微分幾何與嚙合原理

1、微分幾何與嚙合原理研究生專業(yè)課程考試答題冊得分：考試課程 微分幾何與嚙合原理 研究生院平面嚙合曲線計算方法利用瞬心線來傳遞運動的機構(gòu)稱為瞬心線機構(gòu)。在傳動時，兩構(gòu)件的瞬心線始終相切并做無滑動的滾動，以實現(xiàn)預(yù)期的傳動比函數(shù)。當傳動裝置做連續(xù)傳動時，上述要求時比較難做到的，在某些位置其傳力條件是非常惡劣的。為克服這些缺點常用非圓機構(gòu)去代替瞬心線機構(gòu)。這時，為能實現(xiàn)預(yù)期的傳動比函數(shù)，需要滿足Willis定理。Willis定理：一對相互嚙合的齒廓，在任一瞬時過嚙合點的齒廓公法線應(yīng)通過在該瞬時的兩齒輪瞬心線的切點瞬時嚙合節(jié)點。1、 運動學(xué)法求共軛曲線利用運動分析建立嚙合方程以求共軛曲線的方法稱為運動學(xué)法

2、。在實際工作中，最長遇到的問題是已知兩齒輪的傳動比函數(shù)、傳動的中心距和其中一個齒輪的齒廓，要求另一個齒輪上得共軛齒廓以及嚙合點在固定坐標系中所留下的嚙合線。其嚙合坐標系如圖1-1所示。圖 1 - 1齒廓1上嚙合點坐標為：在坐標系S1中建立嚙合方程，兩齒輪間任一重合點的相對運動速度為：齒廓1上嚙合點處的切矢：其中：齒廓1上嚙合點處的法矢：因此，嚙合方程為：化簡后得：將齒廓1坐標變換到固定坐標系中，得到固定坐標系中的嚙合線方程坐標：將齒廓1坐標變換到轉(zhuǎn)動坐標系中，得到輪2的齒廓2坐標：對上式進行數(shù)據(jù)計算，即可得到相嚙合的一對齒廓上得嚙合點坐標，具體步驟如下：a) 確定了參變量u的取值區(qū)間；選定其中

3、一個u；b) 計算齒廓1上得坐標(x1,y1,1)c) 由嚙合方程計算輪1轉(zhuǎn)過的角度d) 由坐標變換矩陣M01得到固定坐標系中的嚙合線e) 由坐標變換矩陣M21得到輪2的齒廓方程2將輪1、2及嚙合線在固定坐標系中繪制出來，以顯示兩齒廓曲線的嚙合過程，如圖1-2所示：圖 1 - 2 運動學(xué)法求共軛曲線2、 齒廓法線法求共軛曲線運動學(xué)法求共軛曲線的優(yōu)點是具有廣泛的適應(yīng)性，無論是定傳動比還是變傳動比都適用；但嚙合方程的建立比較復(fù)雜，對于定傳動比，齒廓法線法更為簡便。齒廓法線法根據(jù)Willis定理，齒廓上的任一嚙合點，其齒廓法線必須通過該瞬時的節(jié)點，進而得到嚙合方程。如圖2-1所示，建立其嚙合方程：式

4、中：圖 2 - 1坐標變換矩陣及其余計算步驟與運動學(xué)法計算共軛曲線相似。將輪1、2齒廓曲線及嚙合線在固定坐標系中繪制出來，以顯示兩齒廓曲線的嚙合過程，如圖2-2所示：對比兩種計算方法及圖2-1、2，可知兩種計算可以得到完全相同的共軛曲線，但齒廓法線法計算簡單，效率較高。圖 2 - 2 齒廓法線法求共軛曲線3、 齒廓法線法求齒條刀具的共軛曲線設(shè)已知齒條齒廓1在坐標系S1中為直線，以及齒輪與齒條的相對運動關(guān)系，建立三個如圖3-1所示的坐標系。圖 3 - 1齒廓1上得點M1(x1,y1)的切線t與X軸的夾角為g，齒廓1在點M1的法線與X1軸的交點為P1，要使M1稱為嚙合點，齒條1必須向左移動到P。由

5、此建立嚙合方程：式中：，齒條刀具g為定值。坐標變換矩陣及其余計算步驟與齒廓法線法計算齒輪齒廓共軛曲線相似。將齒條、齒輪齒廓及嚙合線在固定坐標系中繪制出來，以顯示齒輪齒廓插齒加工過程，如圖3-2所示：圖 3 - 2齒條刀具加工齒廓曲線4、 齒廓法線法求齒廓過渡圓弧當齒條刀具的齒頂帶圓角時，設(shè)齒頂圓角的圓心為A，半徑為，刀具工作齒廓與齒頂圓角的分界點為A2，在該點的齒廓法線為A2A，壓力角為2，刀具齒頂圓角和頂刃的交接點為A1。如圖4-4所示。若A為嚙合點，則過點A的齒廓法線AA必須通過嚙合節(jié)點P，為此齒條需要右移一段距離l。故嚙合方程為：圖 4 - 1坐標變換矩陣及其余計算步驟與齒廓法線法計算齒

6、廓共軛曲線相似。將齒條、齒輪過渡圓弧曲線及嚙合線在固定坐標系中繪制出來，以顯示過渡圓弧加工過程，如圖4-2所示：圖 4 - 2 齒條刀具加工過渡圓弧5、 單圓弧齒條刀具加工齒輪實例齒條刀具模數(shù)為1，壓力角為20度，齒數(shù)20，刀具圓角0.2。設(shè)齒條刀具關(guān)于Y軸對稱，刀具如圖5-1所示。圖 5 - 1齒條刀具將齒條齒輪齒廓、過渡圓弧曲線及嚙合線在固定坐標系中繪制出來，以顯示齒條插齒加工過程，如圖5-2所示：圖 5 - 2齒條刀具加工過程圖附錄：單圓弧齒條刀具插齒加工齒輪代碼function chitiao_cut_gearalpha=20/180*pi;m=1;rou=0.2;r2 = 20;k=

7、tan(pi/2-alpha);x0=pi/4*m+1.25*m/k;y0=1.25*m;y1=-1.25*m+rou*(1-sin(alpha);x1=x0+(y1-y0)/k;x2=x1-rou*cos(alpha);y2=-1.25*m;iii=31;jjj=20;kkk=5;x,y=daoju(alpha,rou,x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,iii,jjj,kkk);for i=1:iii gama(i) = alpha; fai(i) = (x(i)+y(i)/tan(gama(i)/r2; m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m0

8、2 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = inv(m02)*m01; aaa(:,i) = x(i),y(i),1' bbb(:,i) = m01*aaa(:,i); ccc(:,i) = m21*aaa(:,i); if (sqrt(ccc(1,i)2+ccc(2,i)2)-(r2+1.0*m)<0.1x0=pi/4*m+1.25*m/k; x0=x(i) y0=y(i) y1=-1.25*m+rou*(1-sin(alpha); x1=x0+(y1-y0)/k; x2=x1-rou*

9、cos(alpha); y2=-1.25*m; x3=0; y3=-1.25*m; x,y=daoju(alpha,rou,x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,iii,jjj,kkk); break endendfor i=1:iii gama(i) = alpha; fai(i) = (x(i)+y(i)/tan(gama(i)/r2; m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m02 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = inv(m02)*m01; aaa(:

10、,i) = x(i),y(i),1' bbb(:,i) = m01*aaa(:,i); ccc(:,i) = m21*aaa(:,i);endtiaoshu=size(fai,2)for i=iii+1:iii+jjj fai(i)=-(y2+rou)/(y(i)-(y2+rou)/(x(i)-x2)-x2)/r2; m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m02 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = inv(m02)*m01; aaa(:,i) = x(i),y(

11、i),1' bbb(:,i) = m01*aaa(:,i); ccc(:,i) = m21*aaa(:,i);endplot(bbb(1,:),bbb(2,:),'k')hold onfor i=1:tiaoshu+1 if mod(i,5)=1 m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m02 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = inv(m02)*m01; aaa1 = m01*aaa; plot(aaa1(1,:),aaa1(2,:),'g') ccc1 = m02*ccc; plot(ccc1(1,:),ccc1(2,:),'r')%¹²éîÇúÏß elseif i=tiaoshu+1 i=size(fai,2); m01 = 1 0 -r2*fai(i);0 1 0;0 0 1; m02 = cos(fai(i) -sin(fai(i) 0;sin(fai(i) cos(fai(i) -r2;0 0 1; m21 = i