單臺(tái)批處理機(jī)總加權(quán)完成時(shí)間最小化的啟發(fā)式算法

1、第21卷第11期控制與決策2(X)6 年 11 月Vol. 21 No. 11Contr ol an(1 De cis ionNov. 2(X)6第21卷第11期控制與決策2(X)6 年 11 月第21卷第11期控制與決策2(X)6 年 11 月文章編號(hào)：1001-0920(2(X)6) 11-12934)5單臺(tái)批處理機(jī)總加權(quán)完成時(shí)間最小化的啟發(fā)式算法馮大光以，唐立新I(1東北大學(xué)物流優(yōu)化與控制研究所，沈陽1 10(X>4； 2.沈陽農(nóng)業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)部，沈陽1 10161)摘 要：批處理機(jī)總加權(quán)完成時(shí)間最小化問題的復(fù)雜性目前還沒有確定，因此有必要研究該問題的啟發(fā)式算法.基 于對(duì)該問題最優(yōu)解性

2、質(zhì)的分析，提出了工件分批的最優(yōu)性質(zhì).分別基于WSPT規(guī)則和SPT規(guī)則對(duì)工件進(jìn)行總排序, 利用工件最優(yōu)分批性質(zhì)進(jìn)行分批，提出了兩種啟發(fā)式算法(簡(jiǎn)稱為WSHS和SETS).為了檢驗(yàn)算法的性能，將提出的 算法與此問題的基準(zhǔn)算法和常規(guī)算法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，啟發(fā)式算法WSHS要優(yōu)于其他的算法，而SHS算法 的性能最優(yōu).關(guān)鍵詞：批處理機(jī)；WSPT規(guī)則；SPT規(guī)則；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；啟發(fā)式算法中圖分類號(hào)：TP278文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：AHeuristic Algorithms for Single Batching Machine with Total Weighted Completion TimeFEN G Da-

3、guang1'TA NG Lixin(1 The Log is tics Institute, Nort heastern University, Shenyang 110004. C bin a; 2. Department of Basic Science, Shenyang Agri(ultual U Diversity5 Shenyang 110161, China Correspondent: T AN (； Li-xin. E -mail: qhjy tlx ©mail. neu. edu. on)Abstract: The problem of n jobs t

4、o be processed on single batching machine w ith a capacity to minimize the tot al weighted completion t inie is discussed An ana lysis and pro of are gi ven f o r the quality of optimal solutio n under some condition, based on w hich two heuristic algorithms are carried out, selecting jobs ordered b

5、y WSPT rule ( Vi SPT S) and selecting jobs ordered by SPT rule (SETS) To compare the proposed algorithms, heuristic dynamic programming based on WSPT and SPT respectively is carried out, and so does fu 11 batch algorithm. The experiment resuIt shows t hat the heuristic WSPTS is the best one and the

6、SPTS is the most stable one among all the algorithms. Key words： Batching machine； WSPT ru le； SPT rule； Dynamic program ming； Hair is tic algorithm第21卷第11期控制與決策2(X)6 年 11 月第21卷第11期控制與決策2(X)6 年 11 月收稿日期：2005-09-07;修回日期：20()6-01-12.基金項(xiàng)目：國(guó)家杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目(70425(X)3);國(guó)家口然科學(xué)皐金項(xiàng)目(70171030 , 60274049);高等學(xué)校優(yōu)秀青年

7、教師教學(xué)科研獎(jiǎng)勵(lì)計(jì)劃項(xiàng)目(教育司2(X)2J383).作者簡(jiǎn)介：馮大光(1972)，男，遼寧錦州人，講師，博士生，從事基于VLSN的智能優(yōu)化算法和生產(chǎn)物流調(diào)度的研究；© 1994-20働宅稀催腰訪歸佝心霰帶c喇昴聊屛離蘆幽綃歸1鴿蔗鶴巍檯與傘簫稱履v. cnki.nct1引 s在實(shí)際生產(chǎn)過程中有的機(jī)器可以同時(shí)加工多個(gè) 工件(如大規(guī)模集成電路生產(chǎn)中最后的檢驗(yàn)階 段E),將單臺(tái)機(jī)器可以同時(shí)加工多個(gè)工件的排序問 題，稱為批處理機(jī)調(diào)度問題.許多其他生產(chǎn)過程，如 電鍍、鋼鐵生產(chǎn)過程中的加熱爐等都存在批處理機(jī) 調(diào)度問題，因而具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義. Potts等人對(duì)批處理機(jī)的調(diào)度問題做了綜

8、述. French131的WSPT規(guī)則被應(yīng)用于批的調(diào)度問題，提 岀了 BWSPT規(guī)則Y Liu等對(duì)能力無限的批處理 機(jī)問題進(jìn)行了研究.Cheng'61等對(duì)于工件具有優(yōu)先 權(quán)和到達(dá)期約束的批處理機(jī)調(diào)度問題進(jìn)行了研究. Zhang171等給出了工件動(dòng)態(tài)到達(dá)批處理機(jī)的 m akespan最小化的在線算法.L i'8'等對(duì)工件具有釋 放IN間和尺寸的批處理機(jī)的makespan最小化問題 進(jìn)行了研究.本文對(duì)單臺(tái)批處理機(jī)總加權(quán)完成時(shí)間最小化問 題部分工件的分批性質(zhì)進(jìn)行了研究，提出了啟發(fā)式第21卷第11期控制與決策2(X)6 年 11 月第11期馮大光等：?jiǎn)闻_(tái)批處理機(jī)總加權(quán)完成時(shí)間最

9、小化的啟發(fā)式算法1297定排在Electronic Publi睜舛 House. All rights reserved.算法,并通過數(shù)字實(shí)驗(yàn)與常規(guī)算法進(jìn)行了對(duì)比.2模 型單臺(tái)批處理機(jī)調(diào)度問題的模型為:“個(gè)工件要 在一臺(tái)能力為B批處理機(jī)上進(jìn)行加工，每個(gè)工件在 開始時(shí)刻就可以進(jìn)行加工,加工時(shí)間和權(quán)值分別為 P，和，.批處理機(jī)每次至多可以加工B個(gè)工件，稱B 為批處理機(jī)的能力，這些工件可以分成廠個(gè)批，記為 小，2 ,，叢,批的加工時(shí)間和權(quán)值分別記為(閔 和 w(Bt)9i= 1, 2, , r.第j 批的加工時(shí)間p (Bi)= 憎x",并且權(quán)值為iv(Bi)=刀仙,所含有的丁 j疋件數(shù)記為

10、I.由于同一批的工尿同時(shí)加工，所以 同一批的工件具有相同的完成時(shí)間.單臺(tái)批處理機(jī) 調(diào)度問題包括如何把工件分批和確定批的加工順 序，從而優(yōu)化某個(gè)目標(biāo)函數(shù).本文所研究的單臺(tái)批處理機(jī)調(diào)度問題的目標(biāo)函 n數(shù)為所有工件的加權(quán)完成時(shí)間最小化刀其中 1=1Ci為工件，的完成時(shí)間，也可以表示成 刀垃(5) Ep(BJ,即刀 52w/.j = 1/= iy = i ie.h, >= i3 最優(yōu)解的一些性質(zhì)；為了更加詳盡地研究能力有限的單臺(tái)批處理 機(jī)的調(diào)度問題，下而介紹一些定義.對(duì)于批5,如 果它所含有的工件的個(gè)數(shù)等于機(jī)器的容量，即 | 8, = ，則稱該批為滿批;否則，稱為非滿批在批 的排序中,如果存在兩

11、個(gè)批5和從，批5在批Bk的 前面，且p (D) > p(B° ,則稱批從相對(duì)于批B,是 滯后的.下而給出目標(biāo)函數(shù)是總加權(quán)完成時(shí)間最小 化的調(diào)度問題的一些性質(zhì).對(duì)于給定批的工件的總加權(quán)完成時(shí)間最小化問 題,WSPT規(guī)則給出了最優(yōu)的批的排序.性質(zhì)1( BWSPT規(guī)則)厲 對(duì)于給定的批b,(i =1,2, “)，加工時(shí)間和權(quán)值分別為p(B)和 w(B»,則批按卩(/w (B»的非減次序排歹ij,可以 得到給定批的總加權(quán)完成時(shí)間最小化的最優(yōu)次序.性質(zhì)2在最優(yōu)的批調(diào)度中，如果有兩個(gè)工件, 和丿的加工時(shí)間相同，汕勺權(quán)值小于丿的權(quán)值,且工件 i在第A-批也中，則工件j或者

12、在批Bk中或者在也 前面的批中.引理1在一個(gè)最優(yōu)的批的調(diào)度中不能存在相 對(duì)于不滿批的滯后批.由引理1,可以得到下而的結(jié)論：引理2 在一個(gè)最優(yōu)的批調(diào)度中，如果加工時(shí) 間最大的工件所在的批是非滿批，則該批 最1994-2010 China Academic Journal引理3在一個(gè)最優(yōu)的批的調(diào)度中如果存在不 滿批，則該批后的任意一個(gè)批中的工件的加工時(shí)間 都大于該批的加工時(shí)間.定理1當(dāng)批處理機(jī)的容量為B時(shí),按SPT規(guī) 則排序后的工件為1,2,，“，如果滿足/i- 1(工w 1 / 52 wKpi- 1,對(duì)一切2 W i W B都成立，則工 /= 1 /= 1件1,2,3作為一批是最優(yōu)的，即總加權(quán)完

13、成時(shí)間 最小.定理2 當(dāng)批處理機(jī)的容量為B時(shí),對(duì)于按任 意次序排列的工件1,2,B,如果噪pm < /i- 1(仃右"')I舄童衣|(pm»對(duì)_切2 W i W B都成 立，則工件1, 2,，B作為一批是最優(yōu)的，即總加權(quán) 完成時(shí)間最小.4啟發(fā)式算法由于1| B f wiCi的NP性到目前為止沒有確 1= 1定,因而研究其啟發(fā)式算法是十分有意義的.首先，根據(jù)工業(yè)生產(chǎn)中常采用的方法給出滿批 算法.算法1 SPT滿批算法(SPTFB算法)： Stepl:把工件按加工時(shí)間的非減次序編號(hào)，對(duì) 于加工時(shí)間相同的工件按權(quán)值的非增順序編號(hào).Step2:把編號(hào)從(i- 1) +

14、 1 到 miniB (i =1,尙)的工件放入同一批中;Step3:把生成的批按BWSPT次序在機(jī)器上加 工.把算法1中的工件按wsrr規(guī)則排序,其他分 批方法相同則得到：算法2 WSPT滿批算法(WSPTFB算法).滿 批算法的時(shí)間復(fù)雜性為()(町.利用定理2,得到下面的選擇分批算法.介紹幾 個(gè)定義：當(dāng)前工件序列：按某個(gè)規(guī)則排列的去掉已經(jīng)分 完批的工件的集合；當(dāng)前批:當(dāng)前正在添加工件的批；當(dāng)前工件(cjob):當(dāng)前正被分批的工件； p(B)：表示當(dāng)前批的加工時(shí)間； w(By.表示當(dāng)前批的權(quán)值； p (Cjo 1>):表示當(dāng)前工件的加工時(shí)間； 叭cjob):表示當(dāng)前工件的權(quán)值.算法3

15、WSPT選擇分批算法(WSPTS):Stepl:工件按WSPT規(guī)則排序,得到當(dāng)前工件SteP2:開始新的一批，即當(dāng)前批，把當(dāng)前工件 序列中的第一個(gè)工件作為當(dāng)前批的第一個(gè)工件，在 當(dāng)前工件序列中去掉該工件,p(B) = p(cjol), w(B) = w (cjob).Step3:把當(dāng)前工件序列中加工時(shí)間小于當(dāng)前 批加工時(shí)間且權(quán)值最大的工件稱為當(dāng)前工件,放入 當(dāng)前批，加()= w(cjob)+叭“)，在當(dāng)前工件序列 中去掉該工件.如果還存在這樣的工件，繼續(xù)放入當(dāng) 前批，權(quán)值相應(yīng)的變化,并在當(dāng)前工件序列中去掉相 應(yīng)的工件，如果構(gòu)成滿批，轉(zhuǎn)Step2;如果不存在這 樣的工件，轉(zhuǎn)SteP4;如果所有工

16、件分完批，轉(zhuǎn) Step5.Step4:如果所有的工件都分完批，轉(zhuǎn)Step5.把 當(dāng)前工件序列中的第一個(gè)工件作為當(dāng)前工件，如果 p (cjob) < (w (B) + w(cjob)/w(B) Xp(B),把 該工件放入當(dāng)前批,如果直至最后一個(gè)工件都不滿 足該式子，轉(zhuǎn)SteP2;如果構(gòu)成滿批轉(zhuǎn)Step2;如果沒 有構(gòu)成滿批轉(zhuǎn)Step3.Step5:把分好批的工件按BWSPT規(guī)則進(jìn)行加 工.當(dāng)工件按SPT順序排列時(shí)，只需要考慮工件的 權(quán)值和加工時(shí)間是否滿足定理1即可，從而得到：算法4 SPT選擇分批算法(SPTS),算法的具 體步驟略去.定理3 選擇分批算法的計(jì)算復(fù)雜度介于 0(n)和0(鞏

17、1 -才)之間.證明 假設(shè)幾個(gè)工件為1,2, ,，機(jī)器的處理 能力為B,K為不大于的最大正整數(shù).1)選擇分批算法的最差情況為所有的工件在 任何情況下都不滿足判定條件，具體分析如下： 選擇工件1開始新的一批，工件2, 3,丿都 不滿足條件，共判斷了 n - 1次，工件1自己作為一 批； 選擇工件i開始新的一批，工件i+ l,i+ 2, 山都不滿足條件，共判斷了“ - i次，工件，自己 作為一批(心 2, 3, ,n - 1); 工件/I自己作為一批，判斷()次；從而總的判斷次數(shù)為所以最差情況的計(jì)算復(fù)雜性為(Hn2).2)選擇分批算法的最好情況是所有的工件恰 好按照其排列順序滿足需要判斷的條件，具

18、體分析 如下： 選擇工件1開始新的_批，工件2,3,，B都為一批； 選擇工件汩+ 1開始新的一批,工件iB +2, ，(：+ 1) B都滿足條件，共判斷T B- 1次，工件1,沾 + 2,，(：+ 1) 作為- -Jtt( i = 2,3, ，K - 1); 選擇工件KB十1(如果存在)開始新的一 批，工件KB + 2,“都滿足條件，共判斷了 n - (KB + 1)次.從而總的判斷次數(shù)為:“能被整除時(shí)，有K(B - 1) = n -看1 一 *);n不能被整除時(shí)，有K(B - 1) + n - (KB + 1)=叫 1 - *)- 1. 從而最好情況的計(jì)算復(fù)雜性為0(n( 1- 土).綜上

19、可得定理成立.用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法解決總加權(quán)完成時(shí)間最小化問 題時(shí),仿照Bruck er19|的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法,工件按 WSPT規(guī)則排序，得到如下的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法 (WSPTHD)，迭代方程為Gn+ k - 0, J) n+ k = 0, IV n+ k = 0；k = 1, 2,，B;nGj = rnin 川 Gz 1 + max pm £ whj = 1,2,me即為最優(yōu)解.5 實(shí)驗(yàn)研究產(chǎn)生測(cè)試問題時(shí)，按照U zso y1引產(chǎn)生測(cè)試問題 的方法，權(quán)值和加工時(shí)間分別在1, 10和1, 20 10, 20上服從均勻分布，隨機(jī)產(chǎn)生，工件數(shù)為10, 20,-,100,每種情況產(chǎn)生1()個(gè)例子，機(jī)器

20、的能力為 3和5,-共產(chǎn)生1 8(X)個(gè)測(cè)試問題.算法的程序用C 語言編寫，在 AMD Athlon ( tm) XP 3(XX) + , 2. 16GHz DDR256M的機(jī)器上運(yùn)行.各種算法的歸 -化實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1、表2所示，其中SPT FB表示基 于SPT規(guī)則的滿批算法;WSPTFB表示基于WSPT 規(guī)則的滿批算法;SPTHD表示基于SPT規(guī)則的動(dòng) 態(tài)規(guī)劃算法;WSPTHD表示基于WSPT規(guī)則的動(dòng) 態(tài)規(guī)劃算法;SPTS表示基于SPT規(guī)則的選擇分批 算法;WSPTS表示基于WSPT規(guī)則的選擇分批算 法.本文把Bruck er'91的算法SPT HD作為基準(zhǔn)算法.滿建艸刪I料甲門峽

21、止怦哥玄黔網(wǎng)痹瀘ubli塞癩擁婆卿擁蓉幅 法P快劉學(xué)的密度t從表1可以看到,對(duì)于滿批算法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃算 法而言，工件按SPT規(guī)則排序顯然要優(yōu)于工件按 W SPT規(guī)則排序;對(duì)于選擇分批算法工件按WSPT 規(guī)則排序要明顯強(qiáng)于工件按SPT規(guī)則排序,并且選來看基于SPT規(guī)則的算法要比基于WSPT規(guī)則的 算法穩(wěn)定，雖然從平均值來看，WSPTS算法優(yōu)于 SPTS算法，但SPTS的穩(wěn)定性要明顯超過WSPTS 算法,并且它是所有這些算法中性能最穩(wěn)定的.工件數(shù)雖SPTHI)WSPTIIDSPTI BWSPT EBSPTSWSPTS101.048 31.021 21.070 71.066 41.051 51.029

22、 2201.047 61.057 31.045 81.074 41.038 81.0186301.064 11.069 91.043 61.088 81.043 21.009 7401.067 11.085 51.043 11.097 31.040 91.008 5501.079 81.096 11.044 21. 108 11.043 01.004 2601.072 11.098 51.036 51. 110 61.035 81.004 6/?= 3701.075 51. 104 71.037 21. 116 11.036 31.003 5801.081 61. 108 81.038 61.

23、 121 11.038 31.003 3901.076 81. 111 41.032 61. 123 91.031 51.004 21001.077 71. 111 01.029 61. 121 31.028 91.003 1平均值1.069 11.086 41.042 21. 102 81.038 81.008 9標(biāo)準(zhǔn)差0. 000 10. 00() 80. 000 10. 000 40. 000 00. 000 1改進(jìn)率- 1.730 02. 690 0- 3. 370 03. 030 06. 020 0101.027 11.034 41.072 01. 111 81.044 41.047

24、 3201.028 61.045 11.034 01.083 21.028 01.033 0301.037 81.069 81.030 61.094 01.037 41.028 5401.050 61.084 51.040 11. 101 21.041 01.011 2501.060 91. 10041.046 01. 116 81.041 61.005 6601.075 11. 11421.050 21. 133 51.052 11.006 2/?= 5701.083 01. 130 11.054 01. 141 61.053 11.004 2801.090 31. 136 21.056 3

25、1. 148 51.051 61.004 2901.087 71. 144 71.050 71. 156 51.047 21.002 51001.094 31. 145 31.050 91. 156 61.048 51.003 2平均值1.063 51. 100 51.048 51. 124 41.044 51.0146標(biāo)準(zhǔn)差0. 000 60. 001 50. 000 10. 00() 60. 000 10. 000 2改進(jìn)率- 3. 700 01.500 0- 6. 090 01.900 04. 890 0表1目標(biāo)函數(shù)值作為工件數(shù)的函數(shù)的平均歸一化對(duì)比結(jié)果加工時(shí)間范圉權(quán)值范圍SPTHI)W

26、SPTHI)SPTFBWSPT EBSPTSWSPTS1, 10|1, 101.048 71.028 21.070 21.071 51.053 01.027 51，20|1.057 31.063 61.048 11.082 71.042 41.016710, 201.059 61.072 21.040 61.089 81.037 61.01071，20|1, 101.068 21.092 91.041 01. 104 41.040 91.006 1/?= 31，20|1.078 81.097 31.040 51. 110 41.038 71.004 210, 201.067 51. 103 7

27、1.034 91. 114 81.034 51.004 910. 201, 101.082 31. 103 61.040 2L 114 51.040 01.002 61，20|1.086 61. 108 71.037 41. 120 51.036 41.003 710, 201.072 61. 107 71.026 7L 116 71.026 11.003 51, 10|1, 101.028 31.037 21.069 41. ill 71.045 51.048 11，20|1.028 61.053 81.032 21.089 91.029 91.029 210, 201.041 61.075

28、 01.034 41.095 21.037 81.022 41，20|1, 101.051 21.093 91.041 01. 114 21.037 21.009 5/?= 51，20|1.070 01. 107 11.046 71. 124 91.048 61.006 210, 201.073 91. 125 71.050 91. 140 31.049 21.006 910. 201, 101.094 61. 130 71.061 11. 141 91.056 91.002 81，20|1.097 31. 140 01.054 51. 150 31.051 41.002 910, 201.0

29、86 21. 140 81.046 11. 151 01.043 91.003 3表2按工件參數(shù)的分布?xì)w一化目標(biāo)函數(shù)值© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 從表2可得結(jié)論：1)當(dāng)權(quán)值在1(), 2()內(nèi)產(chǎn)生 時(shí),不論加工時(shí)間在哪個(gè)范圍，基于SPT規(guī)則的選 擇算法是較優(yōu)的;基于SPT規(guī)則的滿批算法的性能 也較好;2)對(duì)于滿批算法而言,SPTFB算法要優(yōu)于 WSPTFB算法，這與前而的結(jié)論是一致的;3)在一 般情況下，基于WSPT規(guī)則的選擇算法WSPTS是

30、性能最強(qiáng)的.6結(jié) 語實(shí)驗(yàn)表明，根據(jù)最優(yōu)分批性質(zhì)提出的選擇分批 算法W S PT S是各種算法中最有效的，但該算法相 對(duì)基于SPT規(guī)則的選擇分批算法而言，穩(wěn)定性較 差.另外，選擇分批算法要優(yōu)于常規(guī)算法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果 還表明，工件的初始次序?qū)λ惴ǖ慕Y(jié)果是有影響的, 這提示未來的研究方向應(yīng)該把算法和鄰域搜索結(jié)合 起來，這是一個(gè)極有潛力的研究方向.參考文獻(xiàn)(References)1 Chandreu V, Lee C Y, U zsoy K- Minimizing Total Completion Tim eon Bat di Processing Machin es J hit J (f Product

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35、ogeveen H. et al. Scheduli ng a Batching MachinelJ1 - J (f Scheduling- 199& 1(1): 31-54第11期馮大光等：?jiǎn)闻_(tái)批處理機(jī)總加權(quán)完成時(shí)間最小化的啟發(fā)式算法#第11期馮大光等：?jiǎn)闻_(tái)批處理機(jī)總加權(quán)完成時(shí)間最小化的啟發(fā)式算法#(上接第1292頁)5結(jié) 語本文針對(duì)一類帶有未知慣性參數(shù)、未建模動(dòng)態(tài) 及外界干擾的非完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題, 基于滑?？刂扑枷爰胺峭暾\(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定策 略,給岀了該類系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定方法;并將其用于一 類不確定非完整移動(dòng)機(jī)械臂的魯棒鎮(zhèn)定分析，仿真 結(jié)果驗(yàn)證了所提出控制方法的正確有效性.參考文獻(xiàn)(References)1 Brockett B W A mptotic Stability and Feedback SIabiliz atiofi A . Differential Geometric Control T heoryl C. Boston: Birkhauser-. 1983: I 81 -191 2 Kom am