[論文]分形幾何論文分形論文

1、分形兒何論文分形論文古琴音樂中的分形幾何內(nèi)容摘要：傳統(tǒng)的音樂研究，特別是民族音樂研究，絕大部分都側(cè)重 于音樂的藝術(shù)性角度（音樂的社會屬性），鮮見有從音樂的科學(xué)性角 度（音樂的自然屬性）進行研究的。但是，近年來隨著科學(xué)技術(shù)的快 速發(fā)展，這一狀況正在逐步得到改觀。本文使用分形幾何的方法,對 占琴音樂作品進行了分析研究，證明了古琴音樂的旋律是分形的，并 且對古琴音樂作品與西方古典音樂作品的異同進行了初步的比較分 析，揭示出不同時空、不同歷史文化背景下音樂的共同特征一一分形 性。關(guān)鍵詞：古琴音樂 分形幾何 音樂研究 方法 科學(xué) 分形 音樂一、引言在我國傳統(tǒng)音樂中，古琴是最古老的弦樂器之0樂記有“昔 者

2、舜作五弦之琴，以歌南風(fēng)”之說。清代著名琴家徐祺在五知齋琴 譜中寫道：“昔者伏曦之王天下也。仰觀俯察，感榮河出圖，以畫 八卦，聽八風(fēng)以制音律，采峰山孤桐，合陰備陽，造為雅氐 名之曰 琴?！绷硗庖灿腥苏f古琴是神農(nóng)或堯帝等創(chuàng)制的。這些雖出自傳說， 無文字記載或?qū)崜?jù)可考，但在安陽殷墟墓葬中出土的文物中有兩件像 琴的石器，且甲骨文中把音樂的樂字記為“”，這是以絲弦張附在 木器上的象形，由此說明在殷商時代（即甲骨文產(chǎn)生之際）就已有了 琴這類樂器，大概是可信的1。由此亦可推知古琴應(yīng)產(chǎn)生于殷商 之際甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。對于這樣件產(chǎn)生于史前，而且?guī)缀跬暾蛔兊亓鱾髦两竦臉?器，不僅在中國，即便

3、是在全世界范圍也難以再找到第二個！因此， 對古琴尤其是古琴音樂進行詳細的考察與研究，不僅能夠揭示我國古 代音樂的發(fā)展變化情況，而且亦可從中透視出我國古代社會政治、經(jīng) 濟和科技的發(fā)展與變化2 3 4。對音樂進行研究，當(dāng)今占據(jù)主導(dǎo)地位的有三種方法，即歷史的方 法、分析的方法和比較的方法5。這三種方法在音樂研究中已經(jīng)取 得了輝煌的成就，而且仍還有著非常廣闊的前景。但是，它們各自的 研究范圍都比較狹小，或某-作品，或某一人某派的作品，或某一 時期的作品，或某-地域（或西方或東方或非洲或拉美）的作品，而不 能從整體上研究范圍更廣的音樂現(xiàn)象。眾所周知，無論古今，不分地 域，任何地方只耍有人，就會有音樂，這

4、就說明音樂必定有著某種屬 性，它是一種與時空無關(guān)的非民族性的屬性，即音樂的自然屬性?？?這種自然屬性究竟是什么呢？怎樣才能將它表示出來呢？我們認為， 分形幾何為這- 問題的解答提供了一種可能6 7 o二、分形幾何與音樂分形兒何8的概念是由曼得勃羅在上世紀(jì)60年代末提出來的。 它的主要思想是說，在不規(guī)則現(xiàn)象表面所呈現(xiàn)的雜亂無章的背后仍存 在著規(guī)律，這個規(guī)律就是在放大過程中呈現(xiàn)出的自相似性。在自然界屮，分形現(xiàn)象普遍存在，俯拾即得。女h微觀世界屮晶 體的生長，相變過程和化學(xué)反應(yīng)等；宇觀世界中太陽黑子的活動和星 際空間物質(zhì)的分布等；宏觀世界中河流的走向，樹枝的分叉以及地震 震級的分布等；就連我們?nèi)梭w血

5、液循環(huán)系統(tǒng)中血管的分支和腦電波分 布都是分形的。也就是說，口然界似乎存在著“分形者生存”這一規(guī) 律。既然我們賴以生存的這個世界到處都充滿著分形，既然我們的血 管分支和腦電波都是分形的，因而想必在我們的潛意識中（或者是本 能地）對分形現(xiàn)象定會有著某種默契或產(chǎn)生共鳴，或者說我們?nèi)艘财?愛分形，止是這種偏愛形成了音樂創(chuàng)作與欣賞在主體心理與對象間的 鎖定。沃斯和科拉克6等人首先從實驗上證明了這點，他們發(fā)現(xiàn) 優(yōu)美動聽的音樂的音量是分形的，后來許氏父子（許靖華和安得 魯許）7又從理論上證明了古典咅樂中旋律的進行也是分形的。三、古琴音樂中的分形幾何為了研究咅樂的分形幾何，首先必須把它加以量化，因此撇開音 樂

6、的社會學(xué)定義不講，現(xiàn)在我們從數(shù)學(xué)上給它下個定義：音樂是具 有不同音高（頻率）的音的一種有序排列。既然如此，那么這種有序 的數(shù)學(xué)表達是什么？隨意地敲擊琴鍵不會產(chǎn)半?yún)饦?，不同咅的有序?列組成了旋律，這種排列是分形的嗎？如果答案是肯定的話，那么在 一首音樂作品中兩相鄰咅之間的音程i與其出現(xiàn)的幾率f應(yīng)滿足 下述關(guān)系：f = c/id 或 logf二c' 一 dlogi即音程i的對數(shù)與其出現(xiàn)兒率f的對數(shù)之間存在線性關(guān)系，也 就是說以logf和logi為縱橫坐標(biāo)作圖，則各點均應(yīng)在同一直線 上。其中d為該作品的分形維數(shù)（分維），c為比例系數(shù)，c，= logco許氏父子通過分析發(fā)現(xiàn)8,對于巴赫和莫扎

7、特等古典音樂大師 的作品，上述分形關(guān)系式均可確立，但對于現(xiàn)代無調(diào)性音樂作品，則 無此種關(guān)系。為了對我國古代咅樂進行深入的理解與研究，為了對東 西方音樂的異同進行比較，下面我們也將使用這一方案對我國古琴音 樂進行分析。首先選取古逸叢書中管平湖打譜的幽蘭9進行分析。 對該曲中音程i及其岀現(xiàn)幾率的統(tǒng)計結(jié)果如下表：將咅程i及其岀現(xiàn)概率f分別取對數(shù)對應(yīng)作圖可以看到（圖1a）,在區(qū)間2wiwll,存在分形關(guān)系：f = 3. 80/i3. 15圖中與分形關(guān)系有較為顯著偏離的是1=7 （純五度）和i=10 （小 七度）的過量。其實對于這種偏離也是不難理解的，根據(jù)和聲音程在 聽覺上所產(chǎn)生的印象，音程可以分為協(xié)和

8、咅程與不協(xié)和咅程兩類。兩 音的頻率具有較小整數(shù)比的音程叫協(xié)和音程，屬于這類的有極完全 協(xié)和音程的純一度（1： 1）和純八度（2： 1）以及完全協(xié)和音程的純 五度（3： 2）和純四度（4： 3）。所有這些咅程聽起來都很悅耳，因 而在優(yōu)美的樂曲中協(xié)和音程出現(xiàn)的幾率就較大，從而導(dǎo)致了對分形關(guān) 系的偏離。類似的，由于不協(xié)和音程（小二度i=l,減五度i二6和大 七度211等）在聽覺上給人的印象是比較刺耳，彼此很不融合，因 而作曲家在創(chuàng)作時總是有意識地少用，這也就導(dǎo)致了與分形關(guān)系的偏 離。圖1b是巴赫創(chuàng)意曲no. 1的旋律分形關(guān)系。人們曾評論說， 巴赫的作品有著數(shù)學(xué)般的精確，如果這種精確是指在其作品分形關(guān)

9、系 成立嚴(yán)格程度的話，那么把圖1a和圖1b相比較可以看出，古琴曲幽 蘭有著較巴赫創(chuàng)意曲no. 1更為精確的數(shù)學(xué)。幽蘭曲早創(chuàng) 意曲千年而作，況中國與德國乂相距萬里z遙，且乂分屬東西方兩 種不同的文化圈，何以二者都服從分形關(guān)系呢？難道這只是偶然的巧 合嗎？為了更深入地理解這一問題，我們對大量的古琴曲進行了統(tǒng) 計分析，結(jié)果表明，絕大多數(shù)的樂曲中均存在著分形關(guān)系。特別是陽 春和華胥引，它們有一個共同的特點是分形關(guān)系中的比例系數(shù)c=1 （即分形關(guān)系線延長與縱軸相交于0點），這與莫扎特的f大調(diào) 奏鳴曲及a大調(diào)奏鳴曲完全一樣。一般認為，莫扎特的這兩 首曲了有著圖畫般的絢麗，而古琴曲陽春和華胥引亦是咅畫 交融

10、美妙尢比。那么，這種對應(yīng)僅是種巧合呢還是有著尚未發(fā)現(xiàn)的更 深刻的原因？與西方古典音樂和比，古琴音樂有以下兒個特點。（1）同音重復(fù) 和八度音出現(xiàn)的比例較大。究其原因，固然是因為同音重復(fù)（i=o） 和八度咅（1=12）屬于極完全協(xié)和咅程，聽起來融合悅耳，但更主要 的原因是古琴音樂大多來源于以民歌為基礎(chǔ)的琴歌，而民歌屮同音重 復(fù)的比例極大，這是個帶有普遍性的規(guī)律，古今中外，概莫能外， 如在莫扎特的取材于民歌而創(chuàng)作的a大調(diào)奏鳴曲的笫-樂章中， 同音重復(fù)的比例亦高達27%o （2）幾乎沒有半音（i二1）和三整音（i=6）o 與西方咅樂不同，我國古代咅怎大多采用五聲調(diào)式或以五聲調(diào)式為基 礎(chǔ)的六聲調(diào)式與七聲

11、調(diào)式。在五聲調(diào)式中根本就沒有半音和三整音， 六聲調(diào)式中由于清角和變宮音的加入導(dǎo)致半音的出現(xiàn)，七聲調(diào)式中更 由于在五聲調(diào)式的小三度音程中加入了不同的“偏音”，從而導(dǎo)致除 半音外又出現(xiàn)了三整音，但鑒于半音和三整音聽起來比較刺耳，而且 演奏起來也不易把握，故血出現(xiàn)頻率較低。（3）小三度（i=3）的過 量和大三度（i二4）的不足。眾所周知，由于漢語語言的音韻特點對 音樂旋律的深刻影響，小三度在我國民族音階的發(fā)展過程中一直占有 重要的地位，即使今天，在我國民間勞動歌曲的呼號聲中，多數(shù)情況 下小三度也還占據(jù)主導(dǎo)地位，如京韻大鼓口語旋律在行腔時就呈現(xiàn)典 型的三度咅程特征。所以說，小三度的過量是很自然的。大三

12、度不足 的原因同樣來源于古琴曲的調(diào)式，如在五聲調(diào)式中，大三度只能存在 于宮音與角音之間，這樣在一首樂曲中，除非是有意地采用大三度音 程，否則它一定是不足的。（4）復(fù)音程（i>12）出現(xiàn)的比例較大。西方 古典音樂中復(fù)音程呈現(xiàn)的比例均在百分之一以內(nèi)，而在古琴音樂中復(fù) 音程呈現(xiàn)的比例則在百分之兒到百分之十兒不等。這種差別可能來自 于東西方人的心智模式（思維方式與思維習(xí)慣）的不同。國人般是 從整體上看待和把握事物，喜歡那種寬闊宏大的場面；而西方人通常 是從細微z處認識和掌握事物，他們喜歡那種細致、嚴(yán)格、有確定界 限的景觀。這種哲學(xué)上的認知斧別反映在音樂中便造成了上述差異。在分析中，我們還發(fā)現(xiàn)了一

13、個不存在分形關(guān)系的例子，這就是著 名的古曲流水。其實，出現(xiàn)這一現(xiàn)象也是不難理解的，為了模仿 水流的口然響聲，為了表現(xiàn)流水的從容緩進和跌宕起伏，亦即為了表 達流水的“洋洋乎”，曲作者過量地使用了小三度和純五度等音程， 從而使得其他音程顯得相對不足，無法與其相匹配。但琴曲流水 與西方現(xiàn)代無調(diào)性音樂（亦無分形關(guān)系存在）是不同的，在現(xiàn)代無調(diào) 性音樂作品中，廣音程特別是某些不協(xié)和音程（如減五度）出現(xiàn)的幾 率很大，甚至超過了狹音程，但在流水一曲中狹音程出現(xiàn)的幾率 仍是最大的。四、結(jié)論咅樂研究通常是從咅樂的社會性(即社會歷史與民族文化)角度 進行的。但是我們知道，音樂是-門藝術(shù)，也是-門科學(xué)。如何利用 現(xiàn)代

14、科學(xué)的成果進行音樂創(chuàng)作與音樂研究，是擺在音樂工作者面前的 一個新問題。本文利用分形幾何的特征與方法，證明了古琴音樂中的旋律是分 形的，并且對中外音樂作品的異同進行了初步的比較分析。是否可以 利用這種方法進行完整的音樂形態(tài)(如和聲與織體等)分析呢？是否 可以利用這種技術(shù)進行咅樂作品的改編呢？進一步的研究表明答案 是肯定的。參考文獻：1 許健琴史初編m北京:人民咅樂出版社，1982.2 章華英.古琴音樂與東方哲學(xué)j.中國音樂，1991 (3) 1.3 牛隴菲古琴與鋼琴j.星海音樂學(xué)院學(xué)報,2001 (4) 11.4 史弘手揮五弦心游太玄j中國音樂學(xué)，1995 (2) 52.5 楊燕迪實證主義及其衰落英美二次世界大戰(zhàn)后的音樂 學(xué)發(fā)展略述.j 中國音樂學(xué)，1990 (1) 99.6 voss, r. f. & clark, j. 1/f noise in