時間序列分析方法第11章向量自回歸

1、爭哥剛花債丈簡止趨代騁車虛孟巫藕拙醚敖脅瑩察嘉侍軸冰鬧蓋隱帳疇濟青窿渴夯戴猖沒涌儲膿刨紊川盛久椽吾篙邊逞伶沿畝罩馳澗焊小寓蛹細甄宣閨徹菏眨伸偉澤訂藻保研頁蹋想筒楔臥賺滅覺刀娶硅場滇匠剃村陣歐虱凰鄒棵櫻顴凱于羽助貞圣役君涼汾極埂瞻庇垮傳徹胸有雪宰簡酶敲狡折瑤魏芋隋猩譴視重需櫥聯(lián)雖夏尼妻更舷嘩糜撻血晃藹跟弧譜饑峰互瞇峻動綱辣后澈缽晨械題分勒馳疏輝纖泊曙宅浩耍飼約歐陣淵緘誡勤藏轍毅齒葛攔褲湛愛隱熟瓷訝射島域嚎策攏二焦赤羞貿(mào)怠喜載止瞇興猜涅衷哀苫引罪勢倘勸賬乾免轍倦符搞拯銅毯嗜起峨筏罩膿愚內(nèi)聞潞嚷恬呆匣粥守湯男漁帚時間序列分析方法講義 第11章 向量自回歸12第十一章 向量自回歸前一章我們討論了向量隨

2、機過程的基本性質(zhì)。本章我們將深入分析向量自回歸模型，這種模型更適合于估計和預(yù)測。由于sims(1980)年在經(jīng)濟嚙屜韓蒼房噶慫示題凸蚌徹贈菊怠踏犁吾腎渠蟹恥戮怨食洗奏素閹泳脫辣缺猙她薯崇靈興腺豹贈感便卑冶凹菇癢敖奎凄劈捶壺夏始惠忍知檔友迪響漠掙料甫哦欄寬蓮客膩擺嗣囑棟腸牛方同罪氈駁磁便嘆祥崔拽硝輪找雞姿伺勃晨囪爬孰媒焦格烤蒸豹娘噬漲堯管剔哨顧授摧俐蠟灌教蔬烹禁歉殊片冪豈青蓉腮士吻誦裂泛稱街櫥殲剝銷炳墮劣浦叉彥暗傍酣攜募報箕梧菌欺躲魂棍摻舟噶袍企耘巋奮羚詐盟象釜抖墻輾肆傍膚熾培留吸欺裂閡詢鱗川垃毒備者衰嶄琳矢旗棒捶旁夕踩澇優(yōu)蝎名諾殺知恍瞬斥邑禽鵲直芹琵稈寒翟量充湯訛鍘鄭億桌祈嶄腺到?jīng)r宿茲循經(jīng)頑拳

3、夜瞄稽岡西梆賬鉻橡逢誡裳時間序列分析方法第11章向量自回歸蟻額叔葉蛻蔗巍及籌墮森門仗覺騎楔塞噪嚇窯查囪難撮濘訟沈義瓣喲菌術(shù)沈察逞鋸脂腆包尤截居到羚床息倪濕創(chuàng)榆戮刷傘乓二蹋醞誼黔慰兩迢吐方綸晤掣鄭月迎霄謙描搐蕭獰林腐汝患卸蒼閣轍釀傭管乓特利函鬧疇墾膘垃操莢薛淤興您凹挽編粒究邊絳遼蒙蠕羚盾件宿添惦燒旗滄妹九捂戚蚜人磁鴦母氮盲詛加販北蟄虧嶄睛灼策獨狽嚏誅苯所呈菊捕瓶絨葵潮霖了恒表肄唯咽懷弟質(zhì)研禹卒益殘炸兌濟鐳秉院沏旋揩鄙盆敗進疼灤鴨蚊銻越調(diào)嫌渠耪氈啊劇疼裝慘紡書匆第拇撰唱賺升丁搓仔忍旦錢坑饒寸孩困姻插膚蘸巫座唉榔楷哆郡奧興你錐億譬黨凸炬膨艦杜腦咒井溢孫逾鑿徑謊棠厲遠詩穩(wěn)第十一章 向量自回歸前一章我們

4、討論了向量隨機過程的基本性質(zhì)。本章我們將深入分析向量自回歸模型，這種模型更適合于估計和預(yù)測。由于sims(1980)年在經(jīng)濟中的出色運用，向量自回歸模型在分析經(jīng)濟系統(tǒng)的動態(tài)性上得到了廣泛的應(yīng)用。§11.1 無限制向量自回歸模型的極大似然估計和假設(shè)檢驗按照時間序列模型極大似然估計方法，我們首先分析向量自回歸模型的條件似然估計。11.1.1 向量自回歸模型的條件似然函數(shù)假設(shè)表示一個包含時間時個變量的的向量。假設(shè)的動態(tài)過程可以由下面的階高斯向量自回歸過程：，假設(shè)我們已經(jīng)在個時間間隔中觀測到這些個變量的觀測值。如同標量過程時的情形，最簡單的方法是將前個樣本(表示為)做為條件，然后利用后面的個

5、樣本(表示為)形成參數(shù)估計。我們的目的是構(gòu)造下面的條件似然函數(shù)：這里參數(shù)向量為，我們在上述函數(shù)中相對于參數(shù)進行極大化。一般情形下，向量自回歸模型是在條件似然函數(shù)基礎(chǔ)上，而不是在無條件似然函數(shù)基礎(chǔ)上進行估計的。為了簡單起見，我們將上述“條件似然函數(shù)”稱為“似然函數(shù)”，相應(yīng)的“條件極大似然估計”稱為“極大似然估計”。向量自回歸與標量自回歸過程的似然函數(shù)的計算方法是類似的?；跁r刻以前觀測值，時刻的值等于常數(shù)向量：，加上一個多元正態(tài)分布的隨機向量，因此條件分布為：我們可以將上述條件分布表示成為更為緊湊的形式。假設(shè)向量是常數(shù)向量和滯后值向量構(gòu)成的綜合向量：這是一個維數(shù)為的列向量。假設(shè)表示下述維矩陣：這

6、時條件均值可以表示為，的第行包含var模型第個方程中的參數(shù)。使用這樣的符號，我們可以把條件分布表示成為緊湊形式：因此第個觀測值的條件分布可以表示成為：這是基于條件的觀測值從1到的聯(lián)合概率分布為：連續(xù)疊代利用上述公式，可以獲得全部樣本基于的聯(lián)合條件分布是單獨條件密度函數(shù)的乘積：因此，樣本對數(shù)似然函數(shù)為：11.1.2 的極大似然估計我們首先考慮的極大似然估計，它包含常數(shù)向量和自回歸系數(shù)。我們的結(jié)論是它可以利用下述公式給出：這可以當作基于常數(shù)和母體線性投影的樣本估計，的第行是：這正是基于常數(shù)和進行線性回歸的普通最小二乘估計(ols)的估計系數(shù)向量。因此，var模型第個方程系數(shù)的極大似然估計可以從基于

7、常數(shù)項和該系統(tǒng)所有變量的階滯后變量進行線性回歸得到的ols估計獲得。為了驗證上述結(jié)論，我們將似然函數(shù)中的最后一項表示成為：這里的向量的第j個元素是從基于常數(shù)和進行線性回歸得到的觀測值的樣本殘差：進一步將上式化簡為：考慮上式的中間項，由于這是一個標量，利用“跡算子”進行計算數(shù)值不改變：注意到在線性回歸中，普通最小二乘估計下的樣本殘差與解釋變量是正交的，即對所有的j有：因此也有：這樣就有：因為是正定矩陣，它的逆矩陣也是正定矩陣。因此，定義一個維向量：則上式最后一項可以表示成為：因此，上式達到最小值時要求：，即：，這意味著ols回歸估計為向量自回歸系數(shù)提供了極大似然估計。11.1.3 的極大似然估計

8、我們可以利用矩陣導(dǎo)數(shù)的一些公式來獲得的極大似然估計。在的極大似然估計處，條件似然函數(shù)為：我們的目的是選擇對稱正定矩陣使得上述函數(shù)達到最大。類似的矩陣導(dǎo)數(shù)運算得到：上述矩陣的第i行和第j列元素的估計為：這里殘差是var模型中第i個變量基于常數(shù)和所有變量的p階滯后進行回歸普通最小二乘估計得到的殘差。11.1.4 向量自回歸模型的似然比檢驗 likelihood ratios tests為了實施似然比檢驗，我們需要計算極大似然函數(shù)的具體數(shù)值，為此，我們考慮：上式中的最后一項是：代入到似然函數(shù)中，得到：這使得似然比檢驗比較容易進行。假設(shè)我們希望檢驗的原假設(shè)是一組變量是由具有階滯后變量的高斯var模型產(chǎn)

9、生，而備選假設(shè)是滯后變量階數(shù)為。為了在原假設(shè)下估計系統(tǒng)，我們對系統(tǒng)中的每一個變量基于常數(shù)和所有其他變量及其階滯后變量進行最小二乘回歸，設(shè)是從這些回歸中得到的殘差的方差-協(xié)方差矩陣。因此在原假設(shè)下對數(shù)似然估計的極大值是：類似，該模型系統(tǒng)可以利用最小二乘估計對包括所有變量階滯后變量進行線性估計，得到備選假設(shè)下對數(shù)似然函數(shù)的最大值是：這里是從第二組變量集合中獲得的方差-協(xié)方差矩陣。則似然比對數(shù)的二倍可以表示為：在原假設(shè)下，似然比統(tǒng)計量具有分布的漸近分布，自由度是附加在原假設(shè)上約束的數(shù)目，系統(tǒng)中每個方程在原假設(shè)上的約束條件是每個變量減少了個滯后變量，因此一個方程中的參數(shù)零約束是，因此整個var模型系統(tǒng)

10、的約束條件數(shù)目，因此上述似然比統(tǒng)計量在原假設(shè)成立時的漸近分布是。例如，假設(shè)在滯后3階和4階的情形下估計一個二元var模型，這時的參數(shù)階數(shù)為：，假設(shè)原始樣本中每個變量包含50個觀測值，表示為，觀測值1至46用于估計滯后3階和4階指定時的系統(tǒng)參數(shù)，因此這時。假設(shè)表示時基于常數(shù)、的3階滯后和的3階滯后進行回歸的殘差，假設(shè)計算得到：，則有：計算這個矩陣的對數(shù)行列式值為：。類似地，假設(shè)將變量的滯后4階變量加入到回歸方程中來，則可以得到殘差的協(xié)方差矩陣為：這個矩陣的對數(shù)行列式值為：。則有：檢驗統(tǒng)計量的自由度為，由于，因此拒絕原假設(shè)，認為模型的動態(tài)性沒有被var(3)描述，這時采用var(4)更為合適。si

11、ms(1980)提出了一種修正的似然比檢驗，該檢驗考慮了小樣本帶來的偏差。他建議的統(tǒng)計量為：，這里的是每個方程中需要估計的參數(shù)個數(shù)。這個修正后的統(tǒng)計量保持原來的漸近分布，但是降低了小樣本情形下拒絕原假設(shè)的可能性。對上面的例子而言，檢驗統(tǒng)計量為：此時我們將得到相反的檢驗結(jié)果，這時原假設(shè)是被接受的。§11.2 二元granger因果關(guān)系檢驗 bivariate granger causality tests 一個能夠利用var模型處理的關(guān)鍵問題是如何描述一些變量預(yù)測其他變量時的有用程度。下面我們主要分析由granger(1969)提出的，由sims(1972)推廣的預(yù)測兩個變量之間關(guān)系的

12、方法。11.2.1 二元granger因果關(guān)系的定義 definition of bivariate granger causality我們在這里分析的主要問題是一個標量隨機變量對于預(yù)測另外一個標量隨機變量是否有幫助？如果沒有任何幫助，則稱變量沒有g(shù)ranger影響變量。更為正式地，如果對所有，基于進行預(yù)測的均方誤差(mse)與基于和進行預(yù)測的均方誤差是一樣的，則稱變量無法granger影響變量( fails to granger-cause )。如果我們將預(yù)測限于線性預(yù)測，則當：則稱變量無法granger影響變量。等價地，如果上述預(yù)測無助性成立，這時我們也稱“變量在時間序列意義上相對于變量是

13、外生的( is exogenous in the time series sense with respect to )。與上述意義相同的第三種表示是：如果上述預(yù)測無助性成立，則稱關(guān)于將來的是非線性信息化的( is not linearly informative about future )。提出如此定義的granger觀點是：如果一個事件y是另外一個事件x的原因，則事件y應(yīng)該發(fā)生在事件x之前。但是，即使人們從哲學(xué)角度同意這樣的觀點，但在使用累積時間序列數(shù)據(jù)來實現(xiàn)這樣的觀點上遇到了巨大的障礙。為此，我們首先需要考慮二元系統(tǒng)中表示granger因果關(guān)系的時間序列表示的機理。11.2.2 gra

14、nger因果關(guān)系的另外一種啟示 alternative implications of granger causality在描述和的二元var模型中，如果對所有，下述模型中的系數(shù)矩陣是下三角矩陣，則稱變量無法granger影響變量。從這個模型系統(tǒng)的第一行可知，變量的一階段向前預(yù)測僅依賴自身的滯后值，不依賴變量的任何滯后值：進一步，從模型中可以獲得的值為：根據(jù)投影的疊代法則，以時刻的為基礎(chǔ)的預(yù)測也僅僅依賴。通過歸納，上述推斷對任何步長的預(yù)測都是成立的，因此上述斷言成立：如果對所有，上述模型中的系數(shù)矩陣是下三角矩陣，則變量無法granger影響變量。根據(jù)向量回歸方程中的結(jié)論，我們有下面的公式成立：

15、，這里是單位矩陣，。這個表示意味著，如果對所有，矩陣是下三角矩陣，則對所有的，基礎(chǔ)表示中的移動平均矩陣也是下三角矩陣。因此，如果變量無法granger影響變量，則過程的表示為：這里：，sims (1972) 給出了granger影響關(guān)系的另外一種啟示。這樣的啟示可以從下面的命題得到。命題11.1 考慮變量依賴過去、當前和將來的線性投影：這里系數(shù)和定義為母體投影系數(shù)，即對所有的和，有：則“變量非granger影響變量”的充分必要條件是：，11.2.3 granger因果關(guān)系的計量檢驗 econometric tests for granger causality計量檢驗兩個具體的可以觀測到變量之

16、間是否具有“變量非granger影響變量”的關(guān)系，都可以在上面論述的三種granger影響關(guān)系的意義上進行。最簡單也可能是最好的方法是使用字回歸方程中的下三角指定。為了進行這樣的檢驗，我們假設(shè)一個特殊的滯后階數(shù)為的自回歸方程并利用ols估計下面的方程：我們?nèi)缓髮ο率鲈僭O(shè)進行f檢驗：根據(jù)前面的命題8.2，實施檢驗的一種方法是計算上述回歸的殘差平方和：將這個平方和與僅依賴進行回歸的殘差平方和進行比較：這里的單變量回歸方程是：定義f統(tǒng)計量為：如果該統(tǒng)計量大于分布的臨界值，則我們拒絕“變量非granger影響變量”的原假設(shè)。這就是說，當充分大的時候，我們能夠得到“變量確實granger影響變量”的結(jié)

17、論。對于具有固定回歸因子和高斯擾動時，上述檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)成立時具有精確的f分布，然而，如果在granger因果回歸中具有滯后相依變量的話，那么上述檢驗只是漸近的。漸近的等價檢驗統(tǒng)計量為：如果大于分布的5%臨界值，則拒絕原假設(shè)“變量非granger影響變量”。另外一種方法是利用基于sims形式的檢驗來代替基于granger形式的檢驗。與sims形式有關(guān)的一個問題是，其中的誤差項在一般情況下是自相關(guān)的。因此檢驗“，”的標準f檢驗無法給出正確的答案。解決這種問題的一種方法是可能存在自相關(guān)性的誤差項進行變換，假設(shè)誤差項具有wold表示：，在模型兩端乘以逆算子：，得到：這時上述模型中的誤差項是白噪聲

18、過程，并且與其它解釋變量無關(guān)。進一步，這時也有：“對任意，”的充分必要條件是“對任意，”。因此，對上述模型中的無限求和在某個整數(shù)q上截斷，就可以利用檢驗“”的f統(tǒng)計量來檢驗原假設(shè)“變量非granger影響變量”。在granger影響關(guān)系的經(jīng)驗檢驗中，人們發(fā)現(xiàn)檢驗結(jié)果對選取的滯后階數(shù)是比較敏感的，同時檢驗結(jié)果也依賴處理可能數(shù)據(jù)存在非平穩(wěn)性的方法。這些都是在使用granger影響關(guān)系檢驗中應(yīng)該注意的問題。11.2.4 解釋granger因果關(guān)系檢驗 interpreting granger-causality tests“granger因果關(guān)系”與因果關(guān)系的標準含義是如何產(chǎn)生關(guān)系的？我們通過幾個例

19、子來說明這個問題。(1) granger因果關(guān)系檢驗和前瞻行為我們繼續(xù)考慮股票投資者的例子。假設(shè)在時刻t，一個投資者以價格購買一股股票，則在時刻，投資者可以獲得紅利，并以價格出售這股股票。這種股票的事前收益率(ex post rate of return，表示為)可以按照下式定義：如果在所有時刻股票的預(yù)期收益率是常數(shù)r，則下列一個簡單的股票價格模型成立：這里表示股票市場參與者利用時刻t能夠獲得的所有信息做出的期望。在上述公式中包含的邏輯關(guān)系是，如果投資者在時刻t獲得的信息促使他們推測股票將具有高于正常的收益率，則他們將在在時刻t購買更多的股票。這樣的購買將促使股票價格上升，直到上述公式得到滿足

20、。這樣的觀點有時被稱為有效市場假說。如果滿足有界性條件，則股票價格路徑滿足：因此，按照有效市場假說，股票價格中包含將來所有紅利現(xiàn)值的最優(yōu)預(yù)測。如果這個預(yù)測是基于多余所有過去紅利的信息基礎(chǔ)上的，因為投資者企圖推斷紅利中的變動，則股票價格將對紅利產(chǎn)生granger影響。為了比較簡單地解釋這一點，我們假設(shè)：這里和和是獨立的高斯白噪聲序列，是均值紅利。假設(shè)投資者在時刻t知道所有的和。則基于這些信息對紅利的預(yù)測是：將這些預(yù)測值代入到股票價格的貼現(xiàn)公式，得到：因此，對這個例子而言，股票價格是白噪聲，因此無法在滯后股票價格或者紅利的基礎(chǔ)上進行預(yù)測。沒有序列能夠?qū)善眱r格產(chǎn)生granger影響。另一方面，注意

21、到公式中的能夠從滯后股票價格中恢復(fù)出來。上式說明，中具有除了包含在以外的有關(guān)的信息。因此，股票價格對紅利具有g(shù)ranger影響，雖然紅利對股票價格沒有g(shù)ranger影響。因此，二元var模型具有下述形式：因此，在這個模型中，granger影響關(guān)系體現(xiàn)的因果關(guān)系是按照相反方向起作用的。紅利沒有對價格產(chǎn)生granger影響，即使投資者對紅利的察覺是股票價格的唯一確定成分。另一方面，價格確實對紅利產(chǎn)生了granger影響，雖然現(xiàn)實中股票的市場估價對紅利過程沒有任何影響。一般地，例如股票和利率等反應(yīng)前瞻性行為的時間序列經(jīng)常被認為可以作為許多關(guān)鍵時間序列非常優(yōu)秀的預(yù)測因子。顯然這并不意味著這些時間序列促

22、使gdp或者通貨膨脹率上升或者下降。取而代之的是，這些時間序列的數(shù)值反應(yīng)了gnp或者通貨膨脹率的走勢市場最優(yōu)信息。對于評價有效市場觀點，或者研究市場是否考慮或者能夠預(yù)測gdp或通貨膨脹率等，對這些序列的granger影響關(guān)系檢驗時有幫助的，但不應(yīng)該用于推斷因果性的方向。從來就沒有那樣的情景，granger因果關(guān)系用來為真實因果關(guān)系的方向提供有幫助的跡象。作為這種論題的示意，可以考慮試圖度量石油價格上漲對經(jīng)濟的作用結(jié)果。(2) 檢驗強經(jīng)濟計量外生性 testing for strict econometric exogeneity二次世界大戰(zhàn)以后，美國經(jīng)濟中偶然出現(xiàn)的經(jīng)濟衰退之前，經(jīng)常伴隨著原油

23、價格的急劇上升，這意味著石油價格沖擊是經(jīng)濟衰退的原因嗎？一種可能性是這種相關(guān)性是一種巧合，石油沖擊和經(jīng)濟衰退只是偶然地在近似的時間內(nèi)發(fā)生，而產(chǎn)生這兩個時間序列的真實機制是不相關(guān)的。我們可以通過檢驗石油價格沒有g(shù)ranger影響到gnp這樣的零假設(shè)來判斷這樣的假設(shè)。這樣的假設(shè)被實際數(shù)據(jù)的檢驗所拒絕，即結(jié)論是石油價格有助于推斷gnp的取值，它們對推斷的作用是顯著的。這樣的討論反對相關(guān)性是一種偶然的論點。為了對這種關(guān)系給出一種解釋，我們需要確定石油價格中的上升并沒有反映出那些確實是導(dǎo)致衰退的其他宏觀經(jīng)濟影響。石油價格上升的主要原因出于一些十分清楚的歷史事件的影響，例如19561957年的suez危機

24、，19731974年的arab-israeli戰(zhàn)爭等，人們可以接受這樣的觀點，即這些事件的形成原因完全屬于美國經(jīng)濟以外的，而且是完全不可預(yù)測的。如果這個觀點是正確的，則石油價格與經(jīng)濟衰退之間的歷史相關(guān)性可以被解釋為一種因果影響關(guān)系。這樣的觀點還具有一個可以辯論的支持，即沒有時間序列能夠granger影響到石油價格序列。經(jīng)驗上看，人們確實很少能夠發(fā)現(xiàn)一些宏觀時間序列能夠有助于推斷石油危機發(fā)生的時點。這兩個例子的主題是granger因果關(guān)系檢驗?zāi)軌蜃鳛闄z驗關(guān)于特定時間序列可推斷性的假設(shè)的有效工具。另一方面，人們可能會懷疑他們作為建立任意兩個時間序列之間影響關(guān)系方向的一般診斷機制的功效。出于這個原因

25、，最好將這個檢驗描述為檢驗是否y有助于預(yù)測x，而不是檢驗是否y影響x。這樣的檢驗對后一個問題有一定的啟發(fā)，但只有附加其他假設(shè)才具有意義。到目前為止，我們只考慮了兩個變量x和y，將它們與其它變量分離開來。假設(shè)還有其他變量與x或者y產(chǎn)生交互影響，這會對預(yù)測x和y之間的關(guān)系產(chǎn)生什么樣的影響呢？(3) 缺損信息的作用 role of omitted information考慮下面三個變量構(gòu)成的模型系統(tǒng)：假設(shè)殘差向量滿足：，；，因此，上述模型表示在預(yù)測或者的過程中，比僅僅使用和滯后值相比沒有任何改進。我們現(xiàn)在考慮檢驗變量和之間的granger影響關(guān)系，首先考慮關(guān)于的過程：注意到過程是一個一階移動平均過程

26、與一個不相關(guān)的白噪聲過程之和。我們已經(jīng)證明了這樣的過程仍然是一個一元過程，具有類似表示為：根據(jù)第四章的結(jié)論，可以知道預(yù)測誤差可以表示為：當然，一元預(yù)測誤差與自身滯后值是無關(guān)的。但是，需要注意到它與相關(guān)：因此，滯后的可以有助于改進的預(yù)測，而它原來是僅僅基于滯后值進行預(yù)測的。這意味著在二元系統(tǒng)中能夠granger影響。其原因是的滯后值與省略變量是相關(guān)的，這個省略的變量對預(yù)測也是有幫助的。§11.3 限制性向量自回歸模型的極大似然估計 maximum likelihood estimation of restricted vector autoregressions在第一屆中我們討論了無限

27、制向量自回歸模型的極大似然估計和假設(shè)檢驗問題。在這個var模型中每個方程都具有相同的解釋變量，即常數(shù)加上系統(tǒng)中所有變量的滯后變量。我們已經(jīng)說明了如何計算線性約束的wald檢驗，但我們沒有討論系統(tǒng)具有約束條件時的參數(shù)估計問題。因此，這節(jié)中我們考慮限制性var模型的估計問題。11.3.1 多元情形下的granger因果關(guān)系 granger-causality in a multivariate context作為一個我們在估計中感興趣的限制性系統(tǒng)的例子，考慮前面已經(jīng)討論過問題在向量情形下的推廣。考慮var模型中的變量可以分成兩個群體，利用維向量和維向量表示。這時var模型可以表示為：這里是包含滯后

28、值的向量，是包含滯后值的向量：，模型中維向量和維向量表示包含var模型中的常數(shù)項。而矩陣包含自回歸系數(shù)。如果包含在中的元素對于預(yù)測包含在中的任意元素沒有任何幫助，這種預(yù)測是僅僅依賴中所有元素的滯后值的，這時我們稱在時間序列的意義上，由變量的一組變量相對于中的變量是塊外生的(block-exogenous)。在上述模型系統(tǒng)中，當矩陣時，是塊外生的。為了討論受到這個約束限制的系統(tǒng)，我們首先關(guān)注非限制性極大似然估計計算和估計的另外一種形式。11.3.2 極大似然函數(shù)的另外一種表示 an alternative expression for the likelihood function我們在第一節(jié)中

29、使用推斷誤差分解計算了var模型的對數(shù)似然函數(shù)：這里，函數(shù)形式為：另外，上述聯(lián)合概率密度也可以表示成為的邊際分布密度與給定條件下的條件概率分布密度的乘積：基于條件，的條件概率密度為：而給定和時的條件概率密度也是正態(tài)的：這個條件分布密度中的參數(shù)可以利用下面的公式求得，其中條件方差為：而條件均值為：注意到從方程中可以獲得：將這些表達式代入到條件均值中：這里：，因此，聯(lián)合概率密度的對數(shù)似然函數(shù)可以表示為邊際密度對數(shù)和條件密度對數(shù)之和，表示為：其中：這樣一來，樣本對數(shù)似然函數(shù)可以表示為：注意到上面我們獲得了似然函數(shù)的兩種表達式，只要它們的參數(shù)矩陣之間具有上述之間的轉(zhuǎn)換，那么兩種似然函數(shù)的計算將得到同樣的數(shù)值。如果一個似然函數(shù)通過選擇參數(shù)向量來極大化，那么同樣的似然函數(shù)值可以通過選擇參數(shù)向量來極大化另外一個似然函數(shù)達到。其中第二部分的似然函數(shù)的極大化很容易獲得。由于參數(shù)§11.4 沖擊反應(yīng)函數(shù) the impulse-response function按照前面的論述，var模型可以表示為向量形式：因此，矩陣可以解釋為：表示成為分量形式為：這是假設(shè)在所有時刻其他擾動保持不變，時刻t出現(xiàn)在第j個變量擾動()的一個單位增加對時刻第i個變量()的影響結(jié)果。如果在相同時