《概率論第1講》PPT課件

1、概率論第1講第一章預(yù)備知識(shí)本文件可從網(wǎng)址math.shekou上下載概率論是研討隨機(jī)事件的規(guī)律性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支, 直觀地說是指這樣的事件: 在一次實(shí)驗(yàn)中, 它出現(xiàn)與否是具有偶爾性的, 但是在大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)中, 它卻是具有內(nèi)在的必然性即規(guī)律性的.第一章 預(yù)備知識(shí)第一節(jié) 陳列與組合乘法原理: 假設(shè)一個(gè)過程可以分成兩個(gè)階段進(jìn)展, 第一個(gè)階段有m種不同的做法, 第二個(gè)階段有n種不同的做法, 且第一個(gè)階段的任一種做法都可以與第二個(gè)階段的任一種做法配成整個(gè)過程的一種做法, 那末整個(gè)過程應(yīng)該有mn種的做法.一, 陳列從n個(gè)不同的元素中, 恣意取出r個(gè)不同的元素(0 r n)按照一定的順序排成一列, 這樣的一列

2、元素叫做從n個(gè)不同元素中取r個(gè)不同元素組成的一種陳列. 對(duì)于一切不同陳列的種數(shù), 通常表示為rnP先設(shè)0rn, 每一種陳列由在r個(gè)有次序位置上各放上一個(gè)元素所組成. 第一個(gè)位置上的元素有n種不同的取法; 在它取定之后, 第二個(gè)位置上的元素只需n-1種不同的取法; 前兩個(gè)元素取定之后, 第三個(gè)位置上的元素只需n-2種不同的取法; 依次類推, 第r個(gè)位置上的元素只需n-r+1種不同的取法, 因此按乘法原理, 所求陳列種數(shù)為(1)(2)(1)rnPn nnnr 或改寫為(1)(2)(1)(1)(1)()(1)3 2 1()(1)3 2 1!()!rnPn nnnrn nnrnr nrnr nrnnr

3、 當(dāng)r=n時(shí), 所求陳列種數(shù)為n!. 假設(shè)規(guī)定0!=1, 那么上式依然成立. 因此, 當(dāng)0rn時(shí), 上述陳列問題的答案總可以表達(dá)成!()!rnnPnr例1 計(jì)算從八個(gè)不同的元素中任取三個(gè)的陳列種數(shù).解 所求陳列種數(shù)為388 7 6336P 例2 從1,2,3,4,5,6,7七個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成的三位數(shù)中有幾個(gè)是偶數(shù)?解 所得的三位數(shù)是偶數(shù), 它的個(gè)位上應(yīng)是2,4,6中的一個(gè). 因此, 按置在個(gè)位上的數(shù)有三種不同的取法, 而十位, 百位上的數(shù)共有65種不同的取法. 從而所求的個(gè)數(shù)為 365=90以上陳列問題中參與陳列的元素是不允許反復(fù)的. 但有時(shí)需求思索允許反復(fù)的情況, 例如號(hào)碼就允許數(shù)

4、字反復(fù). 現(xiàn)思索從n個(gè)各不一樣的元素里任取一個(gè), 然后放回去, 再取一個(gè), 然后又放回去, 這樣共進(jìn)展r次, 問所得不同的陳列共有多少種? 顯然, 這種情況下陳列種數(shù)共有rn nnnr 例3 用0,1,2,.,9這十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù), 在這些三位數(shù)中,(1) 如思索數(shù)字可以反復(fù), 問可以組成多少不同的三位數(shù)?(2) 三個(gè)數(shù)字沒有反復(fù)的有幾個(gè)?(3) 三個(gè)數(shù)字都一樣的有幾個(gè)?(4) 只需兩個(gè)數(shù)字一樣的有幾個(gè)?解 (1) 在數(shù)字可以反復(fù)的情況下, 計(jì)算能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)時(shí), 由于百位數(shù)上不能放置0, 所以組成的不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)為 91010=900(2) 百位上的數(shù)字有9種不同的取法.

5、在百位上的數(shù)字取定后, 十位上的數(shù)字有9種不同的取法. 在百位和十位上的數(shù)字都取定后, 個(gè)位上的數(shù)字只需8種不同的取法, 所以沒有反復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 998=648.(3) 由于百位上的數(shù)字有9種不同的取法, 在百位上的數(shù)字取定后, 十位上及個(gè)位上的數(shù)字隨之而定, 所以三個(gè)數(shù)字都一樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9.(4) 只需百位上與十位上的數(shù)字一樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為99, 只需十位上與個(gè)位上的數(shù)字一樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為99, 只需百位上與個(gè)位上的數(shù)字一樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為99. 所以只需兩個(gè)一樣數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為99+99+99=243二, 組合設(shè)有n個(gè)不同的元素, 從它們中間任取r個(gè)(0 r n)構(gòu)

6、成一組. 這里, 不思索這r個(gè)元素的次序, 只研討有多少種不同的取法, 這就是組合問題. 稱每一個(gè)獲得的組為一個(gè)組合. 對(duì)于一切不同的組合的種數(shù), 通常把它記作rnCrn或從n個(gè)不同元素中任取r個(gè)元素出來, 得到一個(gè)組合, 對(duì)這r個(gè)元素進(jìn)展各種陳列, 共得r!種不同的陳列, 但一切這些陳列均是由一種組合變來的, 所以陳列的種數(shù)rnP是組合種數(shù)nr 的r!倍, 即!()! !rnnnPnrnrrnrr 例4 有五本不同的數(shù)學(xué)書, 八本不同的物理書, 從中任取兩本數(shù)學(xué)書, 四本物理書. 問有多少種不同的取法?解 從五本數(shù)學(xué)書中任取兩本, 種數(shù)為55 41021 2 從八本物理書中任取四本, 種數(shù)為

7、88 7 6 57041 2 3 4 因此所求總數(shù)為1070=700.第二節(jié) 集合集合, 有時(shí)簡(jiǎn)稱為集, 是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的集體. 通常用大寫字母A,B,C,.來表示集合. 組成集合的各個(gè)事物稱為這集合的元素. 假設(shè)e是集合A的一個(gè)元素, 便記作eA. 假設(shè)e不是A的元素記作eA. 假設(shè)集合A是由元素e1,e2,.等組成的, 記作A=e1,e2,.集合的元素可以是恣意種類的對(duì)象: 點(diǎn), 數(shù), 函數(shù), 事件, 人等等. 例如,(1) 全體自然數(shù)組成的集合A, 表示為:A=1,2,.;(2)在給定直線上全體點(diǎn)組成的集合;(3)平面上區(qū)域D中一切點(diǎn)組成的集合;(4)數(shù)軸上一切區(qū)間組成的

8、一個(gè)集合;(5)定義域?yàn)閰^(qū)間(a,b)的一切延續(xù)函數(shù);(6)某地域一切學(xué)齡前兒童組成的一個(gè)集合.在討論集合時(shí), 反復(fù)的元素只算一次. 例如把1,2,2,3與1,2,3看作是同一個(gè)集合.假設(shè)一個(gè)集合中只需有限多個(gè)元素, 稱這集合為有限集. 假設(shè)一個(gè)集合中有無限多個(gè)元素, 稱這集合為無限集.假設(shè)一個(gè)無限集中的諸元素能與全體自然數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 那么稱這無限集為可數(shù)集或可列集, 否那么為不可數(shù)集.),(,)(;,41,31,21,41,31,21;3 , 2 , 13 , 2 , 1 ,集它也是一個(gè)不可數(shù)無限稱它為區(qū)間的實(shí)數(shù)組成一個(gè)集合于小所有大于數(shù)的無限集所有實(shí)數(shù)組成一個(gè)不可為元素的可數(shù)集是以

9、數(shù)字為元素的有限集是以三個(gè)數(shù)字例如bababa集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算一, 子集假設(shè)屬于集合A的任一元素都屬于集合B, 那么稱集合A是集合B的子集, 記作AB(或BA), 讀作A含于B(或B包含A).BA例如, 由一切偶數(shù)組成的集合是由一切整數(shù)組成的集合的子集; 區(qū)間(1,2)是區(qū)間(1,4)的子集. 特別地, 一個(gè)集合A是它本人的一個(gè)子集. 顯然, 當(dāng)AB且BC時(shí), AC.為了討論方便, 把不含任何元素的集合稱為空集, 記作. 把空集作為任一集合A的子集, 即對(duì)任一集合A, A.假設(shè)AB且BA, 那么稱集合A,B相等, 記作A=B書上印錯(cuò)二, 并集由至少屬于集合A或集合B二者之一的一切元素

10、所組成的集合稱為集合A與集合B的并集, 記作AB. AB例如, 集合1,2,3與集合3,4,5的并集為集合1,2,3,4,5; 區(qū)間(1,3)與(2,4)的并集為區(qū)間(1,4); 區(qū)間(-,3)與區(qū)間(-,1)的并集為區(qū)間(-,3)由平面上坐標(biāo)滿足1x2的點(diǎn)的全體組成的集合與由坐標(biāo)滿足2y4的點(diǎn)的全體組成的集合的并集如下圖:O1224yx三, 交集由同時(shí)屬于集合A及集合B的一切元素所組成的集合稱為集合A與集合B的交集, 記作ABAB例如, 區(qū)間(-, 3)與區(qū)間(1, +)的交集為區(qū)間(1,3); 由平面上圓x2+y2=1內(nèi)的一切點(diǎn)的集合與由橫坐標(biāo)大于零的一切點(diǎn)組成的集合的交集如下圖的右半圓.

11、xy11O假設(shè)AB=, 即A,B無公共元素, 就稱集合A與集合B互不相交.例如, 由一切正數(shù)組成的集合與由一切負(fù)數(shù)組成的集合互不相交; 區(qū)間(1,2)與區(qū)間(2,3)互不相交.集合的并與交滿足如下的分配率:(AB)C=(AC)(BC).ABC證 以下諸關(guān)系式是相互等價(jià)的:e(AB)C,eAB且eC,eAC或eBC,e(AC)(BC).從而上述分配律成立.集合的并及交可以從兩個(gè)推行到有限多個(gè)或可數(shù)多個(gè)集合上去, 諸集合A1,A2,.的并集A1A2.就是由至少屬于A1,A2,.中一個(gè)的一切元素組成的集合; 諸集合A1,A2,.的交集A1A2.就是由同時(shí)屬于A1,A2,.的一切元素組成的集合. 分配律對(duì)于有限個(gè)或可數(shù)多個(gè)集合的并集也成立,即(A1A2.)C=(A1C)(A2C).四, 差集 余集設(shè)A,B為恣意兩個(gè)集合, 稱由屬于集合A而不屬于集合B的一切元素組成的集合為集合A與集合B的差集, 記作A-BAB例如, 區(qū)間(1,4)與區(qū)間(0,2)的差集為區(qū)間2,4). 特殊地,