數(shù)學(xué)練習(xí)題抽象函數(shù)(含答案)

1、高考一輪專練抽象函數(shù)1. 已知函數(shù)y = f (x)(xR，x0)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，恒有f()=f()+f(),試判斷f(x)的奇偶性。2 已知定義在-2，2上的偶函數(shù)，f (x)在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，若f (1-m)<f (m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍3. 設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。4. 設(shè)函數(shù)對(duì)任意,都有, 已知，求,的值.5. 已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f（x+2）1f（x）=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。6. 設(shè)f（x）是定義R在上的函數(shù)，對(duì)任意x，yR，有 f（x+y）+f（x-y）=2f

2、（x）f（y）且f（0）0.（1）求證f（0）=1；（2）求證：y=f（x）為偶函數(shù).7. 已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為（2，6），試判斷（4，8）是y=f(2-x)的遞增區(qū)間還是遞減區(qū)間？8. 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意a，b，當(dāng)a+b0，都有0（1）若ab，試比較f（a）與f（b）的大小；（2）若f（k0對(duì)x1，1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。9.已知函數(shù)是定義在（-，3上的減函數(shù)，已知對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。10已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，恒有.（1）求證: 是奇函數(shù);（2）若.11已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的，都滿足: .（1）求的值;（2）判

3、斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論;（3）若,，求數(shù)列的前項(xiàng)和.12已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足.（1）若（2）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，求函數(shù)的解析表達(dá)式.13已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，當(dāng)時(shí), >0.（1）求;（2）求和;（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明.14函數(shù)的定義域?yàn)镽，并滿足以下條件：對(duì)任意,有>0；對(duì)任意,有；.（1）求的值;（2）求證: 在R上是單調(diào)減函數(shù);（3）若且，求證：.15已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且當(dāng)時(shí),.（1）證明:;（2）證明: 在R上單調(diào)遞減;（3）設(shè)A=,B=,若=,試確定的取值范圍.16已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),設(shè)F.（1）用函數(shù)

4、單調(diào)性的定義證明:是R上的增函數(shù);（2）證明:函數(shù)=的圖象關(guān)于點(diǎn)(成中心對(duì)稱圖形.17已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（1）求的值；（2）證明： 函數(shù)是周期函數(shù);（3）若求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象。18函數(shù)對(duì)于x>0有意義，且滿足條件減函數(shù)。（1）證明：；（2）若成立，求x的取值范圍。19設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論20. 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，f（1）2

5、，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。21. 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。22. 是否存在函數(shù)f（x），使下列三個(gè)條件：f（x）0，x N；f（2）4。同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。答案：1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 為了求f (-1)的值，令=1，=-1，則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一個(gè)偶函數(shù)。

6、2. 分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，-m，m-2,2，但是1- m和m分別在-2，0和0，2的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到偶函數(shù)，則f (x)有性質(zhì)f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場(chǎng)大規(guī)模討論。解：f (x)是偶函數(shù)， f (1-m)<f(m) 可得，f(x)在0，2上是單調(diào)遞減的，于是 ，即 化簡(jiǎn)得-1m<。3. 解：因?yàn)閒(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f(x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期。又f(x)是奇函數(shù)，且在x0處有定義，所以f(x)=0從而f(1998)=f(6×333

7、)=f(0)=0。4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（0，x ， f（1）=2， 同理可得5.解：從自變量值2001和1進(jìn)行比較及根據(jù)已知條件來看，易聯(lián)想到函數(shù)f（x）是周期函數(shù)。由條件得f（x）1，故f（x+2）=f（x+4）=. 所以f（x+8）=. 所以f（x）是以8為周期的周期函數(shù)， 從而f（2001）=f（1）=1997說明：這類問題出現(xiàn)應(yīng)緊扣已知條件，需用數(shù)值或變量來迭代變換，經(jīng)過有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。6.證明：（1）問題為求函數(shù)值，只需令x=y=0即可得。 （2）問題中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f

8、（0）f（y），且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）為偶函數(shù).說明：這類問題應(yīng)抓住f（x）與f（-x）的關(guān)系，通過已知條件中等式進(jìn)行變量賦值。7. 解：由y=f(x)是偶函數(shù)且在（2，6）上遞增可知，y=f(x)在（6，2）上遞減。令u=2-x，則當(dāng)x(4,8)時(shí)，u是減函數(shù)且u(-6,-2)，而f(u)在（6，2）上遞減，故y=f(2-x)在（4，8）上遞增。所以（4，8）是y=f(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。8. 解：（1）.因?yàn)閍b，所以a-b0，由題意得0，所以f（a）+f（b）0，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（b）=f（b）， f（a）f（b）

9、0，即f（a）f（b）（2）.由（1）知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，又ff0，得ff，故，所以k令t,所以kt+，而t+2，即k219.解：等價(jià)于10.（1）證明：令，得 令，則 是奇函數(shù)。（2） 又11.（1）解：令，則令，則 （2）證明：令，則， 令，則 是奇函數(shù)。（3）當(dāng)時(shí)，令，則 故，所以，故12.解：(1)對(duì)任意，函數(shù)滿足，且 ，=f(a)=a(2) 對(duì)任意，函數(shù)滿足,有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得對(duì)任意，有上式中，令，則，故若，則，則，但方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根與題設(shè)茅盾，故若，則，則，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得13.（1）解：令，則 （2）數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差

10、的等差數(shù)列,故=(3)任取,則 =函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù).14.(1)解: 對(duì)任意,有>0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對(duì)任意,有>0;對(duì)任意,有;函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3) 由（1）（2）知，而15. (1)證明:令,則當(dāng)時(shí),故,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則(2)證明: 任取,則,0<,故<0,又,故函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3) 由（2）知，是R上的減函數(shù)，B=又，方程組無解，即直線的內(nèi)部無公共點(diǎn)，故的取值范圍是-16.(1)任取,則F=, 又函數(shù)是定義在R上的增函數(shù), ,故>0是R上的增函數(shù);(2)設(shè)為函數(shù)=的圖象上任一點(diǎn),則點(diǎn)

11、關(guān)于點(diǎn)(的對(duì)稱點(diǎn)為N(),則,故把代入F得, =-函數(shù)=的圖象關(guān)于點(diǎn)(成中心對(duì)稱圖形.17.(1)解:為R上的奇函數(shù), 對(duì)任意都有,令則=0(2)證明: 為R上的奇函數(shù), 對(duì)任意都有,的圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 對(duì)任意都有, 用代得,即是周期函數(shù),4是其周期.(3)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，圖象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)證明：令，則，故（2），令，則， 成立的x的取值范圍是。19解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對(duì)稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個(gè)解,在-2005.0上有400個(gè)解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802個(gè)解.20. 解：設(shè)，當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域?yàn)?