第六章——振動(dòng)

1、 6.1 6.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述 6.2 6.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué) 6.3 6.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 6.4 6.4 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) （） 6.5 6.5 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振（共振（ ） 6.6 6.6 同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 6.7 6.7 同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（） 6.8 6.8 兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（） 物體或物體的某一部分在一定位置物體或物體的某一部分在一定位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng) 實(shí)例實(shí)例:

2、心臟的跳動(dòng)，鐘擺，樂器，地震等心臟的跳動(dòng)，鐘擺，樂器，地震等1 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)平衡位置平衡位置 一一 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)6.1 6.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成合成分解分解2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果離開平衡位置的位移x（或角位移（或角位移 ）按正弦規(guī)律隨時(shí)間變化，這種）按正弦規(guī)律隨時(shí)間變化，這種運(yùn)動(dòng)就叫運(yùn)動(dòng)就叫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)的成因：振動(dòng)的成因：回復(fù)力回復(fù)力+慣性慣性 彈簧振子的運(yùn)動(dòng)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)cos()xAt簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

3、方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程cos()xAt 振幅振幅maxxAtx圖圖AA xT2Tto)cos(tAx 周期、頻率周期、頻率2T 周期周期)(cosTtAtx圖圖A x2Tto21T 頻率頻率T22 角頻率角頻率 相位相位 相位相位:tt)()(0tt時(shí)，初相位初相位:)cos(tAx 相位的意義相位的意義: 表征任意時(shí)刻（表征任意時(shí)刻（t）物體振動(dòng)物體振動(dòng)狀態(tài)狀態(tài). 物體經(jīng)一周期的振動(dòng)，相位改變物體經(jīng)一周期的振動(dòng)，相位改變 .22222dcos()cos()dxaAtAtt)cos(tAx由由得得:)2cos()sin(ddtAtAtxv簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度和位移成正比而反向簡(jiǎn)諧

4、運(yùn)動(dòng)的加速度和位移成正比而反向2ax 速度和加速度速度和加速度tx 圖圖tv圖圖ta 圖圖TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAaT諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系A(chǔ) A: :振幅；振幅； ：角頻率角頻率; ; : :初相初相 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量。三個(gè)特征量。)cos(tAx 以以 為原點(diǎn)的為原點(diǎn)的振幅矢量振幅矢量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在Oxy平面內(nèi)繞點(diǎn)平面內(nèi)繞點(diǎn)O逆時(shí)針逆時(shí)針方向以角方向以角速度速度 勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)時(shí)，其端點(diǎn)在其端點(diǎn)在 軸軸上

5、投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng). .xAo二、相量圖法二、相量圖法勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)xoAcos0Ax 0t0 x勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)oAtt t)cos(tAxx)cos(2tAa2 tmvvxyOAt)cos(tAxnaaAmvsin()Atv2nAa 用相量圖法畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的用相量圖法畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 圖圖tx 2cos()xAtT2cos()xAtT討論討論 相位差：表示兩個(gè)相位之差相位差：表示兩個(gè)相位之差 （1）對(duì)對(duì)同一同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間)

6、()(12tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx三、相三、相 初相初相 相差相差：叫在時(shí)刻：叫在時(shí)刻 t 振動(dòng)的振動(dòng)的相（或相位）相（或相位）; t：t=0 時(shí)刻的相位叫時(shí)刻的相位叫初相初相Ax2Atobaat32AvAxAoAbt（2）對(duì)于兩個(gè)對(duì)于兩個(gè)同同頻率頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間示它們間步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異（解決振動(dòng)合成問題）（解決振動(dòng)合成問題）. .)cos(111tAx)cos(222tAx2121()()tt0 xto同步同步xto為其它為其它超前超前落后落后txo反相反相tx 圖圖tv圖圖ta 圖圖TAA2A2AxvatttAAoo

7、oT)cos(tAx0取取)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAaT諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系例例 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅A=0.05m，周，周期期T=0.2s。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)正越過平衡位置項(xiàng)負(fù)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)正越過平衡位置項(xiàng)負(fù)x方向運(yùn)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)。動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)。 （1）寫出此質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式；）寫出此質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式； （2）求在）求在t=0.05s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；速度； （3）另一質(zhì)點(diǎn)和此質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率相同，）另一質(zhì)點(diǎn)和此質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率相同，但振幅

8、為但振幅為0.08m，并和此質(zhì)點(diǎn)反相，寫出這另一，并和此質(zhì)點(diǎn)反相，寫出這另一質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式；質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式； （4）畫出兩振動(dòng)的相量圖。）畫出兩振動(dòng)的相量圖。 解解 (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以余弦函數(shù)表示取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以余弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則A=0.05m， =2 /T=10 s-1。由于。由于t=0時(shí)時(shí)x=0，且，且v0 為確定初相為確定初相, 畫出畫出t=0時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量的位置的位置2T由題知由題知0.24mA 2sT 解解: 1) 設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為cos()xAtx opt=0 AM330cosxA振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為:0.24cos(

9、)3xtm533 或由圖得到由圖得到2) 從從x = 0.12m, 且向且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài), 回到平衡位置所回到平衡位置所需的時(shí)間需的時(shí)間x AM5650.836tss op（1） 動(dòng)能動(dòng)能( (以彈簧振子為例以彈簧振子為例) ) )(sin21)sin(212122222ktAmtAmmEv6.6.3 3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量22k1sin ()2EkAt總機(jī)械能總機(jī)械能221122kpEEEmvkx2km（2） 勢(shì)能勢(shì)能 線性回復(fù)力線性回復(fù)力是是保守力保守力，作，作簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)機(jī)械能守恒械能守恒. .O x Xm)(cos2121222pt

10、kAkxE（3） 機(jī)械能機(jī)械能222pk2121kAAmEEE22k1sin ()2EkAt簡(jiǎn)簡(jiǎn) 諧諧 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 能能 量量 圖圖22p1cos2EkAt22k1sin2EkAt4T2T43T能量能量otTv, xtoTtAxcostAsinv221kAE0tx tv22200222001111cos241111sin24TTppTTkkEE dtkAtdtkATTEE dtkAtdtkATT簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線kEpExAA222p11cos22EkxkAtxO212EkABC 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度

11、為 ，求：求：kg 10.0m 100 . 12（1）振動(dòng)的周期；振動(dòng)的周期； （2）通過平衡位置的動(dòng)能；通過平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？2sm 0 . 4Aamaxs 314. 02T1s 20J 100.23（2）222maxmax,k2121AmmEv解（解（1）2maxAa已知已知2max2sm 0 . 4m 100 . 1kg 10. 0aAm，T；( (2) )maxk,E求求:( (1) )（4）pkEE 時(shí)時(shí) J 100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m 105 . 0總能量

12、總能量E；（3）max, kEE J 100 . 23解解( (4) )何處動(dòng)勢(shì)能相等何處動(dòng)勢(shì)能相等? ?求求:( (3) )cm 707. 0 x已知已知2max2sm 0 . 4m 100 . 1kg 10. 0aAm， 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩獨(dú)立的同方向、同頻兩獨(dú)立的同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx兩振動(dòng)的位相差兩振動(dòng)的位相差 =常數(shù)常數(shù)126.6 6.6 同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 兩個(gè)兩個(gè)同同方向方向同同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成合成后仍后仍為為同同頻率的頻

13、率的簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng))cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAAtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxxxto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox（3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA21AAA加強(qiáng)加強(qiáng)減弱減弱小結(jié)小結(jié)（1）相位差相位差212k) 1 0( ， k（2）相位差相位差) 12(12k) 1 0( ， k6.

14、7 6.7 同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同方同方向向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. .tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx討論討論 , , 的情況的情況 21AA 2112合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分振幅振幅 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率212cos22AAt2)(21max2AA0minA2121(2cos2 )cos2 22xAtt拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率

15、）2212T121T12振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率 拍頻拍頻2)(2112 一一 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)現(xiàn)象：現(xiàn)象：振幅隨時(shí)間減小振幅隨時(shí)間減小原因：原因：阻尼阻尼動(dòng)力學(xué)分析：動(dòng)力學(xué)分析：阻力系數(shù)阻力系數(shù)0dddd22kxtxCtxm阻尼力阻尼力vCFr6.4 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)角頻率角頻率振幅振幅固有角頻率固有角頻率阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtxmk0mC 2)cos(etAxt22022022T阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線tOxAA)0(tAtcose220)cos(etAxttAeotxabc三種阻尼的比較三種阻尼的比較 ( (c) )臨界阻尼臨界

16、阻尼220 ( (b) )過阻尼過阻尼 220 ( (a) )欠阻尼欠阻尼22012txcc t eecos()txAt22220012ttxc ec e0dd2dd2022xtxtx驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)tFkxtxCtxmp22cosddddmk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd6.5 6.5 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振驅(qū)動(dòng)力的驅(qū)動(dòng)力的角頻率角頻率 tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(ep0tAtAxt2p22p204)(fA2p20p2tan共振共振)cos(ptAx22 2220pp()4fA 0ddpAtfxtxtxp2022cosdd2dd0pecos()cos()txAtAt 驅(qū)動(dòng)力的角頻率為某一定值時(shí)驅(qū)動(dòng)力的角頻率為某一定值時(shí), , 受迫振動(dòng)受迫