高中數(shù)學(xué)公式匯總ppt課件

1、1高中數(shù)學(xué)重要公式 231.集合與元素 一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集，通常用大寫字母A、B、C表示.集合中的每一對象叫做集合的一個元素，通常用小寫字母a、b、c表示。2.集合中元素的性質(zhì) 確定性、互異性、無序性確定性、互異性、無序性3.集合的表示法列舉法、描述法、圖示法列舉法、描述法、圖示法4兩個集合A與B之間的關(guān)系：定義性質(zhì)子集如果集合A的任何一個元素都是集合B 的元素，那么集合A叫集合B 的子集，記為A B(或或B A).A A; A;若若A B,B C,則則A C;5定義性質(zhì)真子集 如果A是B 的子集，且B 中至少有一個元素不屬于A，那么集合A是集合B 的真子集

2、，記為A B(或B A).若A B,B C,則A C集合相等 對于兩個集合A與B，若A B 且B A，則這兩個集合相等，記為A=B.兩個非空集合相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的元素完全相同.6空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.7 7常用數(shù)集的記法：數(shù)集自然數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集記法NN*或或N N+ +ZQRC8集合的運算及運算性質(zhì)定義性質(zhì)與說明交集由所有屬于集合由所有屬于集合A 屬于集合屬于集合B的元素所組成的集的元素所組成的集合，叫合，叫A與與B的交集，記作的交集，記作AB，即，即AB= AA=AA =AB=BA且且x|xA且且

3、xB9定義定義性質(zhì)與說明性質(zhì)與說明并集并集由屬于集合由屬于集合A 屬于集合屬于集合B的元素組成的集合叫的元素組成的集合叫A與與B的并集，記作的并集，記作AB，即，即AB= .AA=AA =AAB=BA補集補集設(shè)全集為設(shè)全集為U，A是是U的一個子集，由的一個子集，由U中所有不屬中所有不屬于于A的元素組成的集合叫的元素組成的集合叫A在在U中的補集，記作中的補集，記作 UA，即，即 UA= .A UA=U A UA= U（ UA）=A或或x|xA或或xBx|xU且且x A10其它常用結(jié)論其它常用結(jié)論:11 有限集合的子集個數(shù)公式 設(shè)有限集合A中有n個元素，則A的子集個數(shù)有2n 個其中真子集的個數(shù)為2

4、n-1個，非空子集個數(shù)為2n-1個，非空真子集個數(shù)為2n-2個12若 p, 則 q 若 q, 則 p若p, 則q若q, 則p1314l簡單命題與復(fù)合命題l）區(qū)別：是否有邏輯聯(lián)結(jié)詞l）復(fù)合命題的構(gòu)成形式：lP P或或Q PQ Q PQ l P P且且Q PQ Q PQ l 非非P P p p 15pq非非pp且且qp或或q真真真真 假假真真真真真真假假假假假假真真假假真真真真假假真真假假假假真真假假假假非非p真假相反真假相反p且且q一假必假一假必假p或或q一真必真一真必真1617既不充分也不必要條件充分且必要條件1）A B且且B A，則，則A是是B的的2）若）若A B且且B A，則，則A是是B的

5、的3 3）若）若A BA B且且B AB A，則，則A A是是B B的的4）A B且且B A，則，則A是是B的的181922124.( )(0)( )()(0)( )()()(0).5.( )0( , )( ) ( )0.f xaxbxc af xa xhk af xa xxxxaf xa bf a f b二次函數(shù)的三種形式：一般式：；頂點式：；零點式：零點存在的判定：方程在內(nèi)有實根的充分非必要條件是206 6、函數(shù)單調(diào)性的判定方法、函數(shù)單調(diào)性的判定方法1.定義法:2.導(dǎo)數(shù)法:3.圖像法:4.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定:5.和函數(shù)單調(diào)性的判定:21在單調(diào)區(qū)間上, 增函數(shù)的圖象自左向右看是上升的, 減

6、函數(shù)的圖象自左向右看是下降的.注: 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間;函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是連續(xù)區(qū)間, 若區(qū)間不連續(xù), 用逗號隔開寫.22 7.( )()()(2)( ).8.12.yf xxaf axf axfaxf xf xfxf xf xfxf xfxf x 函數(shù)的對稱性：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱函數(shù)的奇偶性：是奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱；是偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱23 9.10T0T=4a;30T=2a;T4T.f xTf xTf xf xf xxa af xf xf xxa af xf xfx函數(shù)的周期性：是周期函數(shù)，且周期為 ；2為奇函數(shù)且關(guān)于對稱是周期函數(shù)，且周期為偶函數(shù)且關(guān)于對稱是周期函

7、數(shù)，且周期周期為0 周期為24冪的有關(guān)概念:(1)正整數(shù)指數(shù)冪(2)零指數(shù)冪(3)負整數(shù)指數(shù)冪(4)正分數(shù)指數(shù)冪(5)負分數(shù)指數(shù)冪(6)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義)(Nnaaaaann 個)0(10aa10,nnaanNa0,1mnmnaaam nNn110,1mnmnmnaam nNnaa25有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì): 10, ,rsr sa aaar sQ 20, ,srrsaaar sQ 30,0,rrraba babrQ(4)()rrraabb(5)rr ssaaa26loglog(0,1,0).logloglogloglog1loglog;loglogamnbaNnm

8、aaamnaaabNbaN aaNNNnNbbambbba11.指數(shù)式與對數(shù)式的互化：12.對數(shù)恒等式：a13.換底公式及其推論：；27log 10;log1.log ()logloglogloglogloglog()aaaaaaaanaaaMNMNMMNNMnM nR14.對數(shù)的性質(zhì)：15.對數(shù)運算法則：；28a1a10a10a0 x0時，時，y1.y1. 當(dāng)當(dāng)x0 x0時，時，0y1.0yoxo時，時，0y1,0y1,當(dāng)當(dāng)x0 x1.y1.xyo1xyo1;. 當(dāng)當(dāng)x1時，時，y0 當(dāng)當(dāng)x=1時，時，y=0 當(dāng)當(dāng)0 x1時，時，y1時，時，y0 當(dāng)當(dāng)x=1時，時，y=0 當(dāng)當(dāng)0 x0 29

9、30311、一般數(shù)列、一般數(shù)列數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式 數(shù)列的前數(shù)列的前n項和項和 )2() 1(111nSSnSaannnnnaaaaS 321322、等差數(shù)列 等差數(shù)列的判定方法:定義法：對于數(shù)列an,若 則數(shù)列是等差數(shù)列 .daann133 等差數(shù)列的通項公式 dnaan) 1(1 等差數(shù)列的前n項和 2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(134 等差中項如果如果a，A，b成等差數(shù)列，那么成等差數(shù)列，那么A叫做叫做a與與b的等的等差中項。即：差中項。即：2A=a+b 或或 2baA35等差數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果：如果 是等差數(shù)列的第是

10、等差數(shù)列的第 項，項， 是等差數(shù)列的第是等差數(shù)列的第 項，項，且且 ，公差為，公差為 ，則有，則有 nanmamnm ddmnaamn)( 2.對于對于等差等差數(shù)列數(shù)列 ，若，若 ， 則則 naqpmnqpmnaaaa3若數(shù)列若數(shù)列 是等差數(shù)列，是等差數(shù)列， 是其前是其前n項的和，項的和， ，那么，那么 ， ， 成等差數(shù)列成等差數(shù)列 nanS*Nk kSkkSS2kkSS23363、等比數(shù)列、等比數(shù)列等比數(shù)列的判定方法:1 定義法：對于數(shù)列定義法：對于數(shù)列an ，若，若 ，則數(shù)列，則數(shù)列an是等比數(shù)列。是等比數(shù)列。 2等比中項法：對于數(shù)列等比中項法：對于數(shù)列an ，若，若 ，則數(shù)列，則數(shù)列an

11、是等比數(shù)列是等比數(shù)列 .)0(1qqaann212nnnaaa37 等比中項如果在如果在a與與b之間插入一個數(shù)之間插入一個數(shù)G，使，使a，G，b成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，那么那么G叫做叫做a與與b的等比中項。即的等比中項。即 abG2 等比數(shù)列的通項公式 11nnqaa等比數(shù)列的前n項和 當(dāng)當(dāng) 時時 ) 1(1)1 (1qqqaSnn) 1(11qqqaaSnn1q1naSn38 等比數(shù)列的性質(zhì)1等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果：如果 是等是等比比數(shù)列的第數(shù)列的第m項，項， 是等比數(shù)列的第是等比數(shù)列的第n項，且項，且 ，公，公比比為為q，則有，則有2.對于對于等比等比數(shù)列，

12、若數(shù)列，若 ，則，則 namanm mnmnqaavumnvumnaaaa3若數(shù)列若數(shù)列an是等是等比比數(shù)列，數(shù)列，Sn是其前是其前n項的和，那么項的和，那么 ， ， 成等成等比比數(shù)列數(shù)列 kSkkSS2kkSS233922.數(shù)列通項的求法： 121321321111annnnnnnnnnSaf naaaaaaaaf naaaaaaaaaabn+1n+12n+1已知式與有關(guān)時，常用。2 遞推關(guān)系為a時，常用。即a3 遞推關(guān)系為時，常用。即4 遞推關(guān)系為a姊妹式法累加法累時，常用乘法構(gòu)造法。40n23.求數(shù)列前n項和S 的常用方法： 15倒序相加法2 錯位相減法3 裂項相消法4 分組求和法并項求

13、和法21nnaaa1適合a形式的數(shù)列適合差比數(shù)列. 1naf nf n適合通項的數(shù)列.nnnabc適合通項的數(shù)列.n適合通項帶有 -1 的數(shù)列.41421.把角度換成弧度2.把弧度換成角度43二、弧長公式與扇形面積公式1 1、弧長公式：、弧長公式：= rl2 2、扇形面積公式：、扇形面積公式：S=12 rlS=12 r2RL44二 . 任意角的三角函數(shù)設(shè)設(shè)是一個任意角是一個任意角,的終邊上任意一點的終邊上任意一點p(除端點外除端點外)的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(x,y),它與原點的距它與原點的距離是離是r2222(0)rxyxyyxxryrxyrxrycot,sec,csctan,cos,sin45yx

14、osin0cos00cottan0sin0tan00cotc0os46tancot1sincsc1cossec1coscotsinsintancos22sincos122tan1sec 22cot1csc 倒數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系平方關(guān)系47、特殊角的三角函數(shù)值、特殊角的三角函數(shù)值48誘導(dǎo)公式：,:2符號看象限奇變偶不變口訣為的各三角函數(shù)值的化簡誘導(dǎo)公式是針對k例：)23sin(cos)2cos(sin)sin(sin)cos(cos49sin()sincos()costan()tan sin(2 )sincos(2 )costan(2 )tankkk sin()sincos()costan()tan

15、 sin()cos2cos()sin2 sin()cos2cos()sin2 3sin()cos23cos()sin2 3sin()cos23cos()sin2 sin()sincos()costan()tan 奇變偶不變，符號看象限502227.sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan().1tantan28.3sincos2sin,sin3cos2sin;63sincos2sin; sincoss4xxxxxxxxxabab兩角和與差公式：；化單角單函數(shù)公式：2222in()cos,sin.ababab其中512222222222222229.

16、sin2sincoscos2cossin2cos11 2sin2tantan2.1tan30.2sinsinsin31.2cos2cos2cos .11132.sinsinsin222abcRABCabcbcAbcacaBcababCSabCbcAcaB 倍角公式：；正弦定理：余弦定理：；面積定理：2abcss sasbscs其中52降冪公式21 cos2cos221 cos2sin253三角變換一般技巧有: 切化弦 降次 誘導(dǎo)公式變角 輔助角變換公式 妙用1 分子分母同乘(除)一個數(shù) 54圖象圖象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性性質(zhì)質(zhì)定義域定義域RR值值

17、域域-1，1-1，1周期性周期性T=2T=2奇偶性奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性單調(diào)性增函數(shù)22 ,22kk減函數(shù)232 ,22kk增函數(shù)2 ,2kk減函數(shù)2 ,2kko三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)55正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=tanx圖圖象象22 xyo2323定義域定義域值域值域,2|NkkxxR奇偶性奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)周期性周期性T單調(diào)性單調(diào)性)(2,2(Zkkk56xysin第一種變換第一種變換: 圖象向左圖象向左( ) 或或向右向右( ) 平移平移 個單位個單位 00|)sin(xy橫坐標(biāo)伸長橫坐標(biāo)伸長( )或縮短或縮短( )到原來的到原來的 倍倍 縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)不變1101)sin(

18、xy縱坐標(biāo)伸長縱坐標(biāo)伸長(A1 )或縮短或縮短( 0A1 )或縮短或縮短( 0A0)的圖象的圖象ax2+bx+c=0(a0)的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集x1x2xyOyxOx1yxO0=00有兩相異實根有兩相異實根x1, x2 (x1x2)有兩相等實根有兩相等實根 x1=x2=ab2沒有實根沒有實根x|xx2x|x1 x 0 xyabab2222+=1 0 xyabba222=+abc12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc不不 同同 點點相相 同同 點點xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO74O x F1 F2 A

19、2B1 B2 y A1(-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) c2c7522221(0)xyabab|x| a,|y| b|x| b,|y| a（ a ,0 ）,(0, b)（ b ,0 ）,(0, a)(c,0)(0, c)cea)0( 12222babxay湖南省婁底市第一中學(xué)湖南省婁底市第一中學(xué)76關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點對稱軸、原點對稱圖形圖形方程方程范圍范圍對稱性對稱性頂點頂點離心率離心率1 (0)xyabab22222222A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a） 1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yaya x

20、R ，或或關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點對稱軸、原點對稱 (1)ceea 漸近線漸近線ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c) x axa y R ，或或 (1)ceea byxa 77圖圖 形形方程方程焦點焦點準線準線范圍范圍頂點頂點對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2py178121 2

21、222200002222121256.MFMF22FF57.(,)1(0)1.58.| 2 ,(02|)59.aaxyxyP xyabababMFMFaaFF2橢圓的定義：點在橢圓內(nèi)的充要條件：點在橢圓內(nèi)雙曲線的定義：圓錐曲線的通徑：2b橢圓、雙曲線的通徑長為；拋物線的通徑長為2p.a792121ABkxx21221241xxxxk）（80 66.1 .2 .解決直線與圓錐曲線關(guān)系問題的常用方法：設(shè)而不求，整體代入 適合中點弦問題曲直聯(lián)立，韋達定理 適合一般問題8182S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè)= =chchS正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)ch21 S全全=S側(cè)側(cè)+S底底S正棱錐臺正棱錐臺S球球=4R2.)hc(c

22、21 2Srh圓柱側(cè)Srl圓錐側(cè)()SrR l圓臺側(cè)注：注：83V棱棱柱柱= Sh1034CBACBA8413VSh8567.證線線平行的方法1.若有線面平行，且經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交，則這條直線與交線平行；若有線面平行，且經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交，則這條直線與交線平行；2.若有面面平行，且都與第三個平面相交，則交線平行；若有面面平行，且都與第三個平面相交，則交線平行；3.利用平行線的傳遞性；利用平行線的傳遞性；4.證明兩直線垂直于同一平面；證明兩直線垂直于同一平面；5.證明兩直線的方向向量是共線向量證明兩直線的方向向量是共線向量.8668.證線面平行的方法1.證明平面外的一

23、條直線與平面內(nèi)的一條直線平行；證明平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行；2.若有面面平行；則一個平面內(nèi)的任何一條直線都與另一平面平行；若有面面平行；則一個平面內(nèi)的任何一條直線都與另一平面平行；3.證明平面的法向量與直線的方向向量垂直；證明平面的法向量與直線的方向向量垂直；4.證明直線的方向向量與平面的兩相交直線的方向向量是共面向量證明直線的方向向量與平面的兩相交直線的方向向量是共面向量.8769.證面面平行的方法1.證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線；證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線；2.證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一

24、個平面；證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面；3.利用平行平面的傳遞性；利用平行平面的傳遞性；4.證明兩平面都垂直于同一直線；證明兩平面都垂直于同一直線；5.證明兩平面的法向量是共線向量證明兩平面的法向量是共線向量.8870.證線線垂直的方法1.利用三垂線定理；利用三垂線定理；2.若線面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的一切直線；若線面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的一切直線；3.證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零.8971.證線面垂直的方法1. 證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；2. 若面面垂直，經(jīng)過一個平面內(nèi)

25、的一點垂直與交線的直線與另一個平面垂直；若面面垂直，經(jīng)過一個平面內(nèi)的一點垂直與交線的直線與另一個平面垂直；3.若平行線中的一條與平面垂直；則另一條也與這個平面垂直；若平行線中的一條與平面垂直；則另一條也與這個平面垂直；4.證明直線的方向向量與平面的法向量共線證明直線的方向向量與平面的法向量共線.9072.證面面垂直的方法：1.證明一個平面的垂線經(jīng)過另一個平面；證明一個平面的垂線經(jīng)過另一個平面；2.證明兩平面的法向量垂直證明兩平面的法向量垂直.91 1212121273.cos.PA2 .sin.ncos3 .ncos.a ba bnPA nnn nnn n 用向量法求空間角：1 .異面直線所成

26、的角：直線與平面所成的角：當(dāng) 為銳角時，二面角：當(dāng) 為鈍角時92 2222279.480.14;2abcRR2長方體與外接球：正方體與球：正方體與外接球：3a正方體與內(nèi)切球：a=2R.939412n1281.N=m +m +m .82.83.(1)(2)(1).()84.(1)(1)1 2()nmnmmnnmmNmmmnAn nnnmnmAn nnmnCAmmnm 分類計數(shù)原理：分步計數(shù)原理：排列數(shù)公式：！組合數(shù)公式：！95 1185.12.mn mnnmmmnnnCCccc組合數(shù)的兩個性質(zhì)：；96970112221012186.()(012).87.CCCC288.222nnnnrn rrn

27、nnnnnnrn rrrnnnnnnnnnabC aC abC abC abC bTC ab rn二項式定理及通項：；通項：， ，各二項式系數(shù)的和：奇數(shù)項與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：0 02 21 13 3n nn nn nn nC CC CC CC C9899 1289.P A+BP AP B .90.P ABP A P B .91.A( )(1).92.10(1,2,)21.kkn knninP kC PPPiPP兩個互斥事件有一個發(fā)生的概率：兩個獨立事件同時發(fā)生的概率：在 次獨立重復(fù)試驗中，事件 恰有k次發(fā)生的概率：離散型隨機變量的兩個性質(zhì)：；100 1 1222221122293.94.()( )2,.95.96.12,(1).nnnnEx Px Px PE abaEbB n pEnpDxEpxEpxEpDD aba DB n pDnpp 數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：1； 如果方差與標(biāo)準差：方差的性質(zhì)：； 如果101 2226112221197.1,.2 698.xnniiiiiinniiiif xexxxyyx ynx ybyabxxxxnxaybx 正態(tài)密度函數(shù)：回歸方程：；其中102103 199.10;2 ()();3 (sin )c