三角恒等變換知識(shí)總結(jié)

1、 三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 2014/10/24 一、基本內(nèi)容串講 1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下： sin(a /7) = sin a cos p cos a sin p ； cos(a 0) = cosacos0q:sinasin0 ； tan(a 0)=伽沁” 1 + tan cr tan 0 對(duì)其變形:tan a +tan 0 =tan (a + 0) (1- tan a tan 3 ), 有時(shí)應(yīng)用該公式比較方便。 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下： cos 2a = cos2 a一sin2 a = 2cos2 a 1 = 1 一2sin2 a . 要熟悉余弦“倍角”與

2、“二次”的關(guān)系(升角一降次，降角一升次)特別注意公式的三 角表達(dá)形式，且要善于變形，coMaJY歲2勒 sin2a=lcos2a這兩個(gè)形式常 a sin x+bcos x = /a2 +b2 sin (x4- p) 4. 簡(jiǎn)單的三角恒等變換 (1) 變換對(duì)象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。 (2) 變換目標(biāo)：利用公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明的目的。 (3) 變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 (4) 變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計(jì)變換途徑。 5. 常用知識(shí)點(diǎn)： (1) 基本恒等式：sin2a + cos2a = l,

3、= tana (注意變形使用，尤其 丫 的靈活應(yīng) cos a 用，求函數(shù)值時(shí)注意角的范圍)； (2) 三角形中的角：A + B + C = 7t、 si nA = sin(B+ C), cosA = cos(B+C)； sin 2a = sin a cos tan 2a = 2 tan a 1-tan2 a 3-輔助角公式: sinx + cosx = 屈in兀+丫 4丿 sin x cos x = 2 sin j x 土才 (3)向量的數(shù)量積：a b cos(a,b9u.b = xx2 + yy2 9 。丄boxtx2 + y2 = 0 a/bxy2 x = 0； 二、考點(diǎn)闡述 考點(diǎn)1兩角和

4、與差的正弦、余弦、正切公式 K sin 20 cos40 + cos 20 sin 40 的值等于( ) 4 一 2、若tana = 3, tan=,則tan(a-0)等于( ) 3 若 a + P = , j!) (1 - tan cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 =( ) 3/r 3 7 已ftl 42,且cos4 =那么sin2A等于( ) 2 5 考點(diǎn)3運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換 8、 已知 tan(a + 0) =二,tan(0-蘭)=丄.則 tan(a +蘭)的值等于() 5 4 4 4 9、 已知sina + sin0 = g,cosa + cos0

5、 = *，則COS(G-0)值等于() 10、 函數(shù) f (x) = cos2(x- ) + sin2(x + ) -1 是() 12 12 (A)周期為2/r的奇函數(shù)(B)周期為2”的偶函數(shù) (C)周期為兀的奇函數(shù)(D)周期為兀的偶函數(shù) 4、常見(jiàn)題型及解題技巧(另外總結(jié)) (一)關(guān)于輔助角公式： sinx + /?cosx = +h2 sin(x + p). 如：1若方程sinx-cosx = c有實(shí)數(shù)解，則c的取值范圍是. 2. y = 2cosx-3sinx + 2的最大值與最小值之和為 _ . 7.若 tan( + a) = -, KO tan6? = _ . 4 5 (-)三角函數(shù)式

6、的化簡(jiǎn)與求值 例 11.竺亠二沁； 2.sin50o(l + V3tanl0o); 其中 cos (p = .sin 0 = . +b2 yja2 +b2 (可以通過(guò)yja2+b2來(lái)判斷最大最小值) cos 15 +sinl5 3. 求 tan 70 + tan 50 -V5 tan 70 tan 50 值； 4. AABC 不是直角三角形，求證：tanA + tanB + tanC = tanAtanBgnC (三) 三角函數(shù)給值求值問(wèn)題 1. 已知 cos(a?)+sina=|V5,則 sin(a+-y)的值是 _ ； 5 4 2. 已知cos(a + 0) = 一,cos0 = = ,a

7、,0均為銳角，求sin&的值。 0 /? a /3x + 4 = 0的兩個(gè)根，求a + 0. 3. 己知a, 0, 了均為銳角，且 tan a = , tan /7 = , tan / =,則 a+j3 + / 的值( ) 2 5 8 兀 兀 7T 5兀 A B C D - 6 4 3 4 4. 已知tan a = *, tan 0 = *,并且a,0均為銳角，求a + 20的值. (五) 綜合問(wèn)題(求周期，最值，對(duì)稱軸，增減區(qū)間等) 1. (2010 北京)已知函數(shù) f (v) = 2cos 2x + sin2 x. (1) 求/(：)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值. 2.

8、已知函數(shù) f (x) = 2sin(-x)cosx. (1)求/(x)的最小正周期；(2)求/(x)在區(qū)間-，舟上的最大值和最小值；(3)求函數(shù)在(-如；r) 6 2 的單調(diào)區(qū)間。 三.解題方法分析 1. 熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn) 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名稱.結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正 的理解.記熟.用活。解決問(wèn)題時(shí)究竟使用哪個(gè)公式,要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，善于聯(lián)想,靈活運(yùn)用。例1設(shè)打6 則有（） 【點(diǎn)評(píng)】:本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用.變用公式。例如: 等。另外，三角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將

9、它化為 Va2 +b2 sin(x + 0)即 asinx+bcosx=Va2 +b2 sin(x +(|)(其中 tan(p = )是常用轉(zhuǎn)化手段。 特別是與特殊角有關(guān)的sin土cosx, sinx V3 cosx,要熟練掌握其變形結(jié)論。 2. 明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口 （1）運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換 【方法點(diǎn)撥】 教林中兩角和與差的正、 余弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想， 應(yīng)用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值、證明中角、名稱、形式的變換問(wèn)題。 例 2.已知 a 例2解答： 例 3.化簡(jiǎn)：2sin50 +sinlO (l+x/3

10、tanlO ) Jsi】,80。 【解析】：原式二 1 . c sin2a sm a cos a = sin 2a , cos a = - 2 2sina cos2 a-sill2 a = cos2a , 2tanz 1-tan2cr =tan 2a 9 1 2 sin a cos a = (sin a cosa)2 9 1 + cos2a = 2 cos2 a 1 -cos2a = 2sin2 a cos2 a = 1 + cos2a 2 sin2 a = 1 -cos2a 2 tan a +tan B =tan( a + B ) (1- tan a tan B ) =/3 【點(diǎn)評(píng)】:本題屬

11、于理解層次，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用化切為弦的方法，再利用兩角和與 差的三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)時(shí)要求使三角函數(shù)式成為最簡(jiǎn)： 項(xiàng)數(shù)盡量少， 名稱盡量少， 次數(shù) 盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的盡量求岀值來(lái)。 (2) 運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時(shí)在三角恒等變 換中，可以把某個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù)，利用條件或公式列岀關(guān)于未知數(shù)的方程求解。 例4：已知sin 3 + 0)二，sin(a-)=2,求巴竺4巴二泌的值。 3 4 tan。0 tan(a + 0) 【解析】 tan(cr + 0

12、) 一 tan a 一 km 0 _ tan(z + 0) 一 tan(z + 0)(1 一 tan a tan 0) _ tana tan2 p tan(a + 0) tan2 a tan(tz + 0) tan 0 【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”層次，考查學(xué)生對(duì)所學(xué)過(guò)的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析,善于利用題中的條件 運(yùn)用方程思想達(dá)到求值的目的。 (3) 運(yùn)用換元思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換 【方法點(diǎn)撥】換元的目的就是為了化繁為簡(jiǎn)，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系，把某個(gè) 式子用新元表示,實(shí)行變量替換，從而順利求解,解題時(shí)要特別注意新元的范圍。 72 例5：若sin a + sin 0 =,求cosa

13、+ cos0的取值范圍。 2 【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解層次，解題的關(guān)鍵是將要求的式子COSQ + COS0看作一個(gè)整體,通過(guò) 代數(shù)、三角變換等手段求出取值范圍。=-17 【解析】:令cos a + cosp = t 則(sin a + sin 0) + (cos a + cos 0) 3. 關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合點(diǎn) 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識(shí)的 聯(lián)系與綜合，特別是與平面向量的綜合,要適當(dāng)注意知識(shí)間的聯(lián)系與整合。 例 6：已知：向量a = “,-l) , J = (sin2x, cos2x),函數(shù) f(x) =

14、 a-h (1) 若/(x) = 0且0兀/3sin2x-cos2x (2) = 2sin(2x-) 6 ： /(X)max = 2 ,當(dāng) f(X)= 2 時(shí)，由 =1 6/ I I Z? I COS = 2 得cos = = 1, 0 兀 ： = 0 a-b 【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”中綜合應(yīng)用層次，主要考査應(yīng)用平面向量、三角函數(shù)知識(shí) 的分析和計(jì)算能力. 四.課堂練習(xí) 1. sinl65 = ( ) A.- B迺 C. 忑 D. V6-V2 2 2 4 4 2. sinl4 cosl6 +sin76 cos74 的值是( ) A逼 B. 1 2 2 c.逅 2 2 3. ,0), cosx

15、= -,貝|Jtan2x = ( ) A. B-二 C卷 D 2 5 24 24 7 7 4. 化簡(jiǎn) 2sin ( - x) sin ( -+x),其結(jié)果是( ) 4 4 A sin2x B . cos2x C . cos2x D . sin2x 5. sin 75cos 的值是( ) 12 12 A. 0 B.邁 C. v2 D. 2 sin 12 一 tan】75砧彳古q z 、 6-飛亍的值為（） 7.若cos| = |, sinf = - ,則角&的終邊一定落在直線（ ）上。 B 7A24y = 0 C. 24.v+7y = 0 D. 24.r-7y = 0 8. cos(a + p )cos p + sin(a + 0)sin 卩= _ 9. - 1 + tan 15 s 10. tan 20 + tan40 + J3 tan 20 tan40 的值是 _ 已知 0 v x ,siii( -x)=，求一Cs2a一 的值。 4 4 13 7T cos(+ X) 4 14若 A e(0,zr),且sinA + cosA =,求 5、in A + 的值。 13 15sin A-7cos/4 C 15.在磁中，若 siiL4sin=cos2T，則磁是() A.等邊三角形 C.不等邊三角形