微分幾何與嚙合原理

1、微分幾何與嚙合原理研究生專(zhuān)業(yè)課程考試答題冊(cè)得分：考試課程 微分幾何與嚙合原理 研究生院平面嚙合曲線計(jì)算方法利用瞬心線來(lái)傳遞運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)稱(chēng)為瞬心線機(jī)構(gòu)。在傳動(dòng)時(shí)，兩構(gòu)件的瞬心線始終相切并做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的傳動(dòng)比函數(shù)。當(dāng)傳動(dòng)裝置做連續(xù)傳動(dòng)時(shí)，上述要求時(shí)比較難做到的，在某些位置其傳力條件是非常惡劣的。為克服這些缺點(diǎn)常用非圓機(jī)構(gòu)去代替瞬心線機(jī)構(gòu)。這時(shí)，為能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的傳動(dòng)比函數(shù)，需要滿足Willis定理。Willis定理：一對(duì)相互嚙合的齒廓，在任一瞬時(shí)過(guò)嚙合點(diǎn)的齒廓公法線應(yīng)通過(guò)在該瞬時(shí)的兩齒輪瞬心線的切點(diǎn)瞬時(shí)嚙合節(jié)點(diǎn)。1、 運(yùn)動(dòng)學(xué)法求共軛曲線利用運(yùn)動(dòng)分析建立嚙合方程以求共軛曲線的方法稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)學(xué)法

2、。在實(shí)際工作中，最長(zhǎng)遇到的問(wèn)題是已知兩齒輪的傳動(dòng)比函數(shù)、傳動(dòng)的中心距和其中一個(gè)齒輪的齒廓，要求另一個(gè)齒輪上得共軛齒廓以及嚙合點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中所留下的嚙合線。其嚙合坐標(biāo)系如圖1-1所示。圖 1 - 1齒廓1上嚙合點(diǎn)坐標(biāo)為：在坐標(biāo)系S1中建立嚙合方程，兩齒輪間任一重合點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為：齒廓1上嚙合點(diǎn)處的切矢：其中：齒廓1上嚙合點(diǎn)處的法矢：因此，嚙合方程為：化簡(jiǎn)后得：將齒廓1坐標(biāo)變換到固定坐標(biāo)系中，得到固定坐標(biāo)系中的嚙合線方程坐標(biāo)：將齒廓1坐標(biāo)變換到轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，得到輪2的齒廓2坐標(biāo)：對(duì)上式進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得到相嚙合的一對(duì)齒廓上得嚙合點(diǎn)坐標(biāo)，具體步驟如下：a) 確定了參變量u的取值區(qū)間；選定其中

3、一個(gè)u；b) 計(jì)算齒廓1上得坐標(biāo)(x1,y1,1)c) 由嚙合方程計(jì)算輪1轉(zhuǎn)過(guò)的角度d) 由坐標(biāo)變換矩陣M01得到固定坐標(biāo)系中的嚙合線e) 由坐標(biāo)變換矩陣M21得到輪2的齒廓方程2將輪1、2及嚙合線在固定坐標(biāo)系中繪制出來(lái)，以顯示兩齒廓曲線的嚙合過(guò)程，如圖1-2所示：圖 1 - 2 運(yùn)動(dòng)學(xué)法求共軛曲線2、 齒廓法線法求共軛曲線運(yùn)動(dòng)學(xué)法求共軛曲線的優(yōu)點(diǎn)是具有廣泛的適應(yīng)性，無(wú)論是定傳動(dòng)比還是變傳動(dòng)比都適用；但嚙合方程的建立比較復(fù)雜，對(duì)于定傳動(dòng)比，齒廓法線法更為簡(jiǎn)便。齒廓法線法根據(jù)Willis定理，齒廓上的任一嚙合點(diǎn)，其齒廓法線必須通過(guò)該瞬時(shí)的節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而得到嚙合方程。如圖2-1所示，建立其嚙合方程：式

4、中：圖 2 - 1坐標(biāo)變換矩陣及其余計(jì)算步驟與運(yùn)動(dòng)學(xué)法計(jì)算共軛曲線相似。將輪1、2齒廓曲線及嚙合線在固定坐標(biāo)系中繪制出來(lái)，以顯示兩齒廓曲線的嚙合過(guò)程，如圖2-2所示：對(duì)比兩種計(jì)算方法及圖2-1、2，可知兩種計(jì)算可以得到完全相同的共軛曲線，但齒廓法線法計(jì)算簡(jiǎn)單，效率較高。圖 2 - 2 齒廓法線法求共軛曲線3、 齒廓法線法求齒條刀具的共軛曲線設(shè)已知齒條齒廓1在坐標(biāo)系S1中為直線，以及齒輪與齒條的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立三個(gè)如圖3-1所示的坐標(biāo)系。圖 3 - 1齒廓1上得點(diǎn)M1(x1,y1)的切線t與X軸的夾角為g，齒廓1在點(diǎn)M1的法線與X1軸的交點(diǎn)為P1，要使M1稱(chēng)為嚙合點(diǎn)，齒條1必須向左移動(dòng)到P。由

5、此建立嚙合方程：式中：，齒條刀具g為定值。坐標(biāo)變換矩陣及其余計(jì)算步驟與齒廓法線法計(jì)算齒輪齒廓共軛曲線相似。將齒條、齒輪齒廓及嚙合線在固定坐標(biāo)系中繪制出來(lái)，以顯示齒輪齒廓插齒加工過(guò)程，如圖3-2所示：圖 3 - 2齒條刀具加工齒廓曲線4、 齒廓法線法求齒廓過(guò)渡圓弧當(dāng)齒條刀具的齒頂帶圓角時(shí)，設(shè)齒頂圓角的圓心為A，半徑為，刀具工作齒廓與齒頂圓角的分界點(diǎn)為A2，在該點(diǎn)的齒廓法線為A2A，壓力角為2，刀具齒頂圓角和頂刃的交接點(diǎn)為A1。如圖4-4所示。若A為嚙合點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A的齒廓法線AA必須通過(guò)嚙合節(jié)點(diǎn)P，為此齒條需要右移一段距離l。故嚙合方程為：圖 4 - 1坐標(biāo)變換矩陣及其余計(jì)算步驟與齒廓法線法計(jì)算齒

6、廓共軛曲線相似。將齒條、齒輪過(guò)渡圓弧曲線及嚙合線在固定坐標(biāo)系中繪制出來(lái)，以顯示過(guò)渡圓弧加工過(guò)程，如圖4-2所示：圖 4 - 2 齒條刀具加工過(guò)渡圓弧5、 單圓弧齒條刀具加工齒輪實(shí)例齒條刀具模數(shù)為1，壓力角為20度，齒數(shù)20，刀具圓角0.2。設(shè)齒條刀具關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)，刀具如圖5-1所示。圖 5 - 1齒條刀具將齒條齒輪齒廓、過(guò)渡圓弧曲線及嚙合線在固定坐標(biāo)系中繪制出來(lái)，以顯示齒條插齒加工過(guò)程，如圖5-2所示：圖 5 - 2齒條刀具加工過(guò)程圖附錄：?jiǎn)螆A弧齒條刀具插齒加工齒輪代碼function chitiao_cut_gearalpha=20/180*pi;m=1;rou=0.2;r2 = 20;k=

7、tan(pi/2-alpha);x0=pi/4*m+1.25*m/k;y0=1.25*m;y1=-1.25*m+rou*(1-sin(alpha);x1=x0+(y1-y0)/k;x2=x1-rou*cos(alpha);y2=-1.25*m;iii=31;jjj=20;kkk=5;x,y=daoju(alpha,rou,x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,iii,jjj,kkk);for i=1:iii gama(i) = alpha; fai(i) = (x(i)+y(i)/tan(gama(i)/r2; m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m0

8、2 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = inv(m02)*m01; aaa(:,i) = x(i),y(i),1' bbb(:,i) = m01*aaa(:,i); ccc(:,i) = m21*aaa(:,i); if (sqrt(ccc(1,i)2+ccc(2,i)2)-(r2+1.0*m)<0.1x0=pi/4*m+1.25*m/k; x0=x(i) y0=y(i) y1=-1.25*m+rou*(1-sin(alpha); x1=x0+(y1-y0)/k; x2=x1-rou*

9、cos(alpha); y2=-1.25*m; x3=0; y3=-1.25*m; x,y=daoju(alpha,rou,x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,iii,jjj,kkk); break endendfor i=1:iii gama(i) = alpha; fai(i) = (x(i)+y(i)/tan(gama(i)/r2; m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m02 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = inv(m02)*m01; aaa(:

10、,i) = x(i),y(i),1' bbb(:,i) = m01*aaa(:,i); ccc(:,i) = m21*aaa(:,i);endtiaoshu=size(fai,2)for i=iii+1:iii+jjj fai(i)=-(y2+rou)/(y(i)-(y2+rou)/(x(i)-x2)-x2)/r2; m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m02 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = inv(m02)*m01; aaa(:,i) = x(i),y(

11、i),1' bbb(:,i) = m01*aaa(:,i); ccc(:,i) = m21*aaa(:,i);endplot(bbb(1,:),bbb(2,:),'k')hold onfor i=1:tiaoshu+1 if mod(i,5)=1 m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m02 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = inv(m02)*m01; aaa1 = m01*aaa; plot(aaa1(1,:),aaa1(2,:),'g') ccc1 = m02*ccc; plot(ccc1(1,:),ccc1(2,:),'r')%¹²éîÇúÏß elseif i=tiaoshu+1 i=size(fai,2); m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m02 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = i