交大碩士研究生必修基礎(chǔ)數(shù)學數(shù)值分析-插值與擬合方法

1、5 章 插值與擬合方法插值與擬合方法 是用有限個函數(shù)值f(xi),(i 0,1, ,n)去推斷或表示函數(shù)f(x)的方法，它在理論數(shù)學中提到的不多。本章主要介紹有關(guān)解決這類問題的理論和方法，涉及的內(nèi)容有多項式插值，分段插值及曲線擬合等。 對應(yīng)的方法有l(wèi)agrange插值 ， newton 插值 ， hermite 插值 ， 分段多項式插值和 線性最小二乘擬合。1實際案例2問題的描述與基本概念先獲得函數(shù)(已知或未知)y f(x)在有 限個點x0,xl, xn上的值xx0xi .xnyvoy1vn由表中數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)p(x)作為f (x)的近似函數(shù)，去參與有關(guān) f (x)的運算?？茖W計算中，解決不

2、易求出的未知函數(shù)的問題主要采用插值和擬合兩種方法。1)插值問題的描述已知函數(shù)y f(x)在a,b上的n+1個互 異點""1，xn處的函數(shù)值v ”3,求f (x) 的一個近似函數(shù) p (x),滿足p(x)f(x) (i 0,1, ,n)(5.1)p (x)稱為f (x)的一個插值函數(shù)；f (x)稱為被插函數(shù)；點xi為插值節(jié)點；p(x) f(x) (i 0，1,，n)稱為插值條件；r(x) f x p(x)稱為插值余項。當插值函數(shù)p (x)是多項式時稱為代數(shù) 插值(或多項式插值)。一個代數(shù)插值函數(shù)p (x)可寫為p(x)pm(x)若它滿足插值條件(2aoaix0 82x02ao

3、aixa22m2ao aixna2xnmakxk 區(qū) r) k 05.1),則有線性方程組mamxovomamxivi(5.2) m am xnyn當m=n ,它的系數(shù)行列式為范德蒙行列式2 x x2 x1x1nxon x0jin（x xj）xn2 xnn xn因為插值節(jié)點互異,d 0,故線性方程組(5.2)有唯一解，于是有定理5.1當插值節(jié)點 互異時，存在一個滿足插值條件p(xi) f(xi) (i 0,1, ,n)的n次插 值多項式。定理 滿足插值條件(5.1)的n次插值多 項式是唯一的。證明 設(shè)p(x), q(x)是兩個滿足插值條件 (5.1)的n次插值多項式，于是有p(x)q xf(%

4、) (i 0,1, ,n)令 h x p(x) q(x)顯然有h x是次數(shù)w n的多項式，且h x p(x) q 為 f(x) f(x) 0 (i 0,1, ,n) 說明h x有n+1個零點，由代數(shù)基本定理有h (x) 0,由此得p(x) q(x)插值的一個目的是對函數(shù)作近似計算。假設(shè) a, b 是包含插值點x0,x1,l ,xn 的最小閉區(qū)間， 當用插值函數(shù)p(x) 來近似計算x在 a, b 的函數(shù)值時，稱為 內(nèi)插計算 ，否則稱為 外插 或 外推 計算。2)擬合問題的描述已知y f(x)在a,b上的n+1個(互異或 不互異)點x0" xn處的函數(shù)值v f(xj,求 f (x)的一個

5、近似函數(shù) (x),滿足擬合條件| | min這里 是n+1維向量，m是某種范數(shù)，(0, 1,n)t , if (xi)(xi)。求出的(x)稱為擬合函數(shù)。3）插值函數(shù)和擬合函數(shù)的幾何解釋1）插值函數(shù)圖示2）擬合函數(shù)圖示5.3插值法1.lagrange 插值lagrange 插值是 n 次多項式插值?；舅枷雽⒋蟮?n 次多項式插值函數(shù)pn(x) 改寫成用已知函數(shù)值為系數(shù)的n+1個待定n次多項式的線性組合型式， 再利用插值條件和函數(shù)分解技術(shù)確定n+1 個待定 n 次多項式形式求出插值多項式。1）構(gòu)造原理 已知數(shù)表(5.3)0,1, ,n)設(shè)n次插值多項式nln(x) y010n(x) y111

6、n(x) lynlnn(x)yin(x)i 0式中1jx)(i 0,1l ,n)是與y無關(guān)的n次多項式。由插值條件(5.1),有nln(xk) yklkn(xk)yilin(xk)yki 0(ki k由于yk與lin x (i 0，1,2,l ,n)無關(guān)，可得1 i klin xkik n . , i，k 0,1,2,l ,n (5.4)0 i k為確定lin x ,注意到lin x是n次多項式，由 式（5.4）可知lin xna xk 0k ixk式中a為待定常數(shù)，由lin為1確定，于是有i 0,1,2l ,n(5.5),n xxklin xk 0 x xk k i代入式（5.3）,有yko

7、(5.6)由n次插值多項式的唯一性，可知ln x 就是所求的n次插值多項式。式（5.6）稱為n次lagrange插值多項 式，而lin x稱為lagrange插值基函數(shù)。2)分析定理3.設(shè)函數(shù)y f(x)在a,b上有n+1階 導(dǎo)數(shù)，巳(x)是滿足插值條件的n次插值多項 式，則有對任何x a, b成立f n 1rn x f x pn x n 1 x ,(a,b)n 1 !n式中 n 1(x) k o x xk，xk a，b。證明因為ex) "xk),故有rn xk0, k 0,1,l ,n于是rn(x)可分解為 為求出k(x),做輔助函數(shù)rn x k x n 1 x(5.8)g t f

8、tpn t k x n i t (")則有在t x°,x1,l名/時，g(t)=0,即g(t)在 a,b上有n+2個零點。顯然 g在由xo,xi,l ,xn,x組成的 n+1 個小閉區(qū)間上滿足 rolle中值定理，故g'（t） 在a,b上有n+1個零點。類似的有g(shù)在a,b上有n個零點， 反復(fù)運用rolle中值定理，有g(shù)n1 t在a,b 上有1個零點，設(shè)為，則有g(shù)n10。在式（5.9）兩邊對t求n+1階導(dǎo)數(shù)，有|gn1 t f n 1 t 0 n 1 !k x 將t =代入上式，解得k x f n 1/ n 1 !代入式（5.8）,即得定理結(jié)果。定理3中若能算出fn1

9、 x|在a,b上的最 大值m- ma小n1 xl,則有余項估計式rn x i n n11 !l n 1 x l x a,b（在一點的誤差估計）若想估計函數(shù)在插值 區(qū)間a,b上的誤 差，要計算出tn i max n i x i,此時有區(qū)間a,b 上的誤差估計為|rn x |* a，bn 1 !由n次插值多項式的唯一性及式(5.7),得到有如下重要結(jié)果定理4 若函數(shù)f ( x )在但,均上有n+1階 導(dǎo)數(shù)，則f ( x )可表示為nf (n 1)()f x0 f(x) lin(x) n 1(x) x a,bi 0(n 1)!對n=1的插值多項式，稱為 線性插值；n=2的插值多項式稱為 拋物線插值或

10、辛 普森插值.例1已知f(x) lnx的函數(shù)表為3.03.13.23.33.4y=f(x1.098611.131401.163151.193921.22377試用線性插值和拋物線插值分別計算f(3.27)的近似值，并估計相應(yīng)的誤差。解 線性插值需要兩個節(jié)點，內(nèi)插比外推好，因為3.27 (3.2,3.3),故選 x。3.2,為 3.3 ,由 n 1 的lagrange 插值公式，有l(wèi)(x)1.163151x 3.33.2 3.31.193922x 3.23.3 3.20.30771cx0.178479所以有in 3.27 l1(3.27) 1.1846907為保證內(nèi)插，對拋物線插值，選取三個節(jié)點

11、為xo 3.2,xi 3.3,x2 34 由 n=2 的 lagrange 插值公式，有l(wèi)2(x)(x 3.3)( x 3.4)1.1631511.193922(x 3.2)(x 3.4)(3.3 3.2)(3.3 3.4)(3.2 3.3)(3.2 3.4)1.223775 (x 3.2)(x 眨 (3.4 3.2)(3.4 3.3)0.0459x2 0.60606x 0.306225故有l(wèi)n3.27 l2(3.27) 1.18478709 ,1 一考慮誤差.當x 3.2,3.3時,有1f (x)l 2 ,所以 3.2線性插值計算ln3.27的誤差估計為舊(3.27)| 2! 1|(3.27

12、 3.2)(3.27 3.3) 0.103 10 3_ -2而當x 3.2,3.4時，1f (x)行，故拋物線插值計算3.2ln3.27的誤差估計為i2i5r2(3.27)3(3.27 3.2)(3.27 3.3)(3.27 3.4)0.9 10 53! 3.2例2在4,4上給出ex的等距節(jié)點函數(shù) 表，若想用二次插值來計算 ex的近似值，并 要求截斷誤差不超過10 6,問此函數(shù)表的步 長h應(yīng)為多少？解 設(shè)xk(k 0,1,l ,n)為4,4上的等距節(jié) 點。二次插值需要三個節(jié)點，為滿足一般性， 這里取三個相鄰的節(jié)點構(gòu)造二次插值函數(shù)。設(shè)小為1,為2是4,4上的任何三個相鄰節(jié) 點，則當x 。x 2時

13、，有x x th (0 t 2)注意到 x i x h,xi 2 x 2h。x利用n=2的lagrange 余項定理，有函數(shù) e在xi,xi 2的插值余項為e3r2(x) 5 t(t 1)(t 2)h t 0,2, 4,43!因為max|t(t 1)(t 2)239_ _x 44m 3 max e e 34x4所以要 r2(x)r(x)| 孕3 32(竿)h3 3面0.00578106,只需 3；3h3 106,得 h 扁取h=0.0057 可滿足要求.由h 8/n得n 1405,故造表時取 1405 個等距節(jié)點來計算函數(shù)值f (xk) 即可。2. newton 插值newton 插值也是 n

14、 次多項式插值。1) 構(gòu)造原理已知數(shù)表xx0 x1 . xnyv。 yi . vn設(shè)n次插值多項式為n*x) a。ai(x x。)a2(x %)(x 為)an(x x°)(x 為)(x ai)為求出nn(x)的系數(shù)，借助插值條件有當x xo時，有nnd) a0 no,得出 a() y();當x xi時，有nn(xi) ao ai(xi xo) yi,得 a (y1 y% xo)依次取x2，x3，xn并利用插值條件就可 依次解出a2,a3- -an,從而求出 心的具體形 式。為將解出的系數(shù) a0,a1, a2, ，an用公式表不 出來，引進差商的概念。定義 已知函數(shù)f(x)在互異節(jié)點x

15、0,xi,xn上的值分別為 f (x0)，f (xl)，f (xn),記“y 丫 丫 fxl，xi2，,xik-。？1，xk 1f x 0，xi1，xik xikxi0式中xi 0，xi1， ，xik是x0，x1，xn中互不相同的 k+ 1個節(jié) 點，k 1,2, ,n ,稱 fxio,xi1，xk為 f(x)關(guān)于節(jié)點 xo,xi1，,xik 的 k 階差商。規(guī)定零階差商是函數(shù)值本身f% f(%),于是一階差商可寫為fxi，xjf(xi) f(xj)xi xj表.1 差商表xf(x)一階差商二階差商n階差商xovofxo，xif x0，xi，x2f xo，xi， ,xnxi.yi .fhx2 .

16、fk,x2,均 .xn 2.vn 2.f xn 2 , xn i .fxn 2，xn i，xnxn ivn if xn i, xn xnvnnn(x)f xof xo，% (x %) f xo，xi，x2(x %)(x 為)f xo，xi，l ,xn (x xo)(x xi) (x xn i)2)分析定理5滿足插值條件的n次newton插值多項式山的余項為rn(x) f(x)nn(x)fxo，xi, , xn，x n i(x)(5.14)證明設(shè)x a,b,且是異于x0,xi，,xn的任一點， 則有以，。，xn,x為插值節(jié)點的n+1次newton 插 值多項式nni(t) nn(t) fxo，x

17、i， ,xn，x ni(t)注意到，上式當t = x時，有nni(x)f(x)。將1 = x代 入上式有f (x) nn(x) fx0,xi， ,xn，x ni(x)顯然(5.i4)式對 x x0，xi， ,xn時也成立利用插值的唯一性，由f(x) nn(x) f(x) ln(x)可以得到差商與微商之間的關(guān)系fxo,xi, ,xn，xf 01()(n 1)!例3給定數(shù)表124568f(x)028121828試用二次和四次 newton插值多項式計算 f (5.8)的近似值。解作差商表xf(x)一階差商二階差商二階差商四階差商五階差商1021/301/30-1/602231/31/6-1/124

18、841-1/35126-1/36185828用二階newton 插值近似計算f (5.8)5應(yīng)選與5.8最 近的3個節(jié)點xo 4, xi 5區(qū)6。由表中x0 4行數(shù)據(jù)有n2(x) 8 4(x 4) 1(x 4)(x 5) 12 5x x2所以有 f (5.8) 心(5.8) 16.64。要用n4(x)來計算f(5.8),取與5.8最近的5個節(jié)點x02,x14, x2 5, x36,x48由表中xo 2行數(shù)據(jù)有11m(x) 2 3(x 2) -(x 2)(x 4) - (x 2)(x 4)(x 5)361(x 2)(x 4)(x 5)(x 6)12336 356x 122x2 19x3 x412

19、所以 f (5.8) n4(5.8) 11.0272 o3. hermite 插值例4設(shè)f(x)有四階導(dǎo)數(shù)，且f (1) 0, f (1) 1, f (2) 0.693147, f (2) 0.5,1 )求函數(shù)f(x)的一個插值多項式h (x),并用此近 似函數(shù)來計算f (1.5)的近似值2)給出你所得插值多項式的誤差關(guān)系式，估計近 似計算f (1.5)的誤差。解 仿照lagrange插值函數(shù)的構(gòu)造方法來做之。給定4個數(shù)據(jù)信息，選擇3次多項式作為f(x)的插 值多項式。令f(x)的3次插值多項式為|h(x) f 1 i(x) f 2 2(x) f 1 3(x) f 2 4(x) 式中k(x),

20、 k 123,4者口是與f 1 ,f 1 ,f 2 ,f 2無關(guān)的3 次多項式。插值的特點是插值函數(shù)h(x)要與給定的關(guān)于f(x)的所 有數(shù)據(jù)相等，即滿足插值條件h 1f(1),h 1 f (1),h 2f(2), h 2 f (2)由此可得有關(guān)k(x), k 1,2,3, 4 的一組值1(1)1,2(1)0,3(1)0,4(1)01(2)0,2(2)1,3(2)0,4(2)01(1)0,2(1)0,3(1)1,4(1)01(2)0,2(2)0,3(2)0,4(2)1利用這組數(shù)據(jù)， 可得 k(x), k 1,2,3, 4 函數(shù)分解形式并求出k(x) 。為求 1(x) ，找到與之有關(guān)的數(shù)據(jù)1(1

21、) 1, 1(2)0, 1(1) 0, 1(2)0由該數(shù)據(jù)可知x=2是i(x)的二重根，且i(x)是3次多項式，故可設(shè)1(x) 的分解形式為1(x) a x 1 b x 2由i(1) 1, i(1) 0,可以求出式中的a,b,最后求得 21(x) 2x 1 x 2類似地可以求出其它 3 個待定函數(shù)2(x) (5 2x)(x 1)2, 3(x) (x 1)(x 2)2, 4(x) (x 2)(x 1)2故有所求插值函數(shù)h (x) 0 1(x) 0.693147 2(x) 13(x) 0.5 4(x)0.693147(5 2x)(x 1)2 (x 1)(x 2)2 0.5(x 2)(x 1)2從而

22、有 f (1.5) h (1.5) 0.409074 ，為求其余項，令rx fx hx由 r(1) r(2) r(1) r(2)。，有 r(x)可分解為rx kx x,x1x222為求出 k ( x) ，做輔助函數(shù)g t f t h t k x t (5.18 )則有在 t =1, 2, x 時，g(t)=0, g(t)在a,b上有 3 個零點。g(t)在由1,2,x組成的2個閉區(qū)間上滿足 rolle中值定理， 故 g'(t) 在1,2 上有 2 個零點， 另一方面，有 g'(1)= g'(2)=0 ，故 g'(t) 在1,2 上有 4 個零點，類似的原因，有g(shù)

23、 (t) 在1,2 上有 3 個零點，反復(fù)運用4rolle 中值定理，就有 g t 在1,2 上有 1 個零點,設(shè)為 ，則有 g40。在式( 4.18 )兩邊對 t 求4 階導(dǎo)數(shù)，有44 g t f t 0 4!k x將 t = 代入上式，解得k x f 4/4!于是得出余項公式f(4)( )22r(x)(x 1)2(x 2)21,2近似計算f (1.5)的誤差為f ( )22r(1.5)(1.5 1)2(1.5 2)24!f() 43 3!1,2上面的例子反映了 hermite插值的做法hermite插值提法提法為:給定n+1個互異的節(jié)點x0,xi, ,xn上的 函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值xxoxiyy

24、。yiyv。yix2xny2yny2yn求一個2n+1次多項式h2n i(x)滿足插值條件h2n1(xk) yk k 0,1,2,l ,n (5 19)h2n i(xk) yk(5.19)如上求出的h2ni(x)稱為2n+1次hermite插 值函數(shù)，它與被插函數(shù)一般有更好的密合 度?；舅枷敕抡?lagrange 插值函數(shù)的構(gòu)造方法，先設(shè)定函數(shù)形式， 再利用插值條件求出插值函數(shù)。例 5 已知函數(shù) f (x) 的 4 個數(shù)值為f(1),f (1), f (1),f(2)試求f (x)的一個插值多項式p(x),這里p(x)滿足插值條件p(1) f (1),p (1) f (1),p (1) f

25、(1),p(2)f(2) 。 寫出 f (x) p(x) 的誤差估計式。解 因為有 4 個值，故取p( x )為三次多項式，令p(x)f(1)h1(x)f (1)h2(x) f (1)h3(x)f(2)h4(x)式中hi(x)(i1,2,3,4)都是三次多項式。由插值條件有當 x 1 時，得h1(1) 1,h2(1)h1(1) 0,h2(1)h1(1) 0,h2(1)當 x=2 時，可得h1(2)0, h2(2)利用hi(x)的4個值，hi 是三次多項式，可設(shè)0,h3(1) 0,h4(1) 01,h3(1) 0,h4(1) 00,h3(1) 1,h4(1) 00,h3(2)0, h4(2)11

26、,h1(1) 0,hi(1) 0,hi(2)。及 hi(x)h1(x) a(x 1)2 b(x 1) c(x 2)由 (1) 1,得 c = -1；由 hi(1) 0,得 b = -1;由 hi(1) 0,得 a =-1,于是有h1(x) (x 1)2 (x 1) 1(x 2) (x2 x 1)(2 x)同理可設(shè)h2(x) a(x 1) b(x 1)(x 2)h3(x) a(x 1)2(x 2)h4(x) a(x 1)3由 (x),h3(x),h4(x)在 x =1,x =2 的值可得h2(x)x(x 1)(x 2), h3(x)1(x 1)2(x 2), h4(x) (x 1)3于是所求2f

27、 (1)23p(x) f(1)(x x 1)(2 x) f(1)x(x 1)(x 2) la 1)(x 2) f(2)(x 1) 觀察余項在x=1, x=2的信息，可寫出誤差關(guān)系 為f ()3f(x) p(x) tax 1)3(x 2)(1,2)4!4.分段多項式插值被插函數(shù)f x 4在-5,5的n+1個等距節(jié)點 1 xxk 510k k 0,1,l ,nn計算出f(xk)獲得實驗數(shù)據(jù)后，可以得至uf(x)的lagrange插值多項式 ln(x)?？紤]卜5,5上的一點5x 5 n,分別取 n=2, 6, 10, 14, 18 計算 f(x)及相應(yīng)的誤差rn(幻，得下表n26101418f()0

28、.1379310.054463f 0.0470590.0443340.042920ln()0.7596150.6078791.5787215.33274320.123671rn()-0.621684-0.533416-1.531662-5.288409-20.080751易見隨n增加，r沒減小，卻增大。runge現(xiàn)象定義2則a, b上n+1個節(jié)點xka x0x1lxnb及函數(shù)值f(xk) yk, k 0,1,l ,n o若函數(shù)(x)滿足(x)在a, b上連續(xù)；(xk) yk (k=0, 1,，n)；(x)在每個小區(qū)間xk,xki是m次多項式則稱(x)為f(x)在a, b上的分段m次插值多項式。

29、基本思想將被插函數(shù)f(x)的插值節(jié)點由小到大排序，以每 對相鄰的兩個節(jié)點為端點獲得若干個小區(qū)間，然后在 每個小區(qū)間上都用f(x)的m次插值多項式作為f(x) 的近似函數(shù)。1）構(gòu)造原理（1）分段線性插值的構(gòu)造原理分段線性插值是定義2中的m=1情形。設(shè)xk,x-為 任何連個相鄰插值點，于是在人,1上分段線性插值 函數(shù)（x）是一次多項式。利用xk,xki上的插值數(shù)據(jù)xxkxk 1yykyk 1用n=1的lagrange插值構(gòu)造(x),于是有x xk 1x xk(x) k(x) yklo1(x) ykil11(x) yk yk 1xk xk 1xk 1 xkx xk，xk 1, k 0,1,l ,n

30、1 易驗證，(x)滿足定義2,故(x)是所求的分段線性 多項式插值。(2)分段三次hermite插值設(shè)xk,xki是任何兩個相鄰節(jié)點構(gòu)成的區(qū)間，在xk,xk 1上的插值數(shù)據(jù)為xxkxk 1yykyk iyykyk 1要使分段插值函數(shù)(x)滿足(x) yk, k(xki) yki, (xk) yk, (xk 1) yk 1且(x)在xk,xki是三次多項式，自然想到兩點 hermite插值公式。取對應(yīng)的兩點 hermite插值作為所求（x）在xk,xk i 上的插值多項式，有(x) k(x) yk 03(x)yk 1 13(x) yk 03(x) yk 1 13(x)x 4,xk 1, k 0,

31、1,l ,n 103(x) 1 ：(x13(x 1 力 q(心)2,03(x)(x xk)(i13(x)(x xk 1個2式中 hkxk 1 xk .此（x）滿足定義4.2,且在每點xk與數(shù)連續(xù)，在整 個區(qū)間a,b上還有連續(xù)與數(shù)，稱為 分段三次hermite 插值函數(shù)2)分析定理8假設(shè)出現(xiàn)在如下不等式中的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)存在，記h max (xk i人),則有00 k n 111.分段線性插值的誤差估計為h2r(x)| |f (x)(x)| -max|f (x)| x a,b8 a x b2.分段三次hermite插值函數(shù)的誤差估計為h4r(x)| |f (x)(x)| maxl f (4)(x

32、)| x a,b4! 2 a x b證明只對結(jié)果2給由證明，結(jié)果1可類似證明。由兩點的hermite插值余項可知，在區(qū)間44一 上，分段三次 hermite插值函數(shù)(x)與被插值函數(shù) f (x)的誤差關(guān)系式e(x)| |f(x)(x)|f(4)( )oo4！ (x xk)(x xk 1)x xk, xk 11. 2 . 2 ._ (4) . max (x xk) (x xk 1) max f (x) 4! xk x xk 1a x b又因為2214 hk hmax(x xk) (x x<1) z4(xki a)方不 xk x xk 122 2故對k= 0, 1,，n有|r3(x)| |f

33、(x)x a,b(刈 7h74 maxlf (4) (x)| 4! 2 a x b注意到上式右端與x屬于哪個小區(qū)間無關(guān)，這就證明 了結(jié)果2。分段插值的編程計算簡單，只要先編寫一個在任一 段上的低次插值通用子程序，然后根據(jù)要計算的自變 %勺值選定所屬的子區(qū)間，再調(diào)用子程序計算即可。5. 三次樣條插值分段線性插值在連接點處常有“尖點”出現(xiàn)；分段三次 hermite 插值在連接點處不一定曲率連續(xù)，且要求知道所有節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)值。能否找到只用節(jié)點的函數(shù)值和一些較少的信息就可以構(gòu)造出具有更好幾何特性的分段插值函數(shù)呢？三次樣條插值給出了肯定的回答。樣條（ spline） 是一種細長有彈性的軟木條， 常用

34、來做工程設(shè)計中的繪圖工具繪出一條光滑曲線。將它進行數(shù)學描述，就得到如下三次樣條函數(shù)的定義。定義3設(shè)函數(shù)s(x)定義在區(qū)間a,b上,對給定a,b 的一個分劃: a x0x1lxn b若 s(x) 滿足下列條件s(x)在a,b上有二階連續(xù)與數(shù)；s(x)在每個小區(qū)間都是一個三次多項式。則稱函數(shù)s(x)是關(guān)于分劃的一個三次樣條函數(shù)，若 同時還滿足 s(xk) f(xk) (k 0,1,l ,n)則稱s(x)是f(x)在a,b上關(guān)于劃分的三次樣條插 值函數(shù) ?；舅枷肜萌螛訔l插值函數(shù)定義的條件及在內(nèi)節(jié)點x1,x2,l ,xn 1的函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性質(zhì)，建立關(guān)系式來確定樣條插值函數(shù)。1) 構(gòu)造原理要知

35、道的事情：1 .三次樣條插值函數(shù)s(x) 在每個xk,xk 1上都是三次多項式，故在每個xk,xk 1上有 4 個待定系數(shù)；2 .因為共有n個小區(qū)間，故s(x)共有4n個待定系數(shù)要確定；3 .s(x)在n-1個內(nèi)結(jié)點有直到二階的連續(xù)與數(shù)，可以得到 3(n 1)個條件；4.由插值條件可有n+1個條件故共有4n-2個條件，要想唯一確定s(x)還應(yīng)另加兩個條件才行。三次樣條函數(shù)插值常引入邊界條件來作為所需的兩個條件。常用的邊界條件有如下三類i )給定兩個端點二階導(dǎo)數(shù)值f (xo), f (xn),并令s''(x0)f''(x0),s''(xn)f &#

36、39;'(xn)f (x0)f (xn)0 時，稱為 自然邊界條件 。ii )給定兩個端點一階與數(shù)值f (%), f (4),并令 s(x0) f (x0),s(xn) f (xn)田)給定 s(xo)s(xn),s(xo) s(xn),s(xo) s(4)第m類邊界條件稱為周期性邊界條件，專用于f (x) 是以xn x0 為周期的函數(shù)的樣條插值。構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)s(x)的m方法推導(dǎo)過程：設(shè) hk xk 1 xk , mk s (xk)(k 0,1,l,n),考慮在 任一個小區(qū)間xk,xk i上s(x)的表示形式。由定義，s(x)是三次多項式，故$ (外在以卜/是一次多項式，可以表

37、示為s(x)mkxk 1hkx xk mk ikhkx xk，xki做兩次積分，并利用s(xk) f(xk),s(xki) f(xki),有s(x)mk(xk i x)36hk(x xk)3mkj(f (xk)6hk(f(xk i)2m k 1hk )6xxkhkx xk,xki于是只要求出mk(k 0，1，l ,n),就求得了 s(x)求mk的處理方法利用在內(nèi)節(jié)點處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件來做由式s(x)表達關(guān)系有s(x)(xk 1 x)mj"1)k24一 (x xk)2mk1k 1 2hkfxk，xk 1mk1 mk hhk6kx xk,xk 1 (k 0,1,l ,n 1)s(xk

38、0)hkm k f xk,xk 1 mjlj-mk hk26hm m k .s(xk 1 0) m k 1 f xk，xk 1hk26再由 sx 0) s(xk 0),得若令kmki 2mk kmki dk(k 1,2,l ,n 1)k - k 1 ， k 1k，d k 6 f xk 1, xk，xk 1 hk 1 hk對n型邊界條件，可得另外兩個方程為6 ,2mo m1 丁(f%,xj f (xo)ho6 ，mn 1 2mn (f (xn) fxn 1,xn)hn1661, xn)o 1,do(fx。， f (x。)，n 1,dn(f(xn) fxnhohn 1則mo,mi,l ,mn的關(guān)系

39、式可寫為矩陣形式mom1mmnmnd0dimdn 1dn對i型邊界條件，由于m。與mn已知，可得方程組222oom1m2mmnmndn1 f ( x0 ) d2mdn 2n 1 f ( xn )對m型邊界條件，由2122m n 可得方程組oom1m2mmnmnd1 d2m dn 1 dn都稱為 m 關(guān)系式 ，易驗證它們都是嚴格對角占優(yōu)的。求三次樣條插值函數(shù)的算法計算出 k, k,dk(k=0 , 1 ,，n)；對不同的邊界條件選擇相應(yīng)的m關(guān)系式，并進行求解，得m0,mi,l ,mn的值；求三次樣條插值函數(shù)s(x)。定理9 設(shè)f(x)在a,b上有4階與數(shù)，s(x)是具有邊界條件i或口的三次樣條插

40、值函數(shù)，則有估計式if s|鬻叫if s|加i 38424,2|f s| h-|f(4)l h nmax hk 80 k n 15.4曲線擬合法曲線擬合也是一種求近似函數(shù)的方法，本節(jié)主要介 紹線性最小二乘擬合方法，這里的線性指所求的擬合 函數(shù)是某些已知函數(shù)組o(x), i(x),l , m(x)的線性組合。該方法是曲線擬合中最簡單最常用的方法。記mm span 0, i,l m (x) (x)ak k(x),ak rk 0m常稱為擬合函數(shù)類，m中的函數(shù)0(x)，l，m(x)稱為 基函數(shù)，它們應(yīng)該是線性無關(guān)的。k ,若m中的基函數(shù)k(x) x (k 0,1l ,m)，則m就 是m次多項式函數(shù)類。

41、由離散數(shù)據(jù)獲得的曲線擬合函數(shù)稱為 經(jīng)驗公式基本思想根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點yif (xi) (i 0,1,l ,n) ，選擇合適的擬合函數(shù)類m ， 再利用最小二乘法確定具體的擬合函數(shù)。1.構(gòu)造原理設(shè)所求的擬合函數(shù)(x) m span 0，i，l , m ,則有 m(x)ak k(x) ak rk 0為確定系數(shù)ao，ai,l,am,考慮函數(shù)f(x)與(x)在節(jié)點xo,xi,l ,xn處差的平方加權(quán)和 n 2s(ao，ai，l ,am)k(f(xq(xq)k 0 nm2 k(f(xk)ai i(xk)k 0i 0式中k (k 0,1,l ,n)是已知的數(shù)。由極值必要條件有 qnm 2k(f(xk)a i(

42、xk) j(%) 0 (j 0,1,l ,m)aj k 0i 0化簡得到關(guān)于系數(shù)a0，a1，l ,am的線性方程組:m naii 0 k 0k i(xk) j(xk)kf(xk) j(xk)(j 0,1,l ,m)弓i入內(nèi)積符后(h,g)k 0kh(xk)g(xk) ,上式可寫為(0 , 0)(1,0)m(m, 0)(0, 1)(1, l)m(m, 1)llml(0,(1,a0 ai mam,f) ,f) m f)k 0這個方程組稱為法方程組或正規(guī)方程組o可以證明當0(x), 1(x),l , m(x)線性無關(guān)時，法、一一 > 一 k_> 一，、k八，.*_*萬程組是對稱正7e的，

43、因此有唯一解a0,a1,l ,amo于是多元函數(shù)s(a0,ai,l ,am)有唯一駐點。注意 到s(a0,ai,l oj的最小值是存在的，因此 a0,a*,l a 就是s(a0,ai,l ,am)的最小值點，從而函數(shù) m*(x)ak k(x)k 0就是所要的曲線擬合函數(shù)。討論的問題歸為求解法方程組問題。定義5 設(shè)m span 0, i,l , m ,給定n+1個節(jié)點xk(k0,1,l ,n),若有函數(shù)*( x) m ,滿足nn-2_2k(f(xk)*( xk)mink(f(xk)(xk)k 0k 0則稱*( x)為f (x)在n+1個節(jié)點x0，x1，l ，xn上關(guān)于 權(quán)0，1，l , n的最小

44、二乘解，而稱求*(刈的方法為 最小二乘法。曲線擬合的誤差 常用所求出的擬合函數(shù)在所給擬合點與被擬合函數(shù)誤差加權(quán)平方和 n*2s(a0,ai，l a)i(f(xj(4)i 0來表示，它稱為平方誤差。求曲線擬合的算法1)由數(shù)據(jù)點(xk,f(%)(k 0,1,l ,n)繪出散點圖；2)選擇合適的擬合函數(shù)類m ;3)構(gòu)造對應(yīng)的法方程組，并求解得到具體的擬合 函數(shù)。2.分析當 m span °, i,lm是多項式集時，由xk，f（xk） k0求出的最小二乘解稱為最小二乘多項式。時，擬合函數(shù)（x）mkakxk 0（m次多項式）對應(yīng)的法方程組為nnnnixi ilmx i iixi 0i 0i 0

45、a0i 0nnnn2lm 1xixixiaiixi yii 0i 0i 0mi 0mmmmmnnnamnmm 1l2mmixiixiixiix yi 0i 0i 0i 0在m 4可用來最小二乘多項式，但當m>4時,它往往是病態(tài)的，不能用最小二乘多項式為避免病態(tài)，把基函數(shù)組0(x), 1(x),l , m(x)選為正交函數(shù)組即可。定義4.6設(shè)函數(shù)組k(x) (k 0,1,l ,m)在區(qū)間a,b上有定義，點集x (i 0,1,l ,n) a,b,權(quán)系數(shù) i 0(i 0,1,l ,n),如果內(nèi)積n 2(k, j) i k(x) j(x)kjrk ,k 0(k, j 0,1,l ,m)i 0則稱

46、函數(shù)組0(x), i(x),l , m(x)是關(guān)于x0,xi,k ,xn的帶權(quán)正交函數(shù)組。比較向量正交定義!當 0(x)，1(x)，l，m(x)是關(guān)于 x0,xi，k ,xn 的帶權(quán)正交函數(shù)組時，其法方程組就變?yōu)閷欠匠探Mb2ao( 0, f)ri2d( i, f)0mm rm am( m，f )它不涉及病態(tài)方程組問題，可以很容易解出ak (k,f)/rk2(k 0,1,l ,m)其對應(yīng)的最小二乘解m ( , f)*( x)jf) k(x)k 0 rk用gram-schmidt正交化方法構(gòu)造正交函數(shù)n組的算法，其中符號(k, j) i k() j()o i 0gram-schmidt正交化算法

47、1)0(x) 1, i(x) x - (x 0, 0)(0, 0)2)對 j 1,2,l ,m 1(j, j)(j 1, j 1) (x j, j) j 1( j, j)j i(x) x j 1 j(x) j j i(x)該算法得到首項系數(shù)為1的關(guān)于點集x0,x1,l ,xn的帶權(quán)正交多項式組0, i(x),l , m(x)當曲線擬合函數(shù)是m次多項式時，稱為m次 擬合曲線。例7給定數(shù)據(jù)表xi-3-1013yi-1.21.31.51.92求二次擬合曲線。解 求二次擬合曲線就是求2 次最小二乘多項式，由于沒給出權(quán)系數(shù)，可選i 1(i0，1,，4)。下面用兩種方法求解。方法 1 取基函數(shù)0(x) 1

48、，1(x) x ，2(x) x2 ， 則二次擬合曲線函數(shù)形式為(x)a0 a1 x a2x25.510.210.40.1381 ，故所求二次本題有 5 對數(shù)據(jù)，故n 4 ，計算得法方程組5020a00 200a120 0 164 a2解之得a0* 1.6524 ， a1*0.51， a2*擬合曲線為*(x) 1.6524 0.51x 0.1381x2方法 2 選用正交基函數(shù)cram schmidt 正交化算法，有0(x) 1 ， r02 ( 0, 0)1 5 ， (x 0, 0)xi0 ，(x 0 , 0) /( 0 , 0 ) 0 ，1 x x (x 0, 0)/( 0 , 0 ) x 0

49、0 ，r12 ( 1, 1)xi2 201( 1, 1)/( 0, 0)4,22 x(x2) 1( x)1 0(x)(x 1, 1)/( 1, 1)x3 /20 02222x 4, 2( 2, 2)(xi 4)84(0,y) v 5.5, ( 1,y)為yi10.2，(2,y)(x2 4)yi11.6故有c*( 0, y)a0205.51.1*a1(1,y)210.20.5120a2 了胃 0.1381,所求的二次擬合曲線為 284(x) 1.1 0.51x 0.1381(x2 4)3.可用線性最小二乘擬合求解的非線性擬合類型1）指數(shù)曲線擬合此時的擬合函數(shù)具有形式bx ae（a, b為待定常數(shù)）對（x）取自然對數(shù)，有l(wèi)n (x) ln a bx令p(x) in (x), a lna,則有線性模型:p(x) a bx用本節(jié)方法求出其最小二乘解p*(