空間幾何體的直觀圖與三視圖

1、 空間幾何體的直觀圖與三視圖一、【知識(shí)點(diǎn)回顧】1.中心投影與平行投影：（1）投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影，其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體的影子的屏幕叫做投影面.（2）中心投影：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影，叫做中心投影.特點(diǎn)：投影線交于一點(diǎn)，直觀性強(qiáng)，看起來和人的視覺效果一樣.（3）平行投影：把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影線是平行的.在平行投影中，投影線正對(duì)著投影面的，叫做正投影，否則叫做斜投影.當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投影線時(shí)，平行投影具有以下性質(zhì)：直線或線段的平行投影仍是直線或線段；平行直線

2、的平行投影是平行或重合的直線；平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且相等；與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)平面圖形全等；在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.（4）正投影的定義與性質(zhì)：定義：在物體的平行投影中，如果投影線與投影面垂直，則稱這樣的平行投影為正投影.性質(zhì)：正投影是特殊的平行投影，它除了具有平行投影的性質(zhì)外，還具有如下的性質(zhì)：垂直投影面的直線或線段的正投影是一個(gè)點(diǎn)；垂直于投影面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分.2.空間幾何體的三視圖的形成及其形成規(guī)律：（1）光線從幾何體的前面向后面的正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的正視圖（或主視圖

3、）；（2）光線從幾何體的左面向右面的正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖（或左視圖）；（3）光線從幾何體的上面向下面的正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的俯視圖.幾何體的正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.投影規(guī)律：長(zhǎng)對(duì)正：即正視圖和俯視圖在左右方向應(yīng)對(duì)正；高平齊：即正視圖與俯視圖在上下方向應(yīng)平齊；寬相等：即俯視圖和側(cè)視圖在前后方向的寬度應(yīng)相等.3.常見的柱、錐、臺(tái)、球等簡(jiǎn)單幾何體的三視圖（1）球的三視圖都是圓，并且三個(gè)圓全等；（2）長(zhǎng)方體的三視圖都是矩形；（3）圓柱的正視圖、側(cè)視圖是矩形，而俯視圖是圓；（4）圓錐的正視圖、側(cè)視圖是等腰三角形，而俯視圖是圓

4、及圓心點(diǎn)；（5）圓臺(tái)的正視圖、側(cè)視圖是等腰梯形，俯視圖是兩個(gè)同心圓；（6）棱柱的正視圖、側(cè)視圖都是平行四邊形，俯視圖是棱柱的底面多邊形；題型一：空間幾何體的三視圖畫法【例1】如圖1中兩個(gè)幾何體是一些簡(jiǎn)單的空間幾何體的組合體，其中（3）中幾何體的下部是一個(gè)底面為正六邊形、側(cè)面全為矩形的棱柱，上部是一個(gè)側(cè)面為等腰三角形的棱錐，試畫出它們的三視圖.解析：圖1（1）中物體從上到下分別是球和圓柱，故它的三視圖如圖2所示；圖1（2）中物體從上到下是六棱錐、六棱柱，其底面是正六邊形，其三視圖如圖3所示. 題型二：空間幾何體的三視圖還原成實(shí)物圖【例2】根據(jù)三視圖想象成物體原形，并畫出實(shí)物草圖.（1）三視圖4；

5、（2）三視圖5. 解析：（1）由三視圖知，這個(gè)物體由一個(gè)圓柱和一個(gè)正四棱柱組合而成，圓柱的下底面圓和正四棱柱的的上底面正方形內(nèi)切，它的實(shí)物草圖如圖6所示；（2）由三視圖知，該物體下部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，上部分的表面是兩個(gè)等腰題型和兩個(gè)等腰三角形，它的實(shí)物草圖如圖7所示. 題型二：水平放置的平面圖形的直觀圖【例3】畫出如圖8所示的水平放置的平行四邊形的直觀圖.解：畫法如下（1）畫軸：如圖9（1）所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，使，畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系，使；（2）定點(diǎn)：如圖9（1）所示，分別過點(diǎn)、作平行于軸的平行線交軸于點(diǎn)、，分別在軸選取點(diǎn)、，使得，分別過、作軸的平行線，并在這兩條

6、平行線上截取，則點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為；（3）連線成圖：連接相應(yīng)的端點(diǎn)，可得到線段、，得到圖9（2），把輔助線擦去，則就是水平放置的的直觀圖，如圖9（3）所示.題型三：空間幾何體直觀圖的畫法【例4】用斜二測(cè)畫法畫出正六棱錐的直觀圖.解：畫法為：（1）畫出六棱錐的底面.在正六邊形中，取所在的直線為軸，對(duì)稱軸所在的直線為軸，兩軸相交于點(diǎn)（如圖10（1）所示），畫相應(yīng)的軸、軸、軸，三軸相交于點(diǎn)，使，（如圖10（2）所示）；在圖10（2）中，以為中點(diǎn)，在軸上取，在軸上取，以點(diǎn)為中點(diǎn)畫平行于軸，并且等于；再以點(diǎn)為中點(diǎn)畫平行于軸，并且等于；連接、，得到六邊形水平放置的直觀圖.（2）畫

7、正六棱錐的頂點(diǎn)，在軸上截取點(diǎn)，使；（3）連線成圖：連接、，被遮擋的部分改為虛線并擦去軸、軸和軸，便得六棱錐的直觀圖，如圖10（3）所示.【例5】用斜二測(cè)畫法畫出正四棱臺(tái)的直觀圖.解：畫法如下：（1）畫軸.以底面正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，畫軸、軸、軸，三軸交于點(diǎn)，使，；（2）畫下底面.以為中點(diǎn)，在軸上取線段，使，在軸上取線段，使，再過、分別作、，且使得的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接、，這樣就得到正四棱臺(tái)的下底面的直觀圖；（3）畫上底面.在軸上截取線段，過點(diǎn)作、，使，建立坐標(biāo)系，在重復(fù)（2）的步驟畫出上底面的直觀圖；（4）連接、，得到的圖形便是所求的正四棱臺(tái)的直觀圖，如圖11所示.題型四：空間幾何體的三視

8、圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化【例6】如圖12所示是一個(gè)空間幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖.解：畫法為（1）畫軸.如圖13（1），畫軸、軸、軸，使，；（2）畫四棱柱的底面.在軸上取、兩點(diǎn)，使的長(zhǎng)度等于側(cè)視圖中線段的長(zhǎng)度，且為的中點(diǎn)，再分別以、為中點(diǎn)作軸的平行線、，使.這樣四邊形即為四棱柱的下底面；（3）畫四棱柱的上底面.在軸上截取點(diǎn)，使等于正視圖的長(zhǎng)度.過點(diǎn)作分別平行于軸的軸，平行于軸的軸.類似四棱柱下底面作出四棱柱的上底面；（4）畫圓錐的底面.在軸上取、兩點(diǎn)，使的長(zhǎng)度等于俯視圖中圓的直徑，且.選擇橢圓模板中適當(dāng)?shù)臋E圓過、兩點(diǎn)，使它為圓錐的底面；（5）畫圓錐的頂點(diǎn).在軸上截取點(diǎn)，使等于正視圖中的

9、的高度；（6）連線成圖.連接、，整理得三視圖表示的幾何體的直觀圖.題型五：直觀圖與原圖形之間的轉(zhuǎn)化【例7】在原來圖形中，兩條線段平行且相等，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段 （ ） 平行且相等 平行不相等 相等不平行 既不平行也不相等解析： 根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，不論這兩條線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系如何，它們自身的相對(duì)位置是確定不變的.【例8】如圖14為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是 （ ）解析： 根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則：平行于軸或在軸上的線段的長(zhǎng)度在新坐標(biāo)系中不變，平行于軸或在軸上的線段的長(zhǎng)度在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼?，并注意到，然后將圖形還原成原圖形.題型六：直觀圖與原圖形面積之間的等量關(guān)

10、系【例9】水平放置的矩形長(zhǎng)為，寬為，以、為軸作斜二測(cè)直觀圖，則四邊形的面積是 （ ） 解析： 平面圖形的原面積與其直觀圖面積之間的換算關(guān)系是，.【例10】有一塊多邊形菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖15所示），則這塊菜地的面積為 . 解析：法一：設(shè)菜地的原面積為，直觀圖（即直角梯形）的面積為，根據(jù)平面圖形的原面積與其直觀圖面積之間的換算關(guān)系是，.法二：根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則將原圖形進(jìn)行還原得到圖16，則在原圖中，且，則.題型六：空間幾何體的體積與直觀圖體積之間的轉(zhuǎn)化【例11】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，利用斜二測(cè)畫法作它的直觀圖，則其直觀圖中四棱錐的體積為 .解析：

11、四棱錐的體積，由于在直觀圖中，平行于軸或軸的線段在新坐標(biāo)系中長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段在新坐標(biāo)系中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼模瑒t幾何體的底面積變?yōu)樵瓉淼?，高不變，故直觀圖的體積.題型七：空間幾何體的三視圖的識(shí)別【例12】（2008年廣東卷）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖17所示，、分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖（2），則該幾何體按圖（2）所示方向的側(cè)視圖是 （ ）解析： 由于為的中點(diǎn)，依對(duì)稱性知，側(cè)視圖是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，故排除.又平面平面，故正確.題型八：由三視圖計(jì)算空間幾何體的表面積與體積【例13】如圖18所示，一個(gè)簡(jiǎn)單組合體的主視圖和左視圖相同，是由一個(gè)正方形與一個(gè)正三角形構(gòu)成，俯視圖中，圓的半徑為

12、，則該組合體的表面積為 （ ） 解析： 由三視圖圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成，圓柱底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑也為，母線長(zhǎng)為，故該組合體的表面積，故選.【例14】（2007年寧夏、海南卷）已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖19所示，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：），可得這個(gè)幾何體的體積為 （ ） 解析： 作幾何體如圖20所示，且平面平面，四邊形為正方形，作于，得平面，故選.五、【課后作業(yè)】 【基礎(chǔ)訓(xùn)練A組】1.下列投影是中心投影的是 （ ） 三視圖 人的視覺 斜二測(cè)畫法 在中午太陽(yáng)光下的投影2.若一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，則該幾何體可能是（ ） 圓柱 三

13、棱柱 圓錐 球體3.關(guān)于用斜二測(cè)畫法得到的水平放置的圖形，下列說法：角的水平放置的直觀圖一定是角；相等的線段在直觀圖中仍然相等；平行（或垂直）的兩線段在直觀圖中仍然平行（或垂直）；菱形的直觀圖還是菱形；梯形的直觀圖仍然是梯形；如果一個(gè)三角形的直觀圖仍是三角形，那么它的重心在直觀圖圖中仍然是重心.其中正確的個(gè)數(shù)是 （ ） 4.如圖21所示的正方體是用一個(gè)鐵絲圍成的模型框架，、分別是、的中點(diǎn)，為正方形的中心，用鐵絲將、連接起來得到一組合框架，則該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是 （ ） （1）（4）（2） （1）（2）（4） （1）（4）（3） （2）（4）（3）5.等腰梯形上底邊，腰，下底，

14、按平行于上、下底邊取軸，則直觀圖的面積為_6.一個(gè)三角形在其直觀圖中對(duì)應(yīng)一個(gè)邊長(zhǎng)為正三角形，原三角形的面積為 .解析： ，.7.畫出如圖22所示的兩個(gè)幾何體的三視圖.8.用斜二測(cè)畫法作出邊長(zhǎng)為、高的矩形的直觀圖【綜合訓(xùn)練B組】1.一個(gè)幾何體由幾個(gè)相同的小正方體組合而成，它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖23所示，則這個(gè)組合體包含的小正方體的個(gè)數(shù)是 （ ） 2.如圖24所示為物體的實(shí)物圖，在以下四個(gè)選項(xiàng)中有一個(gè)是它的俯視圖，正確的是（ ）3.已知某幾何體的三視圖如圖25所示，則該幾何體是 （ ） 三棱錐 三棱柱 四棱錐 四棱柱4.如圖26所示的是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該幾何體的表面積

15、為（ ） 5.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖27所示，則該幾何體的體積為 （ ） 6.水平放置的的斜二測(cè)直觀圖如圖28所示，已知，則邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為 .7.已知的斜二測(cè)直觀圖是邊長(zhǎng)為的等邊，那么原的面積為 .解析： ，則.8.如圖29所示的是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，試指出該獎(jiǎng)杯的結(jié)構(gòu)組織的情況.【提高訓(xùn)練C組】1.（2007年山東卷）如圖30所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)三視圖相同的是 （ ） 2.（2011年山東卷理，11）圖31是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形給定下列三個(gè)命題：存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如下圖；存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；存在圓柱，其正（主）視圖、

16、俯視圖如右圖其中真命題的個(gè)數(shù)是 3.（2011年全國(guó)新課標(biāo)理，6）在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如圖32所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為 （ ）4.（2010年廣東卷理）如圖33所示，為三角形，平面且，則多面體的正視圖（也稱主視圖）是5.（2011年安徽卷理，6）一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖34所示，則該幾何體的表面積（ ） 6.（2011年廣東卷理，7）如圖35所示，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 （ ） 7.（2008年山東卷）如圖36所示的是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積為 （ ） （ ） 解析： 由三

17、視圖知：幾何體是由圓柱和球組成，球的半徑和圓柱底面半徑均為，圓柱的高為，所求表面積，故選.8.（2011年陜西卷理，5）某幾何體的三視圖如圖37所示，則它的體積是 （ ） 附加答案【基礎(chǔ)訓(xùn)練A組】1.解析： 三視圖和斜二測(cè)畫法顯然不是中心投影，太陽(yáng)光可認(rèn)為是平行光，也不是中心投影.根據(jù)定義可選.2.解析： 圓柱、三棱柱的主視圖和左視圖都是矩形，而球的主視圖和左視圖都是圓.畫出圖形可選.3.解析： 提示：可舉實(shí)例驗(yàn)證.4.解析： 提示：物體是框架，可以看到幾何體的內(nèi)部，正視圖是從前向后觀察，易知為（1），同理，側(cè)視圖是從左向右觀察，應(yīng)為（4），俯視圖為（2）.5.解析： 如圖38所示，分別過點(diǎn)、

18、作、，垂足分別為點(diǎn)、，則，故，.6.解析：如圖39所示7. 解析：用統(tǒng)一的畫圖標(biāo)準(zhǔn)：斜二測(cè)畫法，即在已知圖形所在的空間中取水平平面，作軸，軸使，然后依據(jù)平行投影的有關(guān)性質(zhì)逐一作圖.（1）在已知中取、所在邊為軸與軸，相交于點(diǎn)（與重合），畫對(duì)應(yīng)軸，軸使；（2）在軸上取使，在軸上取，使，過作平行軸的直線，且長(zhǎng)度等于.（3）連 、所得四邊形就是矩形的直觀圖.如圖40所示.【綜合訓(xùn)練B組】1.解析： 將該組合體還原成實(shí)物圖如圖41所示.2.解析： 提示：組合體最上面的背脊線短于底座矩形的長(zhǎng).3.解析： 提示：一般情況下柱體的三視圖中有兩個(gè)圖是矩形，另外一個(gè)圖決定柱體的形狀.4.解析： 由三視圖知，該幾何體是由半球和圓錐組合而成，半球的半徑為，圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，所求表面積為.5.解析： 由三視圖可知該幾何體是由圓柱中挖去一個(gè)半球形成的，且圓柱的底面半徑