大學(xué)物理剛體力學(xué)

1、主講：主講：姜貴君姜貴君第一節(jié)第一節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 一、一、剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體運(yùn)動(dòng)的描述1.剛體剛體 剛體剛體是理想模型是理想模型特點(diǎn)特點(diǎn)(1)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組（剛體可以看成由許多質(zhì)點(diǎn)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組（剛體可以看成由許多質(zhì)點(diǎn) 組成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元。）組成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元。）(2)組內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。組內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。 2.剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)。 （1）平動(dòng)）平動(dòng)若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

2、軌跡若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說剛都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的平行于它們的初始位置間的連線連線 。 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（2）轉(zhuǎn)動(dòng)）轉(zhuǎn)動(dòng)剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)，剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)， 則稱剛則稱剛體作轉(zhuǎn)動(dòng)，該直線稱轉(zhuǎn)軸。體作轉(zhuǎn)動(dòng)，該直線稱轉(zhuǎn)軸。 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)固定轉(zhuǎn)軸固定轉(zhuǎn)軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)又分轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 。剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) （滾動(dòng)）（滾動(dòng)）剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)=質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)

3、心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+QP xx轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸參考參考方向方向PxP （1）角位置和角位移）角位置和角位移3.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角位置角位置角位移（2）角速度）角速度角速度方向用右手螺旋法則確定。角速度方向用右手螺旋法則確定。 d定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度僅有沿轉(zhuǎn)軸的兩個(gè)方向。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度僅有沿轉(zhuǎn)軸的兩個(gè)方向。 用正負(fù)號(hào)表示方向用正負(fù)號(hào)表示方向ddt22dd()ddddtnrrarrtttarrt22ndd()ddddrrarrtttarr22n()tvrdvd rdarrdtdtdtarr（4） 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 or（3） 角加速度角加速度ddt

4、角加速度方向與角加速度方向與 相同。相同。d加速轉(zhuǎn)動(dòng)加速轉(zhuǎn)動(dòng), 方向一致方向一致; 減速轉(zhuǎn)動(dòng)減速轉(zhuǎn)動(dòng),方向相反方向相反 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) 。剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)at022100attxx22002 ()a xx0t22002 () 21002tt（5）勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式）勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式飛輪飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度22200(5 )75 rad22( 6

5、) 200 5rad s306t 例：例： 一飛輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動(dòng)停止轉(zhuǎn)動(dòng) 。 試求試求（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開）制動(dòng)開始后始后 t = 6 s 時(shí)飛輪的角速度；（時(shí)飛輪的角速度；（3）t = 6 s 時(shí)飛輪邊緣時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度。上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度。解解. 0 t = 30 s 時(shí)，時(shí)，飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)1022150=5 rad s6060n (1

6、)t0 = 0 s時(shí)，時(shí)， （2）s6t時(shí)，飛輪的角速度時(shí)，飛輪的角速度10(56)4rad s6t（3）s6t時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小20.2 42.5m sr該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度2t0.2 ()0.105 m s6ar 轉(zhuǎn)過的圈數(shù)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)r5 .372752N22n0.2 (4)31.6 m sar 例：例： 在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng) 。 開始時(shí)，它的角開始時(shí)，它的角速度速度 ，經(jīng)，經(jīng)300s 后，其轉(zhuǎn)

7、速達(dá)到后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1 。 已已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比 。 問在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)問在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？00 令令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct當(dāng)當(dāng)t=300s 時(shí)，時(shí)，122 18000=600 rad s6060n解：解：t0=0s 時(shí)，時(shí)，0=0，0=0轉(zhuǎn)子的角速度轉(zhuǎn)子的角速度2212150ctt由角速度的定義由角速度的定義2dd150tt得得200dd ,150ttt3450t在在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)34(300)3 10 r22 450N 所以

8、所以2222 60030075ct 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律sinMFrFdMr F 大小： 是決定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量是決定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量, ,表明力的大表明力的大小、方向和作用點(diǎn)對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。小、方向和作用點(diǎn)對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。1.力矩力矩（1） 力矩的定義式力矩的定義式（2） 物理意義物理意義doPzMFrM力力改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài) 剛體獲得角加速度剛體獲得角加速度質(zhì)點(diǎn)獲得加速度質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)力矩力矩MrF1）若力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)：）若力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)：討論討論FFFtsinzMFrF r2）合

9、力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和123MMMMirF11iFr 11rF21rF21Fr 11Fr nFFtrFAzF/F ijjiMM jririjijFjiFdOijMjiM3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消對(duì)對(duì) mi 用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iiiiFfm a 切向分量式為：切向分量式為：tsinsiniiiiiiFfm a 2sinsini iii iii iFrf rmr 外力矩外力矩內(nèi)力矩內(nèi)力矩t iiarir兩兩邊邊同同乘乘2.轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律zOrifiFi mi ii對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：用用M

10、表示合外力矩表示合外力矩, 則有則有: MJ MJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2sinsin()i iii iii iFrf rmrsin0i iif r因?yàn)?sin()i iii iFrmr得 2iirmJ 令令矢量式矢量式:轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 MJ 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比 ，與剛，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比 。 2. 力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。說明：說明：amF1. 與與 地位相當(dāng)，地位相當(dāng)，m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，性，J反映剛體的

11、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。MJ 3. 力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)方向，力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)方向，所所 以用以用正負(fù)號(hào)表示方向正負(fù)號(hào)表示方向。物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，其大小物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，其大小反映了改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的難易程度。反映了改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的難易程度。3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1)定義定義(2) 與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素剛體的質(zhì)量及其分布剛體的質(zhì)量及其分布轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置在（在（SI）中，中，J 的單位：的單位：kgm2(3) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算質(zhì)量離散分布的剛體質(zhì)

12、量離散分布的剛體2iirmJ 1m 2m 2r1r2dVJrm若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布lmddsmddVmdd質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布線分布線分布體分布體分布面分布面分布 為質(zhì)量的線密度為質(zhì)量的線密度 為質(zhì)量的體密度為質(zhì)量的體密度 為質(zhì)量的面密度為質(zhì)量的面密度注注意意 只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用積分計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一般剛體則用實(shí)驗(yàn)求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。一般剛體則用實(shí)驗(yàn)求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例：例： 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m半徑為半徑為R 的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

13、量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解解: 在環(huán)上任取一小線元在環(huán)上任取一小線元dlROdm其質(zhì)量其質(zhì)量2mRJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：均勻圓環(huán)的dd2mmlR22dddd22mmRJrmRllR220d2RmRJlmR解解: :將圓筒分為一系列的圓環(huán)，質(zhì)量為dm例：例： 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m 半徑為半徑為R 的薄圓筒繞中心軸的轉(zhuǎn)的薄圓筒繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（不計(jì)厚度）動(dòng)慣量。（不計(jì)厚度）圓環(huán)與圓環(huán)與圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式相同圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式相同22dJR dmJmR 2ddJRm220dmJRmmR例：例： 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m ，半徑為半徑為R ，厚為厚為h 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)的均勻圓盤

14、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：解：取半徑為取半徑為r 寬為寬為dr 的薄圓的薄圓筒筒可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與h 無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是 。221mRJ zoRrdr222d2 d2 ddmmmr r hr r hr rR hR2322dddmJrmrrR322021d2RmJrrmRR例：例： 求長(zhǎng)為求長(zhǎng)為L(zhǎng) 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)的均勻細(xì)桿桿對(duì)圖中不同軸的對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLxABL/2L/2Cx解：解：取軸處為原點(diǎn)建立一維坐標(biāo)系如圖所示取軸處為原點(diǎn)建立一維坐

15、標(biāo)系如圖所示2222121dmLxxLmJLLC2201d3LAmJxxm LLxLmxmddd的關(guān)系：與CAJJA，C 相距相距L/22)2(LmJJCAxxLmxLmxmrJdddd222(4) 平行軸定理平行軸定理cd推廣推廣: 若有任一軸與過質(zhì)心的軸若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行且相距平行且相距d ，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為量為: , 稱為稱為平行軸平行軸定理定理。2mdJJCJ:剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc:剛體繞通過質(zhì)心的軸剛體繞通過質(zhì)心的軸d:兩軸間垂直距離兩軸間垂直距離m:剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為

16、什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？(1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度(2) 如以重量如以重量G =98 N的物體掛在繩端，的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速試計(jì)算飛輪的角加速例例求求一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=0.5 kgm2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，不計(jì)， (見圖見圖)FOrmgTFOr解解 (1)JFr2-srad 2 .395 . 02 . 098JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區(qū)別兩者區(qū)別mgT2mrJmgr

17、2-2srad 8 .212 . 0105 . 02 . 098例題例題3-6 一個(gè)飛輪的質(zhì)量一個(gè)飛輪的質(zhì)量m=60 kg，半徑，半徑R=0.25 m，正在以，正在以0=1000 rmin-1的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在t=5.0 s內(nèi)內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。閘瓦與飛輪之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為使它均勻減速而最后停下來。閘瓦與飛輪之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為k=0.8 ，而飛輪的質(zhì)量可以看作全部均勻分布在輪的外周上。求，而飛輪的質(zhì)量可以看作全部均勻分布在輪的外周上。求閘瓦對(duì)飛輪的壓力閘瓦對(duì)飛輪的壓力N。 解解: :0=1000 rmin-1104.7 rad s-

18、1 飛輪在制動(dòng)時(shí)的角加速度為t0 = 0 s時(shí)時(shí)t=5 s 時(shí) =0負(fù)值表示與0的方向相反。-200104.720.9(rad s )5t 閘瓦作用于飛輪的摩擦力矩為 rkMf RNR 根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得kNRJ將2mRJ 代入得 k600.2520.93920.8mRN （N ） 例題例題3-7 圖3-14所示為測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置。待測(cè)的物體裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，細(xì)線的一端繞在半徑為R的輪軸上，另一端通過定滑輪懸掛質(zhì)量為m的物體，細(xì)線與轉(zhuǎn)軸垂直。從實(shí)驗(yàn)測(cè)得m自靜止下落高度h的時(shí)間為t。忽略各軸承的摩擦、滑輪和細(xì)線的質(zhì)量，細(xì)線不可伸長(zhǎng)，并預(yù)先測(cè)定空轉(zhuǎn)動(dòng)架對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0。求待測(cè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸

19、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 圖3-14 以待測(cè)剛體和轉(zhuǎn)動(dòng)架為整體，設(shè)待測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，由繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得0TRJJ由細(xì)線不可伸長(zhǎng)以及m自靜止下落，有 212hataR 上述各式聯(lián)立求解得 220(1)2gtJmRJh從已知數(shù)據(jù)從已知數(shù)據(jù)J0 、R、h、t即可算出待測(cè)即可算出待測(cè)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J來。來。 解：解：隔離物體m，設(shè)線中的張力為T，物體m的加速度為a，由牛頓第二定律可得 mgTma1.力矩的功力矩的功 sinFrM -力矩的功力矩的功第二節(jié)第二節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理Fd rdsdd( sin )dsinddWFrFsFrM21dWMdd( sin )ds

20、inddWFsFsFrM dd(sin )dsinddWFsFsFrM ddsin)sin(MWrdFdsFdsFdW 合外力矩合外力矩 一、力矩的功一、力矩的功 與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 若力矩是恒量若力矩是恒量:2121d()WMMM比較比較：2121ddrrWFrWM 力的功力矩的功例題例題3-8力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。 例題例題3-8 一根質(zhì)量為一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OA，可繞通過，可繞通過其一端的光滑軸其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。今使棒從水平位置開始在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)重力所做的功。自由下擺，求

21、細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)重力所做的功。 解：解：在棒的下擺過程中，對(duì)轉(zhuǎn)軸在棒的下擺過程中，對(duì)轉(zhuǎn)軸O而而言，支承力言，支承力N通過通過O點(diǎn)，所以支承力點(diǎn)，所以支承力N的的力矩等于零，重力力矩等于零，重力G的力矩則是變力矩，的力矩則是變力矩，大小等于大小等于mgcosl/2 。當(dāng)棒轉(zhuǎn)過一個(gè)極小。當(dāng)棒轉(zhuǎn)過一個(gè)極小的角位移的角位移d時(shí)，時(shí)，重力矩所做的元功是重力矩所做的元功是 dcos2ddlmgMW重力矩所做的功為重力矩所做的功為2dcos2d2021lmglmgMW重力矩做的功也就是重力做的功。重力矩做的功也就是重力做的功。 2.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 miri 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 ，第第i個(gè)質(zhì)元個(gè)

22、質(zhì)元mi 的速度為的速度為: :iir設(shè)系統(tǒng)包括有設(shè)系統(tǒng)包括有 N 個(gè)質(zhì)量元個(gè)質(zhì)量元12,.,.,iNm mmmNirrrr.,.,21Ni,.,.,vvvv21其動(dòng)能為其動(dòng)能為2k12iiiEmv2212i imr各質(zhì)量元速度不同，各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同但角速度相同整個(gè)剛體的動(dòng)能為整個(gè)剛體的動(dòng)能為: :22222kk111111()222NNNii ii iiiiEEmrmrJ221 JEk 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能比較：比較：平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能2k12Em 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2k12EJ 結(jié)論結(jié)論繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其

23、角速度平方乘積的一半量與其角速度平方乘積的一半剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)=質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+例題例題 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的勻質(zhì)球體，從傾角為的勻質(zhì)球體，從傾角為 的斜面上的斜面上距地面距地面h高處無滑動(dòng)地滾下來，如圖高處無滑動(dòng)地滾下來，如圖3-6所示。試求球體滾到地所示。試求球體滾到地面時(shí)的角速度面時(shí)的角速度 。hmR 解：解：設(shè)球體質(zhì)心的速率為vc，它繞球體質(zhì)心的角速度為 。由于球體在下滾過程中，只作滾動(dòng)沒有滑動(dòng)，故摩擦力不做功，所以球體和地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，應(yīng)有221122CmghmJ由于是純滾動(dòng)，則有CR均勻分布的球體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

24、 225JmR解得 1107ghR221122211122ddddJJJdtddtdWMdJJJMdJ 21222121dd2121JJJMWddJdtdddJdtdJJM22112221dd1122dddMJJJJtddtdWMdJ dJJ 22112221dd1122ddddddWMdMJdJJJJtJJt 21222111d22ddddMJJJJdtddtdWJJJ 212221212121JJdJMdWddJdtdddJdtdJJM剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理: :合外力矩做的功等于剛體轉(zhuǎn)合外力矩做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量動(dòng)動(dòng)能的增量. . 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

25、二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 比比較較21222111d22rrWFrmm質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2211222111d22ddddMJJJJdtddtdWMJ dJJ 221122211122ddddMJJJJdtddtdWMdJdJJ ddMJ 例題例題 裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m1，半徑為，半徑為R，重錘質(zhì)量為重錘質(zhì)量為m2 ，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動(dòng)，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動(dòng)柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落 h 高度時(shí)的速率高度時(shí)的速率v.(不計(jì)阻力，不不計(jì)阻力，不計(jì)繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng)

26、計(jì)繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng))1m2mhR1m2mhR解解:方法方法1. 利用質(zhì)點(diǎn)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理求解利用質(zhì)點(diǎn)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理求解.22T2102m ghF hm v22222T1111 110()22 24F RJm Rm R由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 由剛體動(dòng)能定理由剛體動(dòng)能定理 Rv Rh聯(lián)立得聯(lián)立得 21222mmghmv 再由再由 方法方法2. 利用系統(tǒng)的動(dòng)能定理求解利用系統(tǒng)的動(dòng)能定理求解 將轉(zhuǎn)動(dòng)柱體、下落物體視作一個(gè)系統(tǒng)將轉(zhuǎn)動(dòng)柱體、下落物體視作一個(gè)系統(tǒng) 2222222211111 10()2222 2m ghm vJm vm R再由再由 Rv 聯(lián)立得聯(lián)立得 21222mmghmv 1

27、m2mhR 例題例題3-9 一個(gè)長(zhǎng)為一個(gè)長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿的均質(zhì)細(xì)桿AB，用摩擦可，用摩擦可忽略的柱鉸鏈懸掛于忽略的柱鉸鏈懸掛于A處。如欲使靜止的桿處。如欲使靜止的桿AB自鉛垂位置恰好自鉛垂位置恰好能轉(zhuǎn)至水平位置，求必須給桿的最小初角速度。能轉(zhuǎn)至水平位置，求必須給桿的最小初角速度。 解：解：取桿取桿AB為研究對(duì)象，作用為研究對(duì)象，作用于桿的力有鉸鏈處的支承力于桿的力有鉸鏈處的支承力(不做功不做功)和重力。和重力。設(shè)必須給桿的最小初角速度設(shè)必須給桿的最小初角速度為為0 0，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理201022lmgJ213Jml 且且得得03 gl例題例

28、題 一個(gè)長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端用摩擦可忽略的鉸鏈O相接，如圖所示。由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動(dòng)。求細(xì)桿轉(zhuǎn)到與豎直線呈角時(shí)的角速度。解：解：細(xì)桿由豎直放置轉(zhuǎn)到與豎直線呈角，此時(shí)桿具有的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 222k1126EJml由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得221(1-cos )-026lmgml解得 03(1-cos )glmgC2l 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m 以速率以速率v 、角速度角速度 繞繞z 軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), , z 軸軸垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面平面xoy。定義質(zhì)點(diǎn)。定義質(zhì)點(diǎn)m 繞繞z 軸軸的的動(dòng)量矩動(dòng)量矩角動(dòng)量為角動(dòng)量為

29、: :xyzOr mpmv Lrprmv L方向方向: 如圖所示如圖所示;大小大小: sinsinLrprmv第三節(jié)第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1.角動(dòng)量角動(dòng)量（1）質(zhì)點(diǎn)的）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量角動(dòng)量（動(dòng)量矩）（動(dòng)量矩）質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)繞固定軸繞固定軸做圓周轉(zhuǎn)動(dòng)做圓周轉(zhuǎn)動(dòng), ,則有則有: : 2mrrmvL 單位：?jiǎn)挝唬?1kg m sFrMsinFrdFM 剛體剛體以角速度以角速度 繞繞z 軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體上剛體上任任一質(zhì)元繞一質(zhì)元繞z 軸軸作作圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)的的角動(dòng)量為角動(dòng)量為：（2）剛體）剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

30、的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 J)rm(LLiiiii 22ii iLm r zivirim 由于由于每每個(gè)個(gè)質(zhì)元質(zhì)元對(duì)對(duì)z 軸軸的角動(dòng)量的角動(dòng)量方向相同方向相同, ,剛剛體對(duì)體對(duì)z 軸軸的角動(dòng)量的角動(dòng)量為為: :角動(dòng)量角動(dòng)量是是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量矢量式矢量式:pm2.角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理tJJMdd 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律:)(ddd JJtM00t00t ddLLM tLLLJJ 沖量矩沖量矩 表示合外力矩在表示合外力矩在t0 t 時(shí)間內(nèi)的累積時(shí)間內(nèi)的累積作用。作用。單位：?jiǎn)挝唬号ｎD牛頓米米秒秒tt0d tM角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理: :作用在剛體上的沖量矩等于其角動(dòng)量的改

31、變量。作用在剛體上的沖量矩等于其角動(dòng)量的改變量。0tt0d JJtM定軸定軸0tt0d JJtM例題例題 水平桌面上有一長(zhǎng)l=0.3m 、質(zhì)量m=3.0kg的均質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿可繞一端O點(diǎn)且垂直桌面的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知桿與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)=0.20 ，細(xì)桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)的初角速度0= 49 rad s-1 。求棒從開始運(yùn)動(dòng)到停下來所需時(shí)間。解解：在棒上取距O點(diǎn)為r，長(zhǎng)為dr的質(zhì)量元dm ，則 ddmmrl棒運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)O點(diǎn)的摩擦阻力矩為01(d )d2lmMm grgr rmgll 設(shè)棒開始運(yùn)動(dòng)到停止所用時(shí)間為t，由角動(dòng)量定理可寫出00d0tM tJ式中細(xì)桿繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量213Jml201123m

32、gltml 022490 35 s33 0 29 8l.tg.即 解得 rOdrdf0習(xí)題習(xí)題3-12 有一個(gè)均勻薄圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，可繞過盤中心的光滑豎直軸在水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 。若用外力推動(dòng)它使其角速度達(dá)到 時(shí)，撤去外力，求：（1）此后圓盤還能繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間？（2）上述過程中摩擦力矩所做的功。學(xué)習(xí)指導(dǎo)：學(xué)習(xí)指導(dǎo)：3-13解：解：（1） 在盤上取半徑為r的圓環(huán)形質(zhì)量元2dd2 dmmSr rR對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩 22022dd3RgmrMmg rrmgRR 由角動(dòng)量定理可寫出00d0tM tJ034Rtg202132mgRtmR （2）根據(jù)動(dòng)能定理，摩擦力的

33、功為 2220011024WJmR 解得 )CJ(L.JL,M dtLdM 00即即常常量量則則中中，若若在在剛體剛體角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律: :當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí)當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí), ,物體的物體的角動(dòng)量保持不變。角動(dòng)量保持不變。)CJ(L.L,M dtLdM 00即即常常量量則則中中，若若在在說明：說明：1.1.若系統(tǒng)由幾部分構(gòu)成，總角動(dòng)量守恒是指各部分若系統(tǒng)由幾部分構(gòu)成，總角動(dòng)量守恒是指各部分相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量；的角動(dòng)量；2. 對(duì)微觀粒子和高速運(yùn)動(dòng)也適用，是物理學(xué)中的基本定律之一。對(duì)微觀粒子和高速運(yùn)動(dòng)也適用，是物理學(xué)中的基本定律之一。 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

34、的角動(dòng)量守恒定律二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律的兩種應(yīng)用：角動(dòng)量守恒定律的兩種應(yīng)用：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。（2）轉(zhuǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。動(dòng)慣量可變的物體。.JJ就就增增大大減減小小時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)就就減減小?。辉鲈龃蟠髸r(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過改變身花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來改變體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來改變轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速. .00 則則,JJ000,MJJ當(dāng)時(shí)，則 0,dLMMdtJC 在中，若解：解：由于從子彈進(jìn)入棒到二者開始一起運(yùn)動(dòng)由于從子彈進(jìn)入棒到二者開始一起運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的時(shí)間極短，在這一過程中棒的位置所經(jīng)過的時(shí)間極短，在這一過程中棒的位置基本不變，即仍然保持豎直。因此，對(duì)于木基本不變，即仍然保持豎直。因此，對(duì)于木棒和子彈系統(tǒng)，在子彈沖入過程中，系統(tǒng)所棒和子彈系統(tǒng)，在子彈沖入過程中，系統(tǒng)所受的外力受的外力(重力和軸的支持力重力和軸的支持力)對(duì)于軸對(duì)于軸O的力矩的力矩都是零。這樣，系統(tǒng)對(duì)軸都是零。這樣，系統(tǒng)對(duì)軸O的角動(dòng)量守恒