為算法糾正自己所犯的錯誤提供了可能性，它允許算法取消先前的錯誤誤提供了可能性，它允許算法取消先前的錯誤的行為（讓的行為（

3、讓2單位的流從單位的流從v1流到流到v2)為什么要建立后向弧為什么要建立后向弧當(dāng)然當(dāng)然,可以把上面說的情況當(dāng)成特殊情況可以把上面說的情況當(dāng)成特殊情況來處理。但使用后向弧可以使編程簡單來處理。但使用后向弧可以使編程簡單許多許多.注意注意,后向弧只是概念上的后向弧只是概念上的,在程序中后向在程序中后向弧與前向弧并無區(qū)別弧與前向弧并無區(qū)別.增廣路增廣路增廣路定義：增廣路定義：在殘在殘量網(wǎng)絡(luò)中的一條從量網(wǎng)絡(luò)中的一條從s通往通往t的路徑，其的路徑，其中任意一條弧中任意一條弧(u,v)，都有，都有ru,v0。綠色的即為一條增綠色的即為一條增廣路。廣路。v1tsv2232422增廣路算法增廣路算法增廣路算法

4、：每次用增廣路算法：每次用BFS找一條最找一條最短的增廣路徑，然后沿著這條路徑短的增廣路徑，然后沿著這條路徑修改流量值（實際修改的是殘量網(wǎng)修改流量值（實際修改的是殘量網(wǎng)絡(luò)的邊權(quán)）。當(dāng)沒有增廣路時，算絡(luò)的邊權(quán)）。當(dāng)沒有增廣路時，算法停止，此時的流就是最大流。法停止，此時的流就是最大流。下面證明增廣路算法的正確性下面證明增廣路算法的正確性.將將f,c,rf,c,r的定義域擴展為點集的定義域擴展為點集(在以后的敘述中在以后的敘述中,大寫字母大寫字母X,Y,S,T一般均表示一般均表示點集點集)點集間的流量和點集間的流量和: f(X,Y) =即即:X中的任意一點與中的任意一點與Y中的任意一點組成的所中的

5、任意一點組成的所有邊上的流量之和有邊上的流量之和.(邊的方向為從邊的方向為從X中的結(jié)點中的結(jié)點到到Y(jié)中的結(jié)點中的結(jié)點)c,r等函數(shù)都有類似的定義等函數(shù)都有類似的定義.(點集間的容量和、點集間的容量和、點集間的殘量網(wǎng)絡(luò)容量和點集間的殘量網(wǎng)絡(luò)容量和)XxYyyxf),(結(jié)論結(jié)論1 11.f(X,X) = 0 (由流量反對稱性由流量反對稱性)2. f(X,Y) = -f(Y,X) (有流量反對稱性有流量反對稱性)3.f(X Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (顯然顯然)4.f(X,Y Z) = f(X,Y) + f(X,Z) (顯然顯然)最大流最小割定理最大流最小割定理網(wǎng)絡(luò)流中這三個條件

6、等價（網(wǎng)絡(luò)流中這三個條件等價（在同一個時刻）:1、f是最大流是最大流2、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑3、|f| = c(S,T)1 1、f f是最大流是最大流2 2、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑3 3、|f| = c(S,T) |f| = c(S,T) 1 - 2證明證明: 顯然顯然.假設(shè)有增廣路徑假設(shè)有增廣路徑,由于增廣路徑的容量至少為由于增廣路徑的容量至少為1,所以所以用這個增廣路徑增廣過后的流的流用這個增廣路徑增廣過后的流的流量肯定要比量肯定要比f的大的大,這與這與f是最大流矛是最大流矛盾盾.割的定義割的定義一個割一個割(S,T)由兩個點集由兩

7、個點集S,T組成組成.S+T = Vs 屬于屬于 S.t 屬于屬于 T.提出割的定義提出割的定義,是為后面的證明作鋪墊是為后面的證明作鋪墊.結(jié)論結(jié)論2(2(點集總流量為零點集總流量為零) )不包含不包含s和和t的點集的點集,于它相關(guān)聯(lián)的邊上的流量之于它相關(guān)聯(lián)的邊上的流量之和為和為0.證明證明: f(X,V) = = (由流量平衡由流量平衡) = 0 ),( XxYyyxfXx0結(jié)論結(jié)論3 3任意割的流量等于整個網(wǎng)絡(luò)的流量任意割的流量等于整個網(wǎng)絡(luò)的流量.證明證明: f(S,T) = f(S,V) f(S,S) (由輔助定理由輔助定理1) = f(S,V) (由輔助定理由輔助定理1) = f(S,

8、V) + f(S s,V) (同上同上) = f(s,V) (由輔助定理由輔助定理2) = |f| (由由|f|的定義的定義)結(jié)論結(jié)論4 4網(wǎng)絡(luò)的流量小于等于任意一個割的網(wǎng)絡(luò)的流量小于等于任意一個割的容量容量.(注意注意這個與輔助定理這個與輔助定理3的區(qū)別的區(qū)別.這里是容量這里是容量)即即|f| = c(S,T)證明證明: |f| = f(S,T) = (由定義由定義) 3證明證明: 定義定義S = s v | 在殘量網(wǎng)絡(luò)中在殘量網(wǎng)絡(luò)中s到到v有一條路徑有一條路徑 ; T = V- S. 則則 (S,T) 是一個割是一個割.|f| = f(S,T) (由輔助定理由輔助定理3)而且而且,r(S,

9、T) = 0. 假設(shè)不為假設(shè)不為0,則在殘量網(wǎng)絡(luò)中則在殘量網(wǎng)絡(luò)中, 兩個集合間必定有邊相連兩個集合間必定有邊相連,設(shè)在設(shè)在S的一端為的一端為v,在在T的一端為的一端為u. 那么那么,s就可以通過就可以通過v到達到達u,那么根那么根據(jù)據(jù)S的定義的定義,u就應(yīng)該在就應(yīng)該在S中中.矛盾矛盾. 所以所以,|f| = f(S,T) = c(S,T) r(S,T) = c(S,T)1 1、f f是最大流是最大流2 2、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑3 3、|f| = c(S,T) |f| = c(S,T) 3 - 1證明證明: |f| 0),那么那么|f|+d肯定不能滿肯定不能滿足上面

10、的條件足上面的條件.1 1、f f是最大流是最大流2 2、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑3 3、|f| = c(S,T) |f| = c(S,T) 增廣路算法的正確性增廣路算法的正確性如果如果 最大流最小割定理不能從最大流最小割定理不能從2推出推出3,那那么存在這樣一種可能性么存在這樣一種可能性: 盡管找不到增廣路徑了盡管找不到增廣路徑了,但由于前面的錯但由于前面的錯誤決策誤決策,導(dǎo)致導(dǎo)致f還沒有到達最大流還沒有到達最大流,卻不能卻不能通過修改當(dāng)前流來得到最大流通過修改當(dāng)前流來得到最大流.但由于最大流最小割定理的三個條件互但由于最大流最小割定理的三個條件互相等價相等價(1-

11、2,2-3,3-1), 一個流是最大一個流是最大流流當(dāng)且僅當(dāng)它沒有增廣路徑它沒有增廣路徑.增廣路算法的效率增廣路算法的效率設(shè)設(shè)n = |V|, m = |E|每次增廣都是一次每次增廣都是一次BFS,效率為效率為O(m)所以所以,總共的時間復(fù)雜度為總共的時間復(fù)雜度為O(m*f*)其中其中f*為增廣次數(shù)為增廣次數(shù).怎么求怎么求f*?f f* *對于隨機數(shù)據(jù)對于隨機數(shù)據(jù),f*的值與的值與n比較接近比較接近.當(dāng)當(dāng)m不不太大也不太小時太大也不太小時,f*的值較大的值較大.(我出隨機數(shù)據(jù)的方法是我出隨機數(shù)據(jù)的方法是:固定地為源點和固定地為源點和匯點連上一些邊匯點連上一些邊,然后隨機生成中間的邊然后隨機生成

12、中間的邊.中間的邊保證邊的兩個端點的編號相差中間的邊保證邊的兩個端點的編號相差不太大不太大.這與不少題目轉(zhuǎn)成網(wǎng)絡(luò)流后形成這與不少題目轉(zhuǎn)成網(wǎng)絡(luò)流后形成的圖相似的圖相似)f f* *的理論上界的理論上界考慮每一次增廣考慮每一次增廣,至少有一條邊的至少有一條邊的r(u,v)值等于增廣路徑的流量值等于增廣路徑的流量.稱這些邊為臨界稱這些邊為臨界邊邊.增廣之后增廣之后,這條臨界邊就在殘量網(wǎng)絡(luò)中這條臨界邊就在殘量網(wǎng)絡(luò)中消失消失.假設(shè)一條臨界邊對應(yīng)一次增廣假設(shè)一條臨界邊對應(yīng)一次增廣(事實上很事實上很難達到這樣難達到這樣),令每條邊成為臨界邊的次數(shù)令每條邊成為臨界邊的次數(shù)為為k(u,v),則有則有f* = O

13、(m*k).k的上界的上界?k k的上界的上界如果要讓一條曾經(jīng)的臨界邊如果要讓一條曾經(jīng)的臨界邊(u,v)再次成為臨界邊再次成為臨界邊,則必須有一條增廣路徑包含邊則必須有一條增廣路徑包含邊(v,u).因為每次增廣因為每次增廣之后臨界邊就消失之后臨界邊就消失,要讓他再次成為臨界邊至少要要讓他再次成為臨界邊至少要讓他再次在殘量網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)讓他再次在殘量網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn),即即(v,u)要被增廣要被增廣.結(jié)合上面的結(jié)論可以證明結(jié)合上面的結(jié)論可以證明,當(dāng)算法取的增廣路總是當(dāng)算法取的增廣路總是殘量網(wǎng)絡(luò)中的最短路殘量網(wǎng)絡(luò)中的最短路,任意一條邊成為臨界邊的次任意一條邊成為臨界邊的次數(shù)至多為數(shù)至多為n/2-1.因此因此,

14、增廣路算法的效率為增廣路算法的效率為O(f*m) = O(km2) = O(nm2). (這只是個上界這只是個上界,一般情況是達不到的一般情況是達不到的)備注中為增廣路算法我的代碼實現(xiàn)。數(shù)組備注中為增廣路算法我的代碼實現(xiàn)。數(shù)組u是殘量是殘量網(wǎng)絡(luò)的容量。網(wǎng)絡(luò)的容量。預(yù)流推進算法預(yù)流推進算法下面將介紹一個更直觀且時間效率下面將介紹一個更直觀且時間效率更優(yōu)的算法更優(yōu)的算法.一個直觀的想法一個直觀的想法如果給你一個網(wǎng)絡(luò)流如果給你一個網(wǎng)絡(luò)流,讓你手算出它的最讓你手算出它的最大流大流,你會怎么算你會怎么算?一般人都會嘗試著從源點出發(fā)一般人都會嘗試著從源點出發(fā),讓每條邊讓每條邊的流量盡可能得大的流量盡可能得

15、大,然后一點點往匯點推然后一點點往匯點推,直到遇到一條比較窄的弧直到遇到一條比較窄的弧,原先的流量過原先的流量過不去了不去了,這才減少原先的流量這才減少原先的流量.v1tsv2(0,2)(4,4)(0,4)(3,3)(0,2)例例2.一個直觀的想法一個直觀的想法大致的思路：從源點出發(fā)，大致的思路：從源點出發(fā)，逐步推進。逐步推進。稱當(dāng)前狀態(tài)下不滿足流量稱當(dāng)前狀態(tài)下不滿足流量平衡的結(jié)點為平衡的結(jié)點為“溢出的結(jié)溢出的結(jié)點點”.(對于結(jié)點對于結(jié)點u,f(V,u) 0 )令令e(u) = f(V,u),稱為稱為u點的點的贏余，直觀地描述，就是贏余，直觀地描述，就是“流入的比流出的多多流入的比流出的多多少

16、少”。e(v1)=4,e(v2)=3。不斷將溢出的結(jié)點中的贏不斷將溢出的結(jié)點中的贏余往后繼點推進余往后繼點推進,直到贏余直到贏余都聚集在都聚集在t.v1tsv2(2,2)(4,4)(0,4)(3,3)(2,2)如果多推了一些流量如果多推了一些流量, 我們可以再把它推回我們可以再把它推回來來. (如如e(v2)=3,但這但這3個單位的贏余已經(jīng)沒個單位的贏余已經(jīng)沒地方去了地方去了,只能推回只能推回來來.)(沿著后向弧沿著后向弧)這副這副圖是原網(wǎng)絡(luò)而不是殘圖是原網(wǎng)絡(luò)而不是殘量網(wǎng)絡(luò)量網(wǎng)絡(luò),因此沒把后項因此沒把后項弧畫出來弧畫出來)例例2.2.一個直觀的想法一個直觀的想法v1tsv2(2,2)(4,4)

17、(0,4)(3,3)(2,2)程序沒有全局觀程序沒有全局觀?!?!此時此時e(v2)=3.正確的回正確的回推法是往推法是往(v2,s)推推1,往往(v2,v1)推推2,然后使得這然后使得這2個單位的贏余可以從個單位的贏余可以從(v1,t)推到推到t上。上。但程序沒有全局觀但程序沒有全局觀,它它萬一往萬一往(v2,s)推了推了3個單個單位怎么辦位怎么辦?我們總不能我們總不能嘗試所有的可能性吧嘗試所有的可能性吧,那樣就變成搜索了那樣就變成搜索了.引導(dǎo)機制引導(dǎo)機制把流推錯可能導(dǎo)致產(chǎn)生的流不是最大流把流推錯可能導(dǎo)致產(chǎn)生的流不是最大流.我們需要有一個能引導(dǎo)流的推進方向的我們需要有一個能引導(dǎo)流的推進方向的

18、機制機制,當(dāng)它發(fā)現(xiàn)我們先前的推進是錯誤的當(dāng)它發(fā)現(xiàn)我們先前的推進是錯誤的時候時候,能沿著正確的后向弧回推回來能沿著正確的后向弧回推回來.由于建立了后向弧由于建立了后向弧,正推與回推在程序中正推與回推在程序中并無卻別，都是在推殘量網(wǎng)絡(luò)中的一條并無卻別，都是在推殘量網(wǎng)絡(luò)中的一條邊邊.高度標號的引導(dǎo)作用高度標號的引導(dǎo)作用高度標號就是這樣的一個引導(dǎo)機制高度標號就是這樣的一個引導(dǎo)機制.我們規(guī)定我們規(guī)定,如果一個結(jié)點溢出了如果一個結(jié)點溢出了,那么他的那么他的多余的流量只能流向高度標號比自己低多余的流量只能流向高度標號比自己低的結(jié)點的結(jié)點.(“水往低處流水往低處流”)當(dāng)然當(dāng)然,高度標號不可能事先知道往哪些方高

19、度標號不可能事先知道往哪些方向推才是正確的向推才是正確的.它將按情況動態(tài)改變自它將按情況動態(tài)改變自己的值己的值,從而正確地引導(dǎo)流向從而正確地引導(dǎo)流向.重標號操作重標號操作當(dāng)一個結(jié)點有贏余當(dāng)一個結(jié)點有贏余(溢出了溢出了), 周圍卻沒有周圍卻沒有高度比它低的結(jié)點時候高度比它低的結(jié)點時候,我們就用重標號我們就用重標號操作使它的標號上升到比周圍最低的結(jié)操作使它的標號上升到比周圍最低的結(jié)點略高一點點略高一點,使他的贏余能流出去使他的贏余能流出去.贏余千萬不能困在某個結(jié)點里贏余千萬不能困在某個結(jié)點里.對于任意對于任意一個非源非匯的結(jié)點，有贏余就意味著一個非源非匯的結(jié)點，有贏余就意味著它不滿足流量平衡，也就

20、意味著整個網(wǎng)它不滿足流量平衡，也就意味著整個網(wǎng)絡(luò)流不是一個真正合法的網(wǎng)絡(luò)流。絡(luò)流不是一個真正合法的網(wǎng)絡(luò)流。重標號操作重標號操作對于例對于例2的這種情況的這種情況,v2中過多的贏余最中過多的贏余最終會沿著終會沿著(v2,v1)、(v2,s)流回去流回去(雖然他雖然他們一開始流錯了方向們一開始流錯了方向,但后來又被回推但后來又被回推,等等于說是被改正了于說是被改正了)。只有當(dāng)非源非匯的結(jié)點中的贏余全部流只有當(dāng)非源非匯的結(jié)點中的贏余全部流到匯點或流回源點后，這個流才重新合到匯點或流回源點后，這個流才重新合法。法。高度函數(shù)高度函數(shù)高度函數(shù)高度函數(shù)h(v)返回一個返回一個v的高度標號。的高度標號。高度函

21、數(shù)有三個基本條件：高度函數(shù)有三個基本條件：h(s) = |V|h(t) = 0對于對于Ef(殘量網(wǎng)絡(luò)殘量網(wǎng)絡(luò))中的每一條邊中的每一條邊(u,v),(r(u,v)0)h(u) 0,那就表示那就表示從從u到到v還可以增加流量還可以增加流量,那那h(u)就應(yīng)該比就應(yīng)該比h(v)高才對高才對.的的確確,我們后面還將規(guī)定我們后面還將規(guī)定,只有在只有在h(u)h(v)的時候才能應(yīng)的時候才能應(yīng)用推進操作用推進操作(將一個結(jié)點的盈余推進到另一個結(jié)點的操將一個結(jié)點的盈余推進到另一個結(jié)點的操作作).而高度函數(shù)為了滿足其合法性而高度函數(shù)為了滿足其合法性,還要滿足上述的這還要滿足上述的這三個條件三個條件.后面我們將利

22、用這三個條件證明預(yù)流推進算后面我們將利用這三個條件證明預(yù)流推進算法的正確性。法的正確性。高度函數(shù)的條件的實質(zhì)高度函數(shù)的條件的實質(zhì)h(u) 0，r(u,v)0, h(u) = h(v)+1（u溢出，溢出，(u,v)在殘量網(wǎng)絡(luò)中，兩者的高在殘量網(wǎng)絡(luò)中，兩者的高度差為度差為1）推進量為推進量為e(u)與與r(u,v)的最小值。的最小值。推進時同時更改相關(guān)的推進時同時更改相關(guān)的r與與e的值。的值。推進操作推進操作 偽代碼偽代碼Procedure Push(u,v)lX min e(u), r(u,v) lDec(r(u,v), x)Inc(r(v,u), x)lDec(e(u), x) Inc(e(v

23、), x)重標號操作重標號操作使用對象：使用對象： 一個結(jié)點一個結(jié)點u使用條件：使用條件：結(jié)點結(jié)點u溢出；殘量網(wǎng)絡(luò)中周圍所有的點的溢出；殘量網(wǎng)絡(luò)中周圍所有的點的高度都不比它低。高度都不比它低。Relabel(u)lu(u) = min h(v) | (u,v)是殘量網(wǎng)絡(luò)總的邊是殘量網(wǎng)絡(luò)總的邊 + 1使用了重標號操作后使用了重標號操作后,至少存在一個至少存在一個(u,v)滿足滿足h(u)=h(v)+1.預(yù)流初始化預(yù)流初始化(Init-Preflow)(Init-Preflow)一開始的時候，我們要讓和源點一開始的時候，我們要讓和源點s相關(guān)連的邊相關(guān)連的邊都盡可能的充滿。但由于都盡可能的充滿。但由

24、于s沒有溢出，不符合沒有溢出，不符合推進操作的使用條件，我們需要另寫一段初始推進操作的使用條件，我們需要另寫一段初始化的代碼。還得做的一件事是初始化高度函數(shù)化的代碼。還得做的一件事是初始化高度函數(shù).h(s) = n h(v) = 0 (vs)對于所有與對于所有與s相關(guān)聯(lián)的點相關(guān)聯(lián)的點v，lInc( e(v), c(s,v) ), Dec( e(s), c(s,v) )l將邊將邊(s,v)反向，變成反向，變成(v,s) （在殘量網(wǎng)絡(luò)中）。（在殘量網(wǎng)絡(luò)中）。初始化過后，初始化過后，e(s)變成負數(shù)。變成負數(shù)。結(jié)論結(jié)論5 5對于一個對于一個溢出的結(jié)點溢出的結(jié)點，兩個關(guān)鍵操作（推進，兩個關(guān)鍵操作（推進

25、和重標號）能且只能應(yīng)用一個。和重標號）能且只能應(yīng)用一個。證明：對于一個溢出的結(jié)點證明：對于一個溢出的結(jié)點u,和所有與他相和所有與他相關(guān)聯(lián)的點關(guān)聯(lián)的點v( (u,v)在殘量網(wǎng)絡(luò)中存在在殘量網(wǎng)絡(luò)中存在),必然有必然有h(u) = h(v) + 1.(由高度函數(shù)的定義由高度函數(shù)的定義).根據(jù)根據(jù)v分成兩種情況分成兩種情況:1).所有所有v都有都有h(u)h(v)+1 2).至少存在一個至少存在一個v,使得使得h(u)=h(v)+1. 而而1)2)互為否命題互為否命題,不能同時成不能同時成立或同時不成立立或同時不成立.那么那么1)對應(yīng)重標號對應(yīng)重標號,2)對應(yīng)推對應(yīng)推進進,兩者必能應(yīng)用一個且只能應(yīng)用一

26、個兩者必能應(yīng)用一個且只能應(yīng)用一個.一般的預(yù)流推進算法一般的預(yù)流推進算法由輔助定理由輔助定理5,得到了一個一般的預(yù)流推得到了一個一般的預(yù)流推進算法進算法.(好短好短)Init-PreflowWhile 存在一個溢出的結(jié)點存在一個溢出的結(jié)點l選一個結(jié)點選一個結(jié)點,應(yīng)用相應(yīng)的關(guān)鍵操作應(yīng)用相應(yīng)的關(guān)鍵操作(推進或重推進或重標號標號).當(dāng)不存在溢出結(jié)點時當(dāng)不存在溢出結(jié)點時(s,t不算不算),算法結(jié)束算法結(jié)束,得到一個可行流得到一個可行流,并且還是最大流并且還是最大流.預(yù)流推進算法的正確性預(yù)流推進算法的正確性預(yù)流只是不滿足流量平衡預(yù)流只是不滿足流量平衡,網(wǎng)絡(luò)流的前兩網(wǎng)絡(luò)流的前兩條性質(zhì)條性質(zhì)-容量限制和反對稱

27、性它還是滿容量限制和反對稱性它還是滿足的足的.當(dāng)不存在溢出結(jié)點時當(dāng)不存在溢出結(jié)點時,流量平衡也滿流量平衡也滿足了足了.所以所以,當(dāng)算法結(jié)束時當(dāng)算法結(jié)束時,我們得到一個可行流我們得到一個可行流(合法流合法流).為什么他是一個最大流呢為什么他是一個最大流呢?下面先看幾個結(jié)論下面先看幾個結(jié)論:結(jié)論結(jié)論6(6(結(jié)點高度永不下降結(jié)點高度永不下降) )只有重標號操作能更改結(jié)點的高度標號只有重標號操作能更改結(jié)點的高度標號.在重標號操作應(yīng)用前在重標號操作應(yīng)用前,必有必有h(u) = h(u) + 1.所以所以,在重標號操作后在重標號操作后,高度標號至少高度標號至少+1.結(jié)論結(jié)論7 7在算法執(zhí)行過程中在算法執(zhí)行

28、過程中,h始終是一個合法的始終是一個合法的高度函數(shù)高度函數(shù).(滿足那三個條件滿足那三個條件)1).考察一個被重標號的結(jié)點考察一個被重標號的結(jié)點u.l設(shè)設(shè)(u,v)存在于存在于Ef,v0是所有是所有v中中h最小的一個最小的一個. H(u)=h(v0)+1,滿足滿足h(u)=h(v0)+1,而而h(v0) = h(v),所以所以 h(u)=h(v)+1.l設(shè)設(shè)(w,u)存在于存在于Ef,則則h(w)=h(u)+1=h(u)+1.仍舊滿足仍舊滿足.結(jié)論結(jié)論7 7在算法執(zhí)行過程中在算法執(zhí)行過程中,h始終是一個合法的始終是一個合法的高度函數(shù)高度函數(shù).(滿足那三個條件滿足那三個條件)2).考察一個被推進的

29、邊考察一個被推進的邊(u,v).l(v,u)可能是在這次推進之后才出現(xiàn)在可能是在這次推進之后才出現(xiàn)在Ef中中.它的出現(xiàn)使得新增了一個限制條它的出現(xiàn)使得新增了一個限制條件件:h(v)=h(u)+1.不過不過,這顯然是滿足的這顯然是滿足的,因因為推進操作的使用條件是為推進操作的使用條件是h(u)=h(v)+1.那么那么h(v)=h(u)-1 = h(u)+1結(jié)論結(jié)論8(8(預(yù)流中無增廣路預(yù)流中無增廣路) )當(dāng)當(dāng)h是一個合法的高度函數(shù)時是一個合法的高度函數(shù)時,Gf中始終中始終不存在增廣路不存在增廣路.(這個定理展示了這個定理展示了h的條件的條件的重要性和巧妙性的重要性和巧妙性)證明證明:假設(shè)存在增廣

30、路假設(shè)存在增廣路p=(v0,v1,vk),其其中中v0=s,vk=t.因為增廣路徑中無重復(fù)因為增廣路徑中無重復(fù)點點,k+1=|V|,即即k|V|.結(jié)論結(jié)論8(8(預(yù)流中無增廣路預(yù)流中無增廣路) )fkkffEvvEvvEvv),(),(),(121101)()(1)()(1)()(12110kkvhvhvhvhvhvh相加得相加得:h(s)=h(t)+k=0+k=k而而k|V|,所以所以h(s)|V|.而根據(jù)定而根據(jù)定義義,h(s)=|V|.矛盾矛盾.預(yù)流推進算法的正確性預(yù)流推進算法的正確性當(dāng)有溢出結(jié)點時當(dāng)有溢出結(jié)點時,根據(jù)結(jié)論根據(jù)結(jié)論5,必定可以在它上面必定可以在它上面施加一個操作施加一個操

31、作.當(dāng)算法停止時當(dāng)算法停止時,因為無溢出結(jié)點因為無溢出結(jié)點,所以當(dāng)前流是所以當(dāng)前流是一個合法流一個合法流,而根據(jù)結(jié)論而根據(jù)結(jié)論8,Gf中始終不存在增廣中始終不存在增廣路路.根據(jù)最大流最小割定理根據(jù)最大流最小割定理,當(dāng)當(dāng)Gf中不存在增廣中不存在增廣路時路時,當(dāng)前流是最大流當(dāng)前流是最大流.(算法執(zhí)行了一半時雖然也沒有增廣路算法執(zhí)行了一半時雖然也沒有增廣路,但由于但由于它不是一個合法流它不是一個合法流,前面的諸多定理都不成立前面的諸多定理都不成立).算法的最優(yōu)性的保證者算法的最優(yōu)性的保證者:對于所有在對于所有在Ef中的中的(v,u), 均有均有h(v)0lh(u) = h(v)+1可行邊集可行邊集E

32、f,h:所有由可行弧組成的集合。所有由可行弧組成的集合。可行網(wǎng)絡(luò)可行網(wǎng)絡(luò)Gf,h = (V,Ef,h)結(jié)論結(jié)論9,109,10結(jié)論結(jié)論9:可行網(wǎng)絡(luò)中無環(huán)可行網(wǎng)絡(luò)中無環(huán).(和結(jié)論和結(jié)論8的證明的證明類似類似,弄一堆式子然后疊加一下弄一堆式子然后疊加一下,導(dǎo)出矛盾導(dǎo)出矛盾)結(jié)論結(jié)論10:推進操作永遠不會新增可行弧推進操作永遠不會新增可行弧,卻卻可能使原有的可行弧消失可能使原有的可行弧消失.(根據(jù)可行弧的根據(jù)可行弧的定義顯然定義顯然)結(jié)論結(jié)論1111在在u被重標號之后被重標號之后:l1).至少有一條可行弧離開至少有一條可行弧離開u. 顯然顯然.設(shè)設(shè)v0是是u的鄰居中的鄰居中h值最小的那一個值最小的那

33、一個,則則(u,v0)必定是一條可行弧必定是一條可行弧.l2).不可能有可行弧進入不可能有可行弧進入u. 假設(shè)有一條假設(shè)有一條(w,u).則則h(w) = h(u) + 1.根據(jù)輔根據(jù)輔助定理助定理6,relabel操作至少將結(jié)點的操作至少將結(jié)點的h+1,所以所以h(w) h(u) + 1.根據(jù)高度函數(shù)必須滿足的條根據(jù)高度函數(shù)必須滿足的條件件,(w,u)在在relabel前不在前不在Ef中中.而而relabel操操作只改變可行網(wǎng)絡(luò)不改變殘量網(wǎng)絡(luò)作只改變可行網(wǎng)絡(luò)不改變殘量網(wǎng)絡(luò),(w,u)不不可能在可能在relabel前存在于前存在于Ef而之后就不存在而之后就不存在.當(dāng)前弧當(dāng)前弧每個結(jié)點有一個鄰居

34、列表和有一個每個結(jié)點有一個鄰居列表和有一個“當(dāng)前弧當(dāng)前弧”的指針的指針,保存當(dāng)前檢查到鄰居列表中的哪一條保存當(dāng)前檢查到鄰居列表中的哪一條弧了。初始化時弧了。初始化時,“當(dāng)前弧當(dāng)前弧”指向與該結(jié)點相連指向與該結(jié)點相連的第一條邊的第一條邊.鄰居列表保存的是所有可能成為鄰居列表保存的是所有可能成為可行弧的弧可行弧的弧.當(dāng)再次調(diào)用檢查操作時當(dāng)再次調(diào)用檢查操作時,可以從上一次檢查了可以從上一次檢查了一半的地方繼續(xù)檢查一半的地方繼續(xù)檢查.具體請看下面檢查操作的偽代碼具體請看下面檢查操作的偽代碼:檢查操作檢查操作Check(u)lWhile e(u)0 dolIf current(u)degree(u) t

35、hen /當(dāng)沒有可行弧可當(dāng)沒有可行弧可以推進以推進,該結(jié)點卻仍舊有贏余時該結(jié)點卻仍舊有贏余時,重標號重標號.lRelabel(u)lCurrent(u) = 1lElselIf (u,current(u) 是一條可行弧是一條可行弧 then Push(u,current(u) /push了之后就不能增加了之后就不能增加 current(u)的值的值.因為這如果是一次非飽和推進因為這如果是一次非飽和推進,那再下那再下一次檢查時還是可以沿著這條弧做推進一次檢查時還是可以沿著這條弧做推進.lElse Inc(current(u)當(dāng)前弧的正確性當(dāng)前弧的正確性Current是全局變量是全局變量,當(dāng)某次當(dāng)

36、某次Check操作操作結(jié)束時他的值并沒有被清空結(jié)束時他的值并沒有被清空.比如結(jié)點比如結(jié)點u有有10個鄰居個鄰居,上次檢查到第上次檢查到第7個個,那再一次那再一次Check(u)的時候就只要從第的時候就只要從第7個開始檢查就可以了。個開始檢查就可以了。為什么再一次檢查的時候不要檢查第為什么再一次檢查的時候不要檢查第1-6條邊了條邊了?能否證明在再一次檢查的時候他能否證明在再一次檢查的時候他們一定不是可行弧們一定不是可行弧?當(dāng)前弧的正確性當(dāng)前弧的正確性在在relabel-to-front算法中算法中,relabel只被只被Check調(diào)用調(diào)用.當(dāng)當(dāng)“當(dāng)前弧當(dāng)前弧”移動時移動時,移動前它指向的那移動前

37、它指向的那條弧一定是不可行的條弧一定是不可行的.而推進操作不能創(chuàng)而推進操作不能創(chuàng)造可行弧造可行弧.只有只有relabel可以可以.兩次兩次Check之間沒有之間沒有relabel操作操作.所以原先的不可行所以原先的不可行的弧在第二次的弧在第二次Check之前一直是不可行之前一直是不可行的的.Relabel-to-frontRelabel-to-frontInit-Preflow初始化結(jié)點初始化結(jié)點(除除s,t)列表列表L(任何順序均可任何順序均可)令所有令所有u,Current(u) = 1u HeadLWhile u nil dolOld-height h(u)lCheck(u)lIf h(

38、u) old-height then 將將u移到移到L首部首部l/如果如果h(u)比原先的比原先的h高了高了,說明被說明被relabel,移到隊首移到隊首.lu next(u)圖例圖例 ( (初始狀態(tài)初始狀態(tài). .結(jié)點下方數(shù)字為贏余結(jié)點下方數(shù)字為贏余,N,N顯示的顯示的是鄰居列表是鄰居列表,N,N中紅色的是當(dāng)前弧指針所在的位中紅色的是當(dāng)前弧指針所在的位置置.) .)S-26x12y14z0t06543210(12/12)(14/14)(0/16)(0/7)(0,5)(0,8)(0,10)L x y zN s s xy x yz z tt圖例圖例:x:x被檢查并重標號被檢查并重標號, ,并被提到

39、并被提到L L的首部的首部( (等于等于沒提沒提). ).注意當(dāng)前弧的指針移到了注意當(dāng)前弧的指針移到了t. xt. x的所有贏余的所有贏余推給了推給了y y和和t. t.S-26x0y19z0t76543210(12/12)(14/14)(7/16)(0/7)(5,5)(0,8)(0,10)L x y zN s s xy x yz z tt圖例圖例 :y:y正在被檢查正在被檢查. .將將8 8單位的贏余推給單位的贏余推給z z之后還之后還是有剩余是有剩余. .S-26x0y11z8t76543210(12/12)(14/14)(7/16)(0/7)(5,5)(8,8)(0,10)L x y z

40、N s s xy x yz z tt圖例圖例 : :一次必須把贏余全部推光一次必須把贏余全部推光. .所以所以y y被重標號被重標號, ,當(dāng)前弧當(dāng)前弧指針從頭開始查找指針從頭開始查找, ,找到找到(y,x)(y,x)這條可行弧之后進行推進這條可行弧之后進行推進. .實際上是把多推的贏余還給了實際上是把多推的贏余還給了x.x.因為因為h(u)=h(v)+1h(u)=h(v)+1的的保證保證, ,它沒有把贏余錯推給它沒有把贏余錯推給s.s.S-26x5y6z8t76543210(12/12)(14/14)(7/16)(0/7)(0,5)(8,8)(0,10)L x y zN s s xy x yz

41、 z tt圖例圖例:y:y還是有贏余還是有贏余. .當(dāng)當(dāng)前弧移動到另局列表的尾部時當(dāng)當(dāng)前弧移動到另局列表的尾部時,y,y再一次被重標號再一次被重標號, ,并把贏余還給并把贏余還給s.s.檢查結(jié)束檢查結(jié)束,y,y被提到被提到L L列表列表的首部的首部. .S-20 x5y0z8t76543210(12/12)(8/14)(7/16)(0/7)(0,5)(8,8)(0,10)L y x zN s s xx y yz z tt圖例圖例: :檢查檢查x.x.注意注意x x的當(dāng)前弧指針已經(jīng)指在的當(dāng)前弧指針已經(jīng)指在t t上了上了. . x x把贏余推給把贏余推給t. ut. u指針直接后移指針直接后移.(

42、 .(因為因為x x沒有被重沒有被重標號標號) )S-20 x0y0z8t126543210(12/12)(8/14)(12/16)(0/7)(0,5)(8,8)(0,10)L y x zN s s xx y yz z tt圖例圖例:z:z被檢查并被提到列表首部被檢查并被提到列表首部. .S-20 x0y0z0t206543210(12/12)(8/14)(12/16)(0/7)(0,5)(8,8)(8,10)L z y xN x s sy x ytz zt圖例圖例:u:u指針從指針從y y開始向后移動開始向后移動, ,直到隊尾也沒有發(fā)直到隊尾也沒有發(fā)現(xiàn)可以檢查的結(jié)點現(xiàn)可以檢查的結(jié)點( (只有

43、溢出的結(jié)點才能被檢查只有溢出的結(jié)點才能被檢查). ).算法結(jié)束算法結(jié)束. .S-20 x0y0z0t206543210(12/12)(8/14)(12/16)(0/7)(0,5)(8,8)(8,10)L z y xN x s sy x ytz ztrelabel-to-frontrelabel-to-front的正確性的正確性前面我們已經(jīng)證明了一般預(yù)流推進算法前面我們已經(jīng)證明了一般預(yù)流推進算法的正確性了的正確性了.因此因此,現(xiàn)在只要證明現(xiàn)在只要證明,在在relabel-to-front算法結(jié)束時算法結(jié)束時,一般預(yù)流推一般預(yù)流推進算法的結(jié)束條件也正好被滿足進算法的結(jié)束條件也正好被滿足-即沒即沒有

44、溢出的結(jié)點有溢出的結(jié)點.結(jié)論結(jié)論11:L11:L始終拓撲有序始終拓撲有序?qū)τ趯τ贕上的可行網(wǎng)絡(luò)上的可行網(wǎng)絡(luò)Gf,h,列表列表L中的結(jié)點中的結(jié)點始終保持拓撲有序性始終保持拓撲有序性.一開始的時候一開始的時候,列表中所有結(jié)點列表中所有結(jié)點(s,t不在不在列表中列表中)的高度均為的高度均為0,不存在高度差不存在高度差,所以所以不存在可行弧不存在可行弧.這時列表顯然拓撲有序這時列表顯然拓撲有序.一個結(jié)點被一個結(jié)點被relabel之后之后,就被提到列表的就被提到列表的首部首部.根據(jù)輔助定理根據(jù)輔助定理11,relabel之后沒有之后沒有可行弧進入結(jié)點可行弧進入結(jié)點,但有可行弧離開結(jié)點但有可行弧離開結(jié)點,

45、所所以將結(jié)點提到列表首部仍舊使列表滿足以將結(jié)點提到列表首部仍舊使列表滿足拓撲有序拓撲有序.推進操作不能創(chuàng)造可行弧推進操作不能創(chuàng)造可行弧,因此與列表的因此與列表的拓撲有序性無關(guān)拓撲有序性無關(guān).結(jié)論結(jié)論1212L中指針中指針u之前的結(jié)點全部是非溢出結(jié)點之前的結(jié)點全部是非溢出結(jié)點.當(dāng)一個結(jié)點被檢查之后當(dāng)一個結(jié)點被檢查之后,它必定沒有贏余它必定沒有贏余,因此因此將將u指針后移不影響上面的性質(zhì)指針后移不影響上面的性質(zhì).它自己沒有贏余了它自己沒有贏余了,但它卻可能將贏余推給了但它卻可能將贏余推給了別人別人.如果推給在如果推給在L中位置在它后面的結(jié)點不要中位置在它后面的結(jié)點不要緊緊.但如果它把贏余推給了在自

46、己之前的結(jié)點但如果它把贏余推給了在自己之前的結(jié)點呢呢?因為因為L拓撲有序拓撲有序,他若把贏余推給了排在自己前他若把贏余推給了排在自己前面的結(jié)點面的結(jié)點,則必定發(fā)生了則必定發(fā)生了relabel操作操作.而如果有而如果有relabel,則它已經(jīng)被提到列表的首部了則它已經(jīng)被提到列表的首部了.性質(zhì)依性質(zhì)依然滿足然滿足.這就是算法名這就是算法名:relabel-to-front的由來的由來.Relabel-to-frontRelabel-to-front根據(jù)一般的預(yù)流推進算法根據(jù)一般的預(yù)流推進算法,當(dāng)沒有溢出結(jié)當(dāng)沒有溢出結(jié)點時算法就結(jié)束并得到一個最大流點時算法就結(jié)束并得到一個最大流.而而relabel-

47、to-front算法的結(jié)束條件是算法的結(jié)束條件是u指指針指向針指向L隊列尾部隊列尾部.根據(jù)輔助定理根據(jù)輔助定理12,u以前的結(jié)點均非溢出以前的結(jié)點均非溢出結(jié)點結(jié)點.所以當(dāng)所以當(dāng)u指向尾部時指向尾部時,所有的結(jié)點均所有的結(jié)點均沒有溢出沒有溢出.另外可以證明另外可以證明,算法的復(fù)雜度為算法的復(fù)雜度為O(n3).Highest-relabelHighest-relabel還可以改進還可以改進.經(jīng)驗表明經(jīng)驗表明,總是檢查高度標號最大的結(jié)點，總是檢查高度標號最大的結(jié)點，會有比較好的效率會有比較好的效率.于是對于是對Relabel-to-front進行了一點小修進行了一點小修改改,得到了得到了highes

48、t-relabel算法算法.分塊的分塊的L L列表列表可以證明可以證明,任意結(jié)點的最大的距離標號為任意結(jié)點的最大的距離標號為2n-1.將將L列表分成列表分成2n個塊個塊,第第1塊保存所有高度塊保存所有高度為為0的點的點,第第i+1塊保存高度為塊保存高度為I的所有結(jié)點的所有結(jié)點.從最后一塊開始往前找從最后一塊開始往前找,發(fā)現(xiàn)一個不為空發(fā)現(xiàn)一個不為空的塊就把這個塊里的結(jié)點全部檢查掉的塊就把這個塊里的結(jié)點全部檢查掉.如如果有元素被重標號了果有元素被重標號了,那就將他移動到新那就將他移動到新的塊里的塊里,并從那個新的塊的前面開始繼續(xù)并從那個新的塊的前面開始繼續(xù)往下查找往下查找.分塊的分塊的L L列表列

49、表對于可行網(wǎng)絡(luò)對于可行網(wǎng)絡(luò),分塊分塊L列表是拓撲有序的列表是拓撲有序的.因為可行弧因為可行弧(u,v)要求要求h(u) = h(v) + 1,即即只有從標號高的結(jié)點指向標號低的結(jié)點只有從標號高的結(jié)點指向標號低的結(jié)點.既只有從后面的塊里的結(jié)點指向前面的既只有從后面的塊里的結(jié)點指向前面的塊里的結(jié)點塊里的結(jié)點.所以所以,這種分塊方法仍然保持這種分塊方法仍然保持了整個列表的拓撲有序性了整個列表的拓撲有序性.因此因此,算法結(jié)束算法結(jié)束時沒有溢出的結(jié)點時沒有溢出的結(jié)點.因此該算法是正確的因此該算法是正確的.分塊分塊L L列表的實現(xiàn)列表的實現(xiàn)如果用鏈表，可以只占用如果用鏈表，可以只占用O(n)的空間。的空間

50、。在內(nèi)存不緊張的情況下，也完全可以用在內(nèi)存不緊張的情況下，也完全可以用無序數(shù)組，時間效率不比鏈表差無序數(shù)組，時間效率不比鏈表差,雖然空雖然空間是間是O(n2)的的.無序數(shù)組在刪除的時候，可以用無序數(shù)組在刪除的時候，可以用:Delete(i)lai anlDec(n)更多的改進更多的改進回顧一下上面兩個算法的正確性回顧一下上面兩個算法的正確性:1).h是一個合法的高度函數(shù)是一個合法的高度函數(shù) Gf不存在增廣路不存在增廣路2).同一結(jié)點同一結(jié)點h值保證遞增值保證遞增 重標號后沒有可行弧進入結(jié)點重標號后沒有可行弧進入結(jié)點 列表列表L永遠拓撲有序永遠拓撲有序Relabel-to-front(highest-relabel)算法正確算法正確.也就是說也就是說,只要滿足只要滿足1).2).兩條兩條,h的值具體怎么變的值具體怎么變化并不重要化并不重要.更多的改進更多的改進可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),每當(dāng)重標號操作被執(zhí)行每當(dāng)重標號操作被執(zhí)行,該結(jié)點該結(jié)點的當(dāng)前弧的位置就被重置的當(dāng)前弧的位置就被重置,同時這個結(jié)點同時這個結(jié)點被往前提被往前提,然后這個結(jié)點后面的結(jié)點又全然后這個結(jié)點后面的結(jié)點又全部得被檢查