一,交錯級數(shù)及其審斂法

1、一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯錯級級數(shù)數(shù) 11)1(nnnu滿滿足足條條件件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, , 則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余項項 nr的的絕絕對對值值 1 nnur. . )0( nu其中其中3 一般項級數(shù)一般項級數(shù) 證法一證法一)()()(21243212nnnuuuuuus , 01 nnuu,2是單調增

2、加的是單調增加的數(shù)列數(shù)列ns)()(122232112 nnnuuuuus又又,12是單調遞減的是單調遞減的數(shù)列數(shù)列 nsnnnuss2212 0 )( , 0 n由區(qū)間套定理，由區(qū)間套定理，是一個區(qū)間套，是一個區(qū)間套，122 nnss,limlim , 1122ussssnnnn使.limssnn 即級數(shù)收斂即級數(shù)收斂于于s.證法二證法二nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調增加的是單調增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns)(lim

3、lim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級數(shù)收斂于和級數(shù)收斂于和),(21 nnnuur余項余項,21 nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.仍構成一個交錯級數(shù)，仍構成一個交錯級數(shù)，例例 1 1 判判別別收收斂斂性性： );0( )1()1(11 pnnpnpnnu1)1( .收斂收斂解解顯然單調趨于顯然單調趨于0，例例 2 2 判判別別級級數(shù)數(shù) 21)1(nnnn的的收收斂斂性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調遞減單調遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原

4、級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .與書上證與書上證法不同法不同該定理的作用：該定理的作用：任意項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)例例 3 3 判判別別級

5、級數(shù)數(shù) 12sinnnn的的收收斂斂性性. . 解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂.例例 4 4 判判別別 1)1(npnn的的收收斂斂性性，并并在在收收斂斂時時指指出出是是 ,p時時 1 絕絕對對收收斂斂；, 10時時 p條條件件收收斂斂；發(fā)發(fā)散散。絕絕對對收收斂斂還還是是條條件件收收斂斂。 解解,1|1)1( |ppnnn , 0時時 p例例5nnnn sin)1(1 解解,)1(|nnu 絕對收斂。絕對收斂。例例6,!2)1(112 nnnn解解222!)!1(2|)1(1nnnnnnuu 12

6、12 nn)( . n, 0lim nnu發(fā)散。發(fā)散。 用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級數(shù)一定發(fā)散。數(shù)一定發(fā)散。三、絕對收斂級數(shù)的性質三、絕對收斂級數(shù)的性質1、級數(shù)的重排、級數(shù)的重排)( , 2 , 1 , 2 , 1:nknf映射映射稱為正整數(shù)列的重排。稱為正整數(shù)列的重排。)(:nknuuf的重排，的重排，稱作稱作)(nnkuu的重排，的重排，稱作稱作 11)(nnnnkuu則則記記,)(nknuv .11)( nnnnkvu定理定理.11svsunnnn也絕對收斂于也絕對收斂于，則其重排級數(shù)，則其重排級數(shù)絕對收斂于絕對收斂于設設 證證*即：絕對收斂的

7、級數(shù)對加法有交換律。即：絕對收斂的級數(shù)對加法有交換律。為正項級數(shù)，為正項級數(shù)，若若 1 )1(nnu,21nnuuus 設設,21mmvvv ,kikuv ,max21miiin 令令,nms 則則有界，有界，收斂，知收斂，知由由1nnnsu 有界，有界，從而從而m .1收斂收斂故故 nnv得得及及且由且由nmnnsss lim,limnn.1svnn 收斂于收斂于即即級數(shù)，級數(shù)，重排重排也可看作也可看作另一方面，另一方面， 11nnnnvu, s故故. s絕對收斂時，絕對收斂時，當當 1 )2(nnu收斂時，收斂時，即正項級數(shù)即正項級數(shù) |1 nnu由（由（1）的證明得：）的證明得：, |

8、|11收斂收斂的重排級數(shù)的重排級數(shù) nnnnvu收斂。收斂。絕對絕對即即 1 nnv下面證明兩個級數(shù)的和相等。下面證明兩個級數(shù)的和相等。 2| nnnuup 令令|0 |,|0 nnnnuqup , |,|nnnnnnuqpuqp 2| nnnuuq 0 , 00 ,nnnuuu 0 ,0 , 0nnnuuu絕對收斂，絕對收斂， 1nnu收斂。收斂。和和正項級數(shù)正項級數(shù) 11nnnnqp nnqp . sun, , nnnqpv 也同樣構造也同樣構造類似地，對類似地，對 nnqp可得可得 .nv前面已證收斂的正項級數(shù)重排后和不變，前面已證收斂的正項級數(shù)重排后和不變，的重排，的重排，和和分別是分

9、別是和和且且 nnnnqpqp nv nnqp nnqp . sun證畢。證畢。上述證明過程顯然可以得到下面的結論：上述證明過程顯然可以得到下面的結論：命題：命題：.,都收斂都收斂和和則正項級數(shù)則正項級數(shù)絕對收斂絕對收斂設設 nnnqpu同時可以證明：同時可以證明：命題：命題：.,都發(fā)散都發(fā)散和和則正項級數(shù)則正項級數(shù)條件收斂條件收斂設設 nnnqpu證證, nnnuqp 也收斂，也收斂，收斂，則收斂，則若若 nnqp也收斂，也收斂，收斂，則收斂，則若若 nnpq |,| nnnuqp 而而收斂，收斂， | nu矛盾！矛盾！ 可以證明：可以證明：條件收斂的級數(shù)，可以適當重排，使條件收斂的級數(shù)，可

10、以適當重排，使其按任意預定的方式收斂或發(fā)散。其按任意預定的方式收斂或發(fā)散。514131211111 nnn）（如：條件收斂級數(shù)如：條件收斂級數(shù)設其收斂于設其收斂于a， 1018161412112111nnn）（則：則：,2a收斂于收斂于兩個級數(shù)相加，得兩個級數(shù)相加，得 41715121311.23a收斂于收斂于的一個重排，的一個重排，）（是是 111nnn2、級數(shù)的乘積、級數(shù)的乘積, nnnauuau 收斂，則收斂，則若若,)()(2121 nmnmuaaauaaa兩個無窮級數(shù)如何相乘？兩個無窮級數(shù)如何相乘？, 21auuuunn 設設, 21bvvvvnn 這兩個級數(shù)中的項的所有可能的乘積為

11、：這兩個級數(shù)中的項的所有可能的乘積為： 1312111 v u v uvuvun 2322212 v u v uvuvun 3332313 v u v uvuvun 321 v u v uvuvunnnnn這些乘積可以按各種方法排成不同的級數(shù)，這些乘積可以按各種方法排成不同的級數(shù)，常用正方形順序和對角線順序，分別為：常用正方形順序和對角線順序，分別為： 1312111 v u v uvuvun 2322212 v u v uvuvun 3332313 v u v uvuvun 321 v u v uvuvunnnnn“正方形正方形”排序級數(shù)為：排序級數(shù)為： 132333323112222111

12、vuvuvuvuvuvuvuvuvu 1312111 v u v uvuvun 2322212 v u v uvuvun 3332313 v u v uvuvun 321 v u v uvuvunnnnn“對角線對角線”排序級數(shù)為：排序級數(shù)為： 132231122111vuvuvuvuvuvu定理（柯西定理）：定理（柯西定理）：, , bvaunn絕對收斂于絕對收斂于絕對收斂于絕對收斂于若若 則它們的乘積按任意順序所得的級數(shù)也絕對則它們的乘積按任意順序所得的級數(shù)也絕對收斂于收斂于ab.例例 nnnrrrrr3201,11, 1|rr 級數(shù)絕對收斂于級數(shù)絕對收斂于當當 00nnnnrr考察：考察

13、：)1()1(22 rrrr 132 rr r 432 r rrr 5432 r rrr按對角線順序，得按對角線順序，得 324321rrr.)1(12r 該級數(shù)的和我們將來還會有其他方法求得。該級數(shù)的和我們將來還會有其他方法求得。二、二、 阿貝耳判別法和狄利克雷判別法阿貝耳判別法和狄利克雷判別法 引理（分部求和公式，引理（分部求和公式，abel變換）：變換）： 為為兩兩組組實實數(shù)數(shù)，令令設設), 2 , 1(,nivii ), 2 , 1( , 21nkvvvkk iniiv 1 則則.)()()(11232121nnnnn 111)(niiiinn 離散型分部求和公式離散型分部求和公式,1

14、iiiv則證證 ), 3 , 2( ,111nkvvkkk 注意到：注意到：代入即得。代入即得。解釋解釋“離散型分部求和公式離散型分部求和公式” xadttgxg)()(令令 baxdgxf)()()()(| )()(xdfxgxgxfbaba )()()()(xdfxgbgbfba iniiv 1 111)(niiiinn . ),( ),(1 baiiixdfxg相當于相當于相當于相當于相當于相當于將將 )( 11 iinii 推論（推論（abel引理）引理）是是單單調調數(shù)數(shù)組組，若若n , )1(21（2）對任一正整數(shù)）對任一正整數(shù) ，有，有 )1(nkk ),( 1kkkvva 這這里

15、里 則則記記,max kk .31avnikk 證證是同號的，是同號的，對于對于由由iii 1 )1(iniiv 1 .)()()(11232121nnnnn | | 1iniiv |)()()( |11232121nnnnn aannn| )()()( |13221 |)|(|1nna .3 a 證畢。證畢。的斂散性。的斂散性?，F(xiàn)在討論現(xiàn)在討論 nnba定理（定理（abel判別法）判別法） 若（若（1） 為單調有界數(shù)列，為單調有界數(shù)列， na收收斂斂， nb )2(收斂。收斂。則則 nnba證證收收斂斂準準則則，有有由由收收斂斂，cauchybn ., 0 pnnknbpnnn有有引理，有引

16、理，有于是由于是由設設abelman,| .3 mbapnnknn 再由再由cauchy準則，準則，收斂。收斂。得得 nnba 證畢。證畢。定理（定理（dirichelet判別法）判別法） 單單調調；且且若若, 0lim)1( nnnaa 有界；有界； )2(1 niib收斂。收斂。則則 nnba證證, 0lim nna., 0 nannn有有,| 1mbnii 設設則則令令, 2 , 1, kbknniik |111 niikniikbb ,2m ,623 mmbapnnknn 故故由由cauchy準則，準則，收斂。收斂。得得 nnba 證畢。證畢。注（注（1） 交錯級數(shù)的交錯級數(shù)的leib

17、niz判別法是判別法是dirichelet判別法的特例。判別法的特例。,)1(,111 nnnnnnbuau 令令）（單單調調；且且則則, 0limnnnaa ；1| | 1 niib收斂。收斂。）（故故nnu11 （2） 與反常積分類似，用與反常積分類似，用dirichelet判別法可以證判別法可以證明明abel判別法。判別法。無窮級數(shù)的無窮級數(shù)的abel判別法：判別法： 若（若（1） 為單調有界數(shù)列，為單調有界數(shù)列， na收收斂斂， nb )2(收斂。收斂。則則 nnba無窮積分的無窮積分的abel判別法：判別法： 收收斂斂，）若若（ adxxf)( 1上上單單調調有有界界，在在),)(

18、)2( axg收收斂斂。則則 adxxgxf)()( 無窮級數(shù)的無窮級數(shù)的dirichelet判別法：判別法：單單調調；且且若若, 0lim)1( nnnaa 有界；有界； )2(1 niib收斂。收斂。則則 nnba無窮積分的無窮積分的dirichelet判別法：判別法：上上有有界界，在在若若),)()( )1( adxxfufua，時時單單調調趨趨于于上上當當在在0),)( )2( xaxg收收斂斂。則則 adxxgxf)()( 例例收斂，收斂，若若 nu 單調有界，單調有界，由于由于)0(1 pnp收斂。收斂。故故 )0( pnupn同理，同理，, 1 收斂收斂 nun, 1 收斂收斂

19、nnun, )11( 收斂收斂nnun 例例。的性質來決定斂散性）的性質來決定斂散性）時由時由（收斂。收斂。都收斂，后者對都收斂，后者對前者對任何前者對任何與與，則，則單調趨于單調趨于設設nnnnakxkxxnxanxaa 22,cossin0 解（解（1）),cos()cos(sinsin2bababa 時，時，當當 kx2 )sin2sin(sin2sin2nxxxx xnxnxxxx)21cos()21cos(25cos23cos23cos2cos xnx)21cos(2cos |2sin2|)21cos(2cos|sin|1xxnxkxnk |2sin|22x |2sin|1x 有界，有界，即即sin1 nkkx由由dirichelet判別法，得判別法，得收斂。收斂。 sin1 nnnxa時，時，當當 kx2 sin1nnnxa, 0 2sin1 nnkna 收斂。收斂。收斂。收斂。對任意的對任意