講義19：解斜三角形

1、教學(xué)內(nèi)容一、知識(shí)梳理1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即：擴(kuò)充的正弦定理：（其中是三角形外接圓的直徑）由正弦定理可知：在中，：=，這是正弦定理的另一種表達(dá)形式。2、余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即：在余弦定理中，令C=90°，這時(shí)，所以。由此可知余弦定理是勾股定理的推廣。由可得 3、解三角形常見的四種類型（1）已知兩角、與一邊,由A+B+C=180°及，可求出角，再求出、.（2）已知兩邊、與其夾角，由，求出，再由余弦定理，求出角、.（3）已知三邊、，由余弦定理可求出角、.（4）已知兩邊、及其

2、中一邊的對(duì)角，由正弦定理，求出另一邊的對(duì)角，由，求出，再由求出，而通過求時(shí)，可能出一解，兩解或無解的情況，其判斷方法，如下表：一解一解一解無解無解一解兩解無解無解一解無解二、例題分析例1 根據(jù)下列條件，解三角形ABC（1）已知，求C、A、；（2）已知，求A、C、；（3）已知，求C、A。例2 在ABC中，其周長為7.5cm，且：=4：5：6，則下列成立的個(gè)數(shù)是 （ ） ：5：6：A：B：C = 4：5：6A、0B、1C、2D、3例3 在中，求證：鞏固訓(xùn)練1、已知ABC中，sinAsinBsinCk(k1)2k (k0)，則k的取值范圍為 （ ）A(2，)B(-，0) C(，0)D(，)2、已知4

3、，6，則A_3、在ABC中，已知1，A30，則B_4、在中，求的值。5、在ABC中，若，求a，b，c。例4 在ABC中，234，則（ ）（A）； （B）； （C）； （D）例5若中，則 .例6 已知ABC的三邊分別是a、b、c，且面積，則_.例7 a，b，c為ABC的三邊，其面積，bc48，b-c2，求a鞏固訓(xùn)練1、在ABC中，已知a7，b8，則最大角的余弦值是_2、在ABC中，若，且，則BC_3、已知3，則A_ 4、中，若，則的面積 5、若ABC中，C60°，ab1，則面積S的取值范圍是_ 6、已知三角形的三條邊之比為357，且最大邊長為14，則三角形的面積為_7、中，求的面積。例

4、7在三角形ABC中，若，則此三角形必是（）A等腰三角形B正三角形C直角三角形D等腰直角三角形例8 在ABC中，若+，判斷三角形形狀鞏固訓(xùn)練1、 在ABC中，則三角形的形狀為_2、在銳角ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_3、ABC中若有，則ABC的形狀一定是（ ）(A) 等腰三角形； (B) 直角三角形； (C) 銳角三角形； (D) 等腰直角三角形4、若的兩內(nèi)角、滿足，則一定為 （ ）（A）正三角形； （B）直角三角形；（C）銳角三角形； （D）鈍角三角形5、在ABC中，已知，且，試確定ABC的形狀。6、在中，=.試用正弦定理證明：是等邊三角形.例9 在ABC中，已知，如果利

5、用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是（ ） A、B、C、D、鞏固練習(xí)1、在ABC中，A、B、C三個(gè)角的對(duì)邊分別為、，若，則符合題意的的值有（ ）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、0個(gè)2、在ABC中，A60，7，8，則三角形 （ ）（A）有一解； （B）有兩解； （C）無解； （D）不確定3、在ABC中，已知2，2，如果三角形有解，則A的取值范圍_例10在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，且，（1）求的值； （2）若，求的最大值。例11在ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且滿足(2b-c)cosA=acosC。（1）求A的大小；（2）若a=2，求ABC的面積的最大值，并指出此時(shí)A

6、BC的形狀。鞏固練習(xí)1、在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，ABC的面積為（1）求角C的大??； （2）若a=2，求邊長c2、在ABC中，、分別是角A、B、C所對(duì)的邊，且 （1）求角C的大小； （2）若，試求的值。例7在碼頭南偏東的400公里處，有一臺(tái)風(fēng)中心，已知臺(tái)風(fēng)以40公里/小時(shí)的速度向正北方向移動(dòng)，凡距臺(tái)風(fēng)中心350公里以內(nèi)的地方都受臺(tái)風(fēng)的影響，問從現(xiàn)在起多少時(shí)間碼頭將受臺(tái)風(fēng)影響？受影響時(shí)間多長？ 鞏固練習(xí)1、如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問

7、乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？北ABC201030 2、如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為。已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘。若此人的步行速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長（精確到1米）三、總結(jié)與反思四、課后作業(yè)1、已知ABC中，abc12，則ABC等于 （ A ）A123B231C132D3122、在ABC中，則等于（ ） A、B、C、或D、以上都不對(duì)3、滿足條件的ABC的個(gè)數(shù)是（ ） A、一個(gè)B、兩個(gè)C、無數(shù)個(gè)D、不存在4、在中，則A等于 （ ）5、在ABC中，1，B3

8、0，則ABC的面積是 （ ）（A）； （B）； （C）或； （D）或6、在ABC中，已知，則 7、已知三角形的三邊之比為34，則最大內(nèi)角為_8、在ABC中，則 9、在ABC中，若sinB=sinAcosC，則ABC的形狀是_三角形。10、在三角形ABC中，若此三角形有兩解，則b的取值范圍 11、如圖，一艘船上午8：00在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距mile，此船的航速是 n mile/h。12、在ABC中，求，13、已知是ABC中A、B、C的對(duì)邊，且，求邊c的長度。14、在ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，（1）求sinB的值；（2）若b=4，且a=c，求ABC的面積。15、如圖所示，某山上原有一條筆直的山路B