2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 題型四-二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合題

第1講Unit1—Unit3(含StarterUnits)七年級(jí)上冊2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)題型四二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合題已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(1)二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=

.(用含b的代數(shù)式表示)(2)當(dāng)b=1時(shí),若拋物線經(jīng)過點(diǎn)M(2,3),求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

1結(jié)構(gòu)化整合b(2)當(dāng)b=1時(shí),二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2+2x+c,將點(diǎn)M(2,3)代入得,3=-22+4+c,解得c=3,∴當(dāng)b=1時(shí),二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2+2x+3.

1結(jié)構(gòu)化整合

已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(4)在(2)的條件下,對于一切實(shí)數(shù)x,若函數(shù)值y<x+k總成立,求k的取值范圍.

1結(jié)構(gòu)化整合

圖示速解拓展:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的交點(diǎn)情況可以用關(guān)于x的方程ax2+bx+c=kx+b的根的情況來表示.①一個(gè)交點(diǎn)?Δ=0;②兩個(gè)交點(diǎn)?Δ>0;③無交點(diǎn)?Δ<0.

已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(5)在(2)的條件下,當(dāng)m-2≤x≤m時(shí),二次函數(shù)的最大值是-2m,求m的值.

1結(jié)構(gòu)化整合

圖示速解拓展:見到“最值”找三個(gè)點(diǎn),①取值范圍的左端點(diǎn),②取值范圍的右端點(diǎn),③拋物線的頂點(diǎn).

已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(6)若c=1,當(dāng)2≤x≤4時(shí),函數(shù)y的值總大于等于1,求b的取值范圍.

1結(jié)構(gòu)化整合(6)當(dāng)c=1時(shí),二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2+2bx+1,∴二次函數(shù)的圖象開口向下,對稱軸是直線x=b.∵當(dāng)2≤x≤4時(shí),函數(shù)y的值總大于等于1,∴當(dāng)x=2時(shí),y=-22+4b+1≥1,解得b≥1.當(dāng)x=4時(shí),y=-42+8b+1≥1,解得b≥2.∴b的取值范圍是b≥2.

圖示速解

已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(7)若c=1,是否存在實(shí)數(shù)b(b>1),使得當(dāng)1≤x≤4時(shí),二次函數(shù)的最大值比最小值大3,若存在,求出b的值;若不存在,請說明理由.

1結(jié)構(gòu)化整合(7)存在.∵當(dāng)c=1時(shí),二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2+2bx+1,∴二次函數(shù)的圖象開口向下,對稱軸是直線x=b,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(b,b2+1).當(dāng)x=1時(shí),y=-1+2b+1=2b,當(dāng)x=4時(shí),y=-16+8b+1=-15+8b.∵當(dāng)1≤x≤4時(shí),二次函數(shù)的最大值比最小值大3,∴當(dāng)b>1時(shí),分以下3種情況討論.已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(7)若c=1,是否存在實(shí)數(shù)b(b>1),使得當(dāng)1≤x≤4時(shí),二次函數(shù)的最大值比最小值大3,若存在,求出b的值;若不存在,請說明理由.

1結(jié)構(gòu)化整合

圖示速解拓展:拋物線開口向下,到對稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)函數(shù)值越小;拋物線開口向上,到對稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn),函數(shù)值越大.

已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(8)在(2)的條件下,若二次函數(shù)的圖象分別交x軸于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與y軸交于點(diǎn)C,則對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得PA+PC的值最小,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

1結(jié)構(gòu)化整合(8)存在.由(2)知,二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3),對稱軸是直線x=1.當(dāng)y=0時(shí),解得x=3或x=-1,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0).∵點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=1對稱,∴PA+PC=PB+PC≥BC.已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(8)在(2)的條件下,若二次函數(shù)的圖象分別交x軸于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與y軸交于點(diǎn)C,則對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得PA+PC的值最小,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

1結(jié)構(gòu)化整合

圖示速解“將軍飲馬”模型鏈接??大單元整合專題二-類型3-問題1?改編自2023年貴州省中考第24題的設(shè)問

已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(9)在(8)的條件下,若點(diǎn)Q為拋物線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),求點(diǎn)Q到直線BC的最大距離.1結(jié)構(gòu)化整合

已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(9)在(8)的條件下,若點(diǎn)Q為拋物線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),求點(diǎn)Q到直線BC的最大距離.1結(jié)構(gòu)化整合

圖示速解拓展:本問利用到轉(zhuǎn)化思想,將“求QG的最大值”轉(zhuǎn)化為“求QE的最大值”,其中45°角是本問隱含的關(guān)鍵條件.

已知二次函數(shù)y=-x2+2bx+c.(10)在(2)的條件下,平移拋物線y=-x2+2bx+c,使平移后的拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x+1上,求平移后的拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值.1結(jié)構(gòu)化整合

2[2024遵義匯川區(qū)模擬]已知點(diǎn)P(m,n)在拋物線y=a(x-1)2+3(a為常數(shù),a≠0)上.(1)若m=2,n=4,①求拋物線的解析式;②若點(diǎn)A(t-1,y1),B(t,y2)在該二次函數(shù)的圖象上,且點(diǎn)A在對稱軸左側(cè)、點(diǎn)B在對稱軸右側(cè),若y1<y2,求t的取值范圍.(2)當(dāng)-1≤m≤0時(shí),總有n≥-2,且當(dāng)3≤m<4時(shí),總有n≤-2,求a的值.2(1)若m=2,n=4,①求拋物線的解析式;(1)①當(dāng)m=2,n=4時(shí),P(2,4),把P(2,4)代入y=a(x-1)2+3得,4=a(2-1)2+3,解得a=1,∴y=(x-1)2+3.2(1)若m=2,n=4,②若點(diǎn)A(t-1,y1),B(t,y2)在該二次函數(shù)的圖象上,且點(diǎn)A在對稱軸左側(cè)、點(diǎn)B在對稱軸右側(cè),若y1<y2,求t的取值范圍.

2(2)當(dāng)-1≤m≤0時(shí),總有n≥-2,且當(dāng)3≤m<4時(shí),總有n≤-2,求a的值.

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3(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.(1)∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1)2-4.∵圖象過點(diǎn)(3,0),∴0=4a-4,解得a=