概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題一1 .見(jiàn)教材習(xí)題參考答案 .2.設(shè) A，B， C 為三個(gè)事件，試用A， B， C（ 1） A 發(fā)生， B， C 都不發(fā)生；（ 2） A與B發(fā)生，C（ 3） A， B， C 都發(fā)生；（ 4） A， B，C（ 5） A， B， C 都不發(fā)生；（ 6） A， B，C（ 7） A， B， C 至多有 2 個(gè)發(fā)生；（ 8） A， B，C 至少有 2 個(gè)發(fā)生 .【解】（1） A BC（2） AB C（3） ABC（ 4） ABC= AB C A BC A BC ABCA B CAB C ABC= ABC(5)ABC = ABC(6)ABC(7) ABCABCABC AB C

2、ABC ABC ABC= ABC= ABC(8) AB BC CA=AB C A B C A BC ABC3.4.設(shè) A，B 為隨機(jī)事件，且P（ A） =0.7,P(A B)=0.3，求 P（ AB ） .【解】P（ AB ） =1 P（ AB） =1 P(A) P(A B)=1 0.70.3=0.65.設(shè) A，B 是兩事件，且P（ A）=0.6, P(B)=0.7,（ 1） 在什么條件下 P（ AB（ 2） 在什么條件下 P（ AB）【解】（ 1） 當(dāng) AB=A 時(shí)， P（ AB）取到最大值為0.6.（ 2） 當(dāng) A B= 時(shí)， P（AB ）取到最小值為0.3.6.設(shè) A，B， C 為三事件

3、，且P（ A） =P（ B）=1/4， P（ C） =1/3 且 P（ AB） =P（BC） =0 ，P（ AC） =1/12 ，求 A， B， C 至少有一事件發(fā)生的概率.【解】P（ A B C） =P(A)+P( B)+P(C) P(AB ) P(BC) P(AC)+P(ABC)11113=+12=443423. P（ A ） =0.3,P(B)=0.4, P( A B )=0.5，求 P（ B A B ）【解】P(AB )P(A)PAB( )P(B A B)B)P( A) P(B) P( AB)P( A0.70.510.70.60.5433.1 ， 1 ， 1 ，求將此密碼破譯出534的

4、概率 .【解】設(shè) Ai= 第 i 人能破譯 （ i=1,2,3 ），則3P( Ai ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )i 11423530.6434.0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中， 則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中， 則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】 設(shè) A= 飛機(jī)被擊落 ， Bi= 恰有 i 人擊中飛機(jī) ， i=0,1,2,3由全概率公式，得3P( A)P( A | Bi )P(Bi )i0=(0.4× 0.5× 0.3+0.6× 0.5&#

5、215; 0.3+0.6× 0.5× 0.7)0.2+(0.4× 0.5× 0.3+0.4 ×0.5× 0.7+0.6 × 0.5× 0.7)0.6+0.4 ×0.5× 0.7=0.458.習(xí)題二1.一袋中有5 只乒乓球，編號(hào)為1， 2， 3， 4，5，在其中同時(shí)取3 只，以 X 表示取出的3 只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X 的分布律 .【解】X3,4,5P( X3)10.1C53P( X4)30.3C53P( X5)C420.6C53故所求分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)在 15

6、只同類型零件中有2 只為次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽樣，以 X 表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（ 1） X 的分布律；（ 2） X 的分布函數(shù)并作圖；(3)P X1, P1 X3, P1X3, P1 X 2 .222【解】X 0,1,2.P( X0)C13322 .C15335P( X1)C12C13212 .C15335P( X2)C1311C153.35故 X 的分布律為X012P22121353535（ 2） 當(dāng) x<0 時(shí)， F（ x） =P（ X x） =0當(dāng) 0x<1 時(shí)， F（ x） =P（ X x） =P(X=0)= 2235當(dāng) 1x<2 時(shí)，

7、F（ x） =P（ X x） =P(X=0)+ P(X=1)= 3435當(dāng) x2 時(shí)， F（ x） =P（ Xx） =1故 X 的分布函數(shù)0,x022,0x 1F (x)3534 , 1 x 2351,x2(3)P( X1 )F (1)22 ,2235P(1X3)F (3)F (1)34340223535P(1X3)P( X1)P(1 X3 )122235P(1X2)F (2)F(1) P(X2)13410.35353.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3 次射擊，每次擊中率為0.8，求 3 次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3 次射擊中至少擊中2 次的概率 .【解】設(shè) X 表示擊中目標(biāo)的次數(shù)

8、.則 X=0， 1， 2， 3.P(X0)(0.2)30.008P(X 1) C31 0.8(0.2)20.096P(X2)C32 (0.8)2 0.20.384P(X3)(0.8)30.512故 X 的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)0,x00.008,0x1F (x)0.104,1x20.488,2x31,x3P( X2)P( X2)P( X3)0.8964.（ 1） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為kP X=k= a，k!其中 k=0， 1， 2， 0 為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為P X=k= a/N，k=1， 2， N，試確定常

9、數(shù) a.【解】（ 1） 由分布律的性質(zhì)知k1P( Xk)ak!a ek 0k 0故ae(2) 由分布律的性質(zhì)知NP( XNaa1k)Nk1k1即a1.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3 次，求：（ 1） 兩人投中次數(shù)相等的概率 ;（ 2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率 .【解】 分別令 X、Y 表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb （3， 0.6） ,Yb(3,0.7)(1)P( XY)P( X0,Y0)P( X1, Y1)P( X2,Y2)P( X3,Y3)(0.4)3 (0.3)3C31 0.6(0.4)2 C13 0.7(0.3)2 +C32 (0.6) 2 0.4C32 (0

10、.7) 2 0.3(0.6)3 (0.7)30.32076(2)P( XY)P(X1,Y 0)P( X2,Y0)P( X3,Y0)P( X2,Y1)P( X3,Y1)P(X3,Y2)C13 0.6(0.4)2 (0.3)3C32 (0.6)2 0.4(0.3)3(0.6)3 (0.3)3C32 (0.6)2 0.4C13 0.7(0.3)2(0.6) 3 C13 0.7(0.3)2(0.6)3 C32 (0.7) 2 0.3=0.2436.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200 架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的 .試問(wèn)該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛

11、機(jī)需立即降落而沒(méi)有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】 設(shè) X 為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則Xb(200,0.02) ，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N 條跑道，則有P( XN )0.01200即C200k(0.02) k (0.98) 200 k0.01k N 1利用泊松近似np2000.024.e 4 4kP(X N)0.01k N 1k !查表得 N9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9 條跑道 .7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過(guò)，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001, 在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000 輛汽車通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解

12、】 設(shè) X 表示出事故的次數(shù)，則Xb（ 1000， 0.0001）P(X2)1P(X0)P(X1)1 e 0.1 0.1 e 0.18.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X 滿足 P X=1= P X=2 ，求概率 P X=4.【解】 設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則C51 p(1p) 4C52 p2 (1p) 3故p1314 210所以4P( X4)C 5 (3)3243.9.設(shè)事件 A 在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng) A 發(fā)生不少于3 次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1） 進(jìn)行了 5 次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2） 進(jìn)行了 7 次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（ 1）

13、 設(shè) X 表示 5 次獨(dú)立試驗(yàn)中A 發(fā)生的次數(shù)，則X6（ 5， 0.3）5P(X 3)C5k (0.3) k (0.7) 5k0.16308k 3(2) 令 Y 表示 7 次獨(dú)立試驗(yàn)中A 發(fā)生的次數(shù)，則Yb（ 7， 0.3）7P(Y3)C7k (0.3) k (0.7) 7k0.35293k310.某公安局在長(zhǎng)度為t 的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X 服從參數(shù)為 （ 1/2）t 的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（ 1） 求某一天中午12 時(shí)至下午3 時(shí)沒(méi)收到呼救的概率；（ 2） 求某一天中午12 時(shí)至下午5 時(shí)至少收到1 次呼救的概率 .35【解】（ 1） P( X0)e

14、2(2)P( X1)1P( X0)1 e 211.設(shè) P X=k= C2k pk (1p)2k , k=0,1,2P Y=m= C 4m pm(1p) 4m ,m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X， Y 的概率分布，如果已知P X 1=5 ，試求 P Y 1.9【解】 因?yàn)?P( X541)，故 P(X 1).99而P( X1)P( X0)(1p) 2故得(1p)24 ,9即p1 .365從而P(Y1) 1 P(Y0)1(1 p) 40.802478112.某教科書(shū)出版了2000 冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000 冊(cè)書(shū)中恰有 5 冊(cè)錯(cuò)誤的概率 .【解】 令 X 為

15、 2000 冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則Xb(2000,0.001). 利用泊松近似計(jì)算 ,np20000.0012得P( X5)e 2 255!0.001813.進(jìn)行某種試驗(yàn)， 成功的概率為3 ，失敗的概率為 1 .以 X 表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次44數(shù)，試寫出X 的分布律，并計(jì)算X 取偶數(shù)的概率.【解】 X1,2, k,P(X k)( 1)k 1 344P( X2)P( X4)P( X 2k)13(1)3 3( 1) 2k 1 344444413 44 1 (1)241514.有 2500 名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為 0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)

16、的人在1 月 1 日須交 12 元保險(xiǎn)費(fèi)， 而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000 元賠償金 .求：（ 1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率;（ 2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000 元、 20000 元的概率 .【解】 以“年”為單位來(lái)考慮.（ 1） 在 1 月 1 日，保險(xiǎn)公司總收入為2500× 12=30000 元 .設(shè) 1 年中死亡人數(shù)為 X，則 Xb(2500,0.002) ，則所求概率為P(2000 X30000)P(X15)1P( X14)由于 n 很大， p 很小， =np=5，故用泊松近似，有14e 5 5kP( X15)10.000069k0k !(2) P(保險(xiǎn)公司獲利不

17、少于 10000)P(30000 2000 X10000)P( X10)10 e5 5k0.986305k 0k !即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000 元的概率在 98%P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000）P(300002000 X20000) P( X 5)5 e 5 5k0.615961k0k !即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000 元的概率約為 62%15.已知隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為|x|<x<+ ,f(x)=Ae,求：（ 1） A 值；（ 2） P0< X<1;(3)F(x).【解】（ 1） 由f ( x)dx1得1Ae |x|dx20Ae x dx2A故A1.2(2)p

18、(0X 1)11xdx1(1e1)2e2011(3)當(dāng) x<0 時(shí)， F ( x)xxdxxe2e2當(dāng) x 0 時(shí)， F ( x)x 1e|x|01xx 1xdx2dxe dxe20211 e x21 ex,x0故F ( x)21 e x1x0216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X 的密度函數(shù)為100 ,x 100,f(x)=x2100.0,x求：（ 1） 在開(kāi)始 150 小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率；（ 2） 在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（ 3） F （ x） .【解】（1） P( X150)150 1001100 x2dx.3p1P( X150) 3( 2)

19、38327(2)p2 C31 1 ( 2) 24339(3)當(dāng) x<100 時(shí) F（ x）=0x()dF( )f當(dāng) x 100 時(shí)100f (t )dtxf (t)dt100x 100dt100100t21x1100100故F ( x)x, x0,x 017.在區(qū)間 0， a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X 表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在0， a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求X 的分布函數(shù) .【解】由題意知 X 0, a，密度函數(shù)為10 xaf ( x),a0,其他故當(dāng) x<0 時(shí) F（ x） =0xf (t)dtxx 1x當(dāng) 0 x a 時(shí) F ( x)f (t)dt0

20、 adt0a當(dāng) x>a 時(shí)， F（ x） =1即分布函數(shù)0,x0F ( x)x0xa,a1,xa18.設(shè)隨機(jī)變量X 在 2， 5上服從均勻分布 .現(xiàn)對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于 3的概率 .【解】 XU 2,5 ，即f ( x)1 ,2x530,其他P( X3)5 12dx33 3故所求概率為p C32 ( 2 )2 1C33( 2)32033327119.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)） 服從指數(shù)分布E ( ) .某顧客在窗口5等待服務(wù)， 若超過(guò) 10 分鐘他就離開(kāi)到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫出.他一個(gè)月要到銀行 Y 的分布律，并求5 次，以P Y

21、 1.Y 表示一個(gè)月內(nèi)他未等【解】 依題意知 X E(1) ，即其密度函數(shù)為51xe 5 ,x0f ( x)5x00,該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為xP( X 10)1 e 5dxe 210 5Y b(5,e 2 ) ,即其分布律為P(Yk)C5k (e 2 )k (1e 2 )5 k , k0,1,2,3,4,5P(Y1)1 P(Y0)1(1 e 2 )50.516720.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X 服從 N（ 40， 102 ）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X 服從 N（50， 42） .（ 1） 若動(dòng)身時(shí)離火車開(kāi)車只有 1 小時(shí)，問(wèn)

22、應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（ 2） 又若離火車開(kāi)車時(shí)間只有 45 分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（ 1） 若走第一條路， XN（ 40， 102 ），則P( X60)P x406040(2)0.977271010若走第二條路， XN（ 50， 42），則P( X60)X506050(2.5)0.9938 +P44故走第二條路乘上火車的把握大些.（ 2） 若 XN（40， 102），則P( X45)X404540(0.5)0.6915P1010若 XN（ 50， 42），則P(X 45) P X 5045 50( 1.25)441(1.25)0.1056故走第一條路乘上火車的把

23、握大些.21.設(shè) XN（3， 22），（ 1） 求 P2< X5 ， P4<X10 ， P X 2 ， P X 3;（ 2） 確定 c 使 P Xc= P X c.【解】（ 1） P(2 X5)P23X353222(1)1(1)11220.841310.69150.5328P( 4X10)P43X3103222770.999622P(|X|2)P( X2)P( X2)PX323P X32 3222211511522220.691510.99380.6977P( X3)X33-31(0)0.5P(22)(2) c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）XN（ 10.05,0.062）

24、,規(guī)定長(zhǎng)度在10.05±0.12 內(nèi)為合格品 ,求一螺栓為不合格品的概率 .【解】 P(| X 10.05|0.12)PX10.050.120.060.061(2)(2)21(2)0.0456223.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命 X（小時(shí)） 服從正態(tài)分布 N（ 160，），若要求 P120 X200 0.8，允許 最大不超過(guò)多少？120160X160200160【解】 P(120X200)P40404010.82故4031.251.2924.設(shè)隨機(jī)變量 X 分布函數(shù)為ABe xt , x0,0),F （x） =x(0,0.（ 1） 求常數(shù) A，B；（ 2） 求 P X2 ，P X3；（ 3

25、） 求分布密度 f（ x）.limF ( x)1A1【解】（ 1）由x得lim F ( x)lim F ( x)B1x 0x0（2） P( X2)F (2) 1 e 2P( X3)1F (3)1(1e 3 )e 3(3) f ( x)F (x)e x ,x00,x025.設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為x,0x1,f（ x） =2x,1x2,0,其 他.求 X 的分布函數(shù) F（ x），并畫出 f（ x）及 F（ x） .【解】 當(dāng) x<0 時(shí) F（ x） =0當(dāng) 0x<1 時(shí) F ( x)x0xf (t )dtf (t )dtf (t )dt0x x2tdt0 2當(dāng) 1x<2 時(shí)

26、 F ( x)xf (t )dt01xf (t )dtf (t)dtf (t)dt011xt )dttdt(20 11 x2 32x2 2 2x22x12當(dāng) x2 時(shí) F ( x)xf (t)d t10,x0x2,0x1故F ( x)2x22x1,1x221,x226.設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為（ 1） f(x)=ae|x|, >0;bx,0x1,(2)f(x)=12 ,1x2,x0,其他.試確定常數(shù) a,b，并求其分布函數(shù)F （ x） .【解】（ 1） 由f ( x)dx1知 1ae|x|dx2aexdx2a0故a2ex ,x0即密度函數(shù)為f (x)2e xx02當(dāng) x 0 時(shí) F ( x)xxexdx1e xf (x)dx22當(dāng) x>0 時(shí) F (x)x0e xdxxex dxf ( x)dx20211 ex2故其分布函數(shù)11 ex,x0F ( x)12e x ,x02(2)由 1f ( x)d x121dxb1bxdx1 x2220得b=1即 X 的密度函數(shù)為