曲線的參數(shù)方程

1、 曲線的參數(shù)方程編稿：趙雷 審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義。2. 能利用參數(shù)法求簡單曲線的參數(shù)方程。3. 掌握參數(shù)方程與普通方程的互化。4. 能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出圓和圓錐曲線的參數(shù)方程【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù)，即 ，并且對于的每一個允許值，方程組所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系間的關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)（簡稱參數(shù)）.相對于參數(shù)方程來說，直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程。要點(diǎn)詮釋：（1）參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是一個有物理意義或幾何

2、意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù) （2）一條曲線是用直角坐標(biāo)方程還是用參數(shù)方程來表示，要根據(jù)具體情況確定（3）曲線的普通方程直接地反映了一條曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而參數(shù)方程是通過參數(shù)反映坐標(biāo)變量x、y間的間接聯(lián)系。要點(diǎn)二、求曲線的參數(shù)方程 求曲線參數(shù)方程的主要步驟：第一步，畫出軌跡草圖，設(shè)M（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)畫圖時(shí)要注意根據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置，以便于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系第二步，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都能由參數(shù)取某一值唯一地確定出來；例如，在研究運(yùn)動問題時(shí)，通常選時(shí)間為參數(shù)；在研究旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，通常選旋轉(zhuǎn)角為參數(shù)

3、此外，離某一定點(diǎn)的有向距離、直線的傾斜角、斜率、截距等也常常被選為參數(shù)有時(shí)為了便于列出方程，也可以選兩個以上的參數(shù)，再設(shè)法消去其中的參數(shù)得到普通方程，或剩下一個參數(shù)得到參數(shù)方程，但這樣做往往增加了變形與計(jì)算的麻煩，所以參數(shù)個數(shù)一般應(yīng)盡量少二是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列出方程； 第三步，根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略要點(diǎn)詮釋：普通方程化為參數(shù)方程時(shí)，（1）選取參數(shù)后，要特別注意參數(shù)的取值范圍，它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價(jià)（2）參數(shù)的選取不同，得到的參數(shù)方程是不同的要點(diǎn)三、參數(shù)方程與普通方程的互化 1、參

4、數(shù)方程化為普通方程（1）把參數(shù)方程化為普通方程的基本思想是消去參數(shù)，消去參數(shù)的常用方法有：代入法先由一個方程求出參數(shù)的表達(dá)式（用直角坐標(biāo)變量表示），再代入另一個方程利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消去參數(shù) 例如：對于參數(shù)方程如果t是常數(shù)，是參數(shù)，那么可以利用公式sin2+cos2=1消參；如果是常數(shù)，t是參數(shù)，那么適當(dāng)變形后可以利用(m+n)2(mn)2=4mn消參其他方法：加減消參法、乘除消參法、平方和（差）消參法、混合消參法等. 要點(diǎn)詮釋：注意：一般來說，消去曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)，就可以得到曲線的普通方程，但要注意，這種消參的過程要求不減少也不增加曲線上的點(diǎn)，即要求參數(shù)方程和消去參數(shù)后的普通

5、方程是等價(jià)的2、普通方程化為參數(shù)方程（1）把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個關(guān)系式，再代入普通方程求得另一個關(guān)系式。（2）一般地，常選擇的參數(shù)有角度，斜率，時(shí)間等。要點(diǎn)詮釋：互化要確保參數(shù)方程與普通方程互化前后的等價(jià)性。注意方程中的參數(shù)的變化范圍，必須使坐標(biāo)x,y的取值范圍在互化前后保持不變，否則，互化就是不等價(jià)的。要點(diǎn)四、圓的參數(shù)方程 （1）圓的參數(shù)方程定義：已知圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程為：（是參數(shù)，）；特別：當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，半徑為的圓的參數(shù)方程為：（是參數(shù)）。 （2）參數(shù)的幾何意義：表示軸的正方向到連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角。 要

6、點(diǎn)注釋：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出圓心和半徑，圓的一般方程突出方程形式上的特點(diǎn)，圓的參數(shù)方程則直接指出圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特點(diǎn)。（2）圓的參數(shù)方程實(shí)際上是一組三角代換，為解決有關(guān)圓的問題提供了一條新的途徑.要點(diǎn)五、圓錐曲線的參數(shù)方程1.橢圓的參數(shù)方程（1）橢圓（）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。（2）參數(shù)的幾何意義：參數(shù)表示橢圓上某一點(diǎn)的離心角。如圖所示，點(diǎn)對應(yīng)的離心角為（過作軸，交大圓即以為直徑的圓于），切不可認(rèn)為是。要點(diǎn)注釋：從數(shù)的角度理解，橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是關(guān)于橢圓的一組三角代換。橢圓上任意一點(diǎn)可設(shè)成，為解決有關(guān)橢圓問題提供了一條新的途徑。2.雙曲線的參數(shù)方程雙曲線（,）的參數(shù)方程為：（為

7、參數(shù)，且）。 （注：）參數(shù)的幾何意義：參數(shù)表示雙曲線上某一點(diǎn)的離心角。雙曲線（,）上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為。3.拋物線的參數(shù)方程拋物線()的參數(shù)方程為（是參數(shù)）。參數(shù)的幾何意義：拋物線上一點(diǎn)（除頂點(diǎn)）與其頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，即。要點(diǎn)六、參數(shù)方程的用途引進(jìn)曲線參數(shù)方程有何用處？其用途主要有下列幾個方面：    有些曲線在實(shí)際應(yīng)用中用途非常廣，如圓的漸開線在齒輪制造中必不可少，可它的普通方程沒法直接表示，而參數(shù)方程很容易得出；    有些動點(diǎn)（x，y）的軌跡，坐標(biāo)x、y的關(guān)系不好找，我們引入?yún)⒆兞縯后，很容易找到x與t和y與t的等量關(guān)系式

8、，消去參變量后即得動點(diǎn)軌跡方程。此時(shí)參數(shù)方程在求動點(diǎn)軌跡中起橋梁作用?？梢杂们€的參數(shù)方程表示曲線上的一點(diǎn)坐標(biāo)，這樣把二元問題化為一元問題來解決。圓錐曲線的參數(shù)方程主要功能就是它。有些曲線參數(shù)方程的參變量t有幾何意義。若能利用參變量的幾何意義解題，經(jīng)常取得想不到的效果。若利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中t的幾何意義解題，會使很多難題化易，繁題化簡。總之，我們引進(jìn)參數(shù)方程才能更廣泛地研究曲線?！镜湫屠}】類型一、求曲線的參數(shù)方程例1. 過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。【思路點(diǎn)撥】從運(yùn)動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M的運(yùn)動是由直線l1

9、引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動點(diǎn)M坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程?！窘馕觥吭O(shè)M（x，y），設(shè)直線l1的方程為y4k（x2），（k） M為AB的中點(diǎn)， 消去k，得x2y50。 另外，當(dāng)k0時(shí)，AB中點(diǎn)為M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當(dāng)k不存在時(shí)，AB中點(diǎn)為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。 綜上所述，M的軌跡方程為x2y50。 【總結(jié)升華】1） 本題解法的前半部分用了參數(shù)法，求出了動點(diǎn)的參數(shù)方程，后半部分通過消參得到了普通方程。2） 用參數(shù)法求解時(shí)，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時(shí)間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體的意義

10、，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響舉一反三：【變式1】設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓做勻角速運(yùn)動，角速度為rads試以時(shí)間t為參數(shù)，建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程 【答案】 如圖所示，在運(yùn)動開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)A處，此時(shí)t=0 設(shè)動點(diǎn)M（x，y）對應(yīng)時(shí)刻t， 由圖可知， 又（t以s為單位）， 得參數(shù)方程【變式2】過原點(diǎn)作直線l和拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程?！敬鸢浮?由題意分析知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程y=kx。把它代入拋物線方程，得。因?yàn)橹本€和拋物線相交，所以>0，解得。設(shè)A（），B（），M（x，y），由韋達(dá)定理得。由消去k得。又

11、，所以。點(diǎn)M的軌跡方程為。【變式3】設(shè)飛機(jī)以勻速v=150ms做水平飛行，若在飛行高度h=588 m處投彈（設(shè)炸彈的初速度等于飛機(jī)的速度）， （1）求炸彈離開飛機(jī)后的軌跡方程； （2）試問飛機(jī)在離目標(biāo)多遠(yuǎn)（水平距離）處投彈才能命中目標(biāo)【答案】（1）如圖所示，A為投彈點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，588），B為目標(biāo)，坐標(biāo)為（x0，0）記炸彈飛行的時(shí)間為t，在A點(diǎn)t=0設(shè)M（x，y）為飛行曲線上的任意一點(diǎn)，它對應(yīng)時(shí)刻t炸彈初速度v0=150 ms，用物理學(xué)知識，分別計(jì)算水平、豎直方向上的路程，得， 即 這是炸彈飛行曲線的參數(shù)方程 （2）炸彈飛行到地面目標(biāo)B處的時(shí)間t0滿足方程y=0， 即，解得 由此得 即飛機(jī)在

12、離目標(biāo)1643m（水平距離）處投彈才能擊中目標(biāo)類型二、參數(shù)方程與普通方程互化例2把下列參數(shù)方程化為普通方程（1） (2) (，為參數(shù))； （3）(,為參數(shù))； 【思路點(diǎn)撥】 （1）利用三角恒等式進(jìn)行消參；（2）將第二個式子變形后，把第一個式子代入消參；（3）觀察式子的結(jié)構(gòu)，注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法；或把用表示，反解出后再代入另一表達(dá)式即可消參；【答案】（1），即x2+y2=9（0x3，0y3）。（2），把代入得又,所求方程為(,)(3)法一：,又，,所求方程為(,).法二：由得,代入得,(,).【總結(jié)升華】（1）消參的方法主要有代入消參，加減消參，比值消參，平

13、方消參，利用恒等式消參等。（2）消參過程中應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出、的范圍.在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法.舉一反三：【高清課堂：曲線的參數(shù)方程406450例題1】【變式1】將下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明曲線類型（1）；（2）； （3）【答案】 （1）t2，2x2，2y0x2+y2=4（2x2，2y0），即下半圓（2） (x3)2+(y2)2=152cos2+152sin2=152，(x3)2+(y2)2=225， 它是以（3，2）為圓心，以15為半徑的圓 （3）， ， 它是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓【變式2】將參數(shù)

14、方程(a為參數(shù))化成普通方程為( )A2xy10 Bx2y10C2xy10(3x1)Dx2y10(1y1)【答案】D.將y代入x=21，得普通方程x2y10，又因?yàn)?1，所以有1y1，故選D【變式3】化下列參數(shù)方程為普通方程。（1）(t為參數(shù)) ；（2）（t為參數(shù)）.【答案】（1）由得，代入化簡得.,.故所求方程為（，）（2）兩個式子相除得，代入得，即.，故所求方程為().【變式4】曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（ ）A B C D 【答案】B 當(dāng)時(shí)，而，即，得與軸的交點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，而，即，得與軸的交點(diǎn)為類型三、圓錐曲線的參數(shù)方程例3. （2016 閔行區(qū)模擬）若以x軸正方向?yàn)槭歼?，曲線上的點(diǎn)與

15、圓心的連線為終邊的角為參數(shù)，則圓x2+y2-2x=0的參數(shù)方程為 ?！舅悸伏c(diǎn)撥】將圓的方程配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用平方和公式cos2+sin2=1進(jìn)行三角代換轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程?！窘馕觥颗浞降脠A的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-1）2+y2=1，令x-1=cos，y=sin，得圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.【總結(jié)升華】圓與橢圓的普通方程轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的參數(shù)方程一般都是利用cos2+sin2=1進(jìn)行三角代換。舉一反三：【變式1】 已知圓的方程為x2+y2=2x，寫出它的參數(shù)方程 【答案】 x2+y2=2x的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+y2=1， 設(shè)x1=cos，y=sin， 則（02），（為參數(shù)） 即為所求的參數(shù)方程 【變

16、式2】已知橢圓的方程為，將它表示為橢圓的參數(shù)方程形式?！敬鸢浮孔冃蔚?，令， 得橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.【變式3】已知橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求出此橢圓的長軸長，短軸長，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率和準(zhǔn)線方程.【答案】把消去參數(shù)得,得. ,.即：橢圓的長軸長為26，短軸長為10，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-12)和(0,12)，離心率為，準(zhǔn)線方程為：和.【變式4】若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上，則等于（ ）A B C D 【答案】C 拋物線為，準(zhǔn)線為，為到準(zhǔn)線的距離，即為【變式4】圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_?！敬鸢浮俊?由 得，故半徑為5.類型四、曲線參數(shù)方程的應(yīng)用例4. 已知實(shí)數(shù)x, y滿足,求:（1）x

17、2+y2的最大值；（2）x+y的最小值.【思路點(diǎn)撥】充分利用圓的參數(shù)方程【解析】原方程配方得，表示以為圓心，2為半徑的圓.用參數(shù)方程表示為: （為參數(shù)，02）.（1）當(dāng)，即時(shí)，(x2+y2)max=16.（2）當(dāng)， 即時(shí)，.【總結(jié)升華】利用圓的參數(shù)方程求最值，一般來說都是先把所求的量表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性或者函數(shù)的性質(zhì)求最值。舉一反三：【變式1】已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）設(shè)圓的參數(shù)方程為，（2）【變式2】 如圖，設(shè)矩形ABCD的頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)A在圓x2+y2=9（x0，y0）上移動，且AB、AD兩

18、邊分別平行于x軸、y軸求矩形ABCD面積的最小值及對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】設(shè)A（3cos，3sin）（090°），則|AB|=43sin，S=|AB|·|AD|=(43cos)(43sin)=1612(cos+sin)+9cossin令t=cos+sin（），則2cossin=t21，時(shí)，矩形ABCD的面積S取得最小值此時(shí)，解得對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為或【變式3】圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有_個.【答案】已知圓方程為，設(shè)其參數(shù)方程為（）則圓上的點(diǎn)到直線的距離為，即，或又，從而滿足要求的點(diǎn)一共有三個.例5（2016 湖南二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極

19、坐標(biāo)系已知曲線C1： （t為參數(shù)），C2：（為參數(shù)）（）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（）若C1上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t=，Q為C2上的動點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：（cos2sin）=7距離的最小值【解析】（）曲線C1： （t為參數(shù)），化為（x+4）2+（y3）2=1，C1為圓心是（4，3），半徑是1的圓C2：（為參數(shù)），化為C2為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓（）當(dāng)t=時(shí)，P（4，4），Q（8cos，3sin），故M，直線C3：（cos2sin）=7化為x2y=7，M到C3的距離d=|5sin（+）+13|，從而當(dāng)cossin=，sin=時(shí)，d取得最小值舉一反三：【變式1】（2016 衡水校級一模）已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（為參數(shù)）（1）化C1，C2的方程為