工程數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)42

1、1 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域d上的復(fù)變函數(shù)上的復(fù)變函數(shù) 序列，則稱表達(dá)式序列，則稱表達(dá)式4.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義定義 4.2.1 4.2.1 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)( ),(0,1,2,.)nfzn 0120( )( )( )( )( )nnnfzfzf zfzfz為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）.該級(jí)數(shù)前該級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和項(xiàng)和0( )( )nnkkszfz稱為級(jí)數(shù)的稱為級(jí)數(shù)的部分和部分和.20z00()nnfz0z0( )nnfz0( )nnfz00()nnfz0z0( )nnfz定義定義4.2.24.2.2 如果對(duì)于如果對(duì)于d d內(nèi)某點(diǎn)內(nèi)某點(diǎn)

2、，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，收斂，則稱則稱 點(diǎn)為點(diǎn)為 的一個(gè)收斂點(diǎn)，若級(jí)數(shù)在區(qū)域的一個(gè)收斂點(diǎn)，若級(jí)數(shù)在區(qū)域d d內(nèi)的內(nèi)的 每一點(diǎn)都收斂，則稱該級(jí)數(shù)在每一點(diǎn)都收斂，則稱該級(jí)數(shù)在d d內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂; ;收斂點(diǎn)的集合稱為收斂點(diǎn)的集合稱為 的收斂域的收斂域. . 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱 點(diǎn)為級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，點(diǎn)為級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)的集合稱為發(fā)散點(diǎn)的集合稱為的發(fā)散域的發(fā)散域. .34冪級(jí)數(shù)概念冪級(jí)數(shù)概念50zzt0nnnc t如果令如果令，那么，那么(4.3.1)成為成為，這即為，這即為(4.3.2)(4.3.2)的形式的形式. . 為了方便，今后為了方便，今后就以就以(4.3.2)(4.3.2)

3、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)進(jìn)行討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)進(jìn)行討論. .670nnc zm0zz0|1|zqz00nnnnnnzc zc zmqz因而存在正數(shù)因而存在正數(shù)m，使對(duì)所有的，使對(duì)所有的n有有如果如果，那么，那么，而，而820120nnnnnc zcc zc zc z0nnnc z從而根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法知從而根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法知 收斂，故級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的是絕對(duì)收斂的.9另一部分命題用反證法證明另一部分命題用反證法證明.1011(2) (2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除0z 外都是發(fā)散的外都是發(fā)散的. . 這時(shí)，級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)這時(shí)，級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散；除原點(diǎn)外處處發(fā)散；(1)(

4、1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的. . 這時(shí)，這時(shí)， 根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面 內(nèi)處處絕對(duì)收斂；內(nèi)處處絕對(duì)收斂；12zzcc (3) 既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)，也存在使級(jí)既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)，也存在使級(jí) 數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù). 設(shè)設(shè)(正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù))時(shí)級(jí)數(shù)收斂，時(shí)級(jí)數(shù)收斂，(正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù))時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，那么在以原點(diǎn)為中心，時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，那么在以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周為半徑的圓周內(nèi)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；內(nèi)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；為半徑的圓周為半徑的圓周外，級(jí)數(shù)發(fā)散外，級(jí)數(shù)發(fā)散. 顯然只能顯然只能， 否則級(jí)數(shù)必發(fā)散，如圖否則級(jí)數(shù)必發(fā)散，如圖4.1

5、所示。所示。在以原點(diǎn)為中心在以原點(diǎn)為中心,13 c rc c 圖 4.1 r x y 14定義定義4.3.2 4.3.2 收斂圓收斂圓 收斂半徑收斂半徑154.3.3 收斂半徑的求法收斂半徑的求法對(duì)于冪級(jí)數(shù)，我們主要關(guān)心的是它的收斂對(duì)于冪級(jí)數(shù)，我們主要關(guān)心的是它的收斂問(wèn)題，即收斂域是怎樣的以及如何求收斂問(wèn)題，即收斂域是怎樣的以及如何求收斂域域. 下面我們借助正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值法來(lái)討下面我們借助正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值法來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題論這個(gè)問(wèn)題.16證明:111limlimnnnnnnnnczczzcc z由于1,z故知當(dāng)時(shí)0.nnczn收斂nz+nn=01知級(jí)數(shù)c在圓z =內(nèi)收斂01,.nnnzc z再證當(dāng)

6、時(shí) 級(jí)數(shù)發(fā)散170001,.nnnzzc z假設(shè)在圓外有一點(diǎn)使級(jí)數(shù)收斂110,zzz在圓外再取一點(diǎn)使,那么根據(jù)阿貝爾定理10nnncz級(jí)數(shù)必收斂.1111111,lim1nnnnnczzzcz然而所以1,nz+nn=01這根c收斂相矛盾 即在圓周z =外有1800,.nzz+nn=0一點(diǎn)使級(jí)數(shù)c收斂的假定不能成立.nz+nn=01因而c在圓z =外發(fā)散.1從而知收斂半徑r=192021在收斂圓上，由于在收斂圓上，由于33111nnnznn收斂，所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上處處收斂收斂，所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上處處收斂. .220z 1( 1)nnn2z 11nn當(dāng)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為， 它是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根

7、它是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)據(jù)萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為，它是調(diào)和級(jí)數(shù)，故發(fā)散，它是調(diào)和級(jí)數(shù)，故發(fā)散. .23定理定理 4.3.3 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)：0001 12200( ) ( )()() () ( )nnnnnnnnnnnnf z g za zb za bababa b zzrf(z),除法看做乘法的逆運(yùn)算g(z)24更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算.)()(,|,| )(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfrzrzgzgrzzazfrz時(shí)則當(dāng)解析且滿足內(nèi)又設(shè)在時(shí)如果當(dāng)這個(gè)代換運(yùn)算, 在把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí), 有著廣泛的應(yīng)用.2511

8、11()()1zazbzabababa收斂半徑為r=|b-a|解 把函數(shù)bz 1寫成如下形式:2231()()()()()()nnzazazababababa26oxyab當(dāng)|za|ba|=r時(shí)級(jí)數(shù)收斂272801nnnnaza111111limlim1(1)1nnnnnnnnaaaraaaaa但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑29000111nnnnnnnnnazzzaa1z 但應(yīng)注意，使等式但應(yīng)注意，使等式成立的收斂圓域仍應(yīng)為成立的收斂圓域仍應(yīng)為，不能擴(kuò)大，不能擴(kuò)大.301100000() () (),nnnnnnnnnczzczznc zz100000000() d() d()1zznnnnnnnnncczzzczzzzzn(ii)冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，即冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，即 且逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分后的新級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)且逐項(xiàng)求導(dǎo)或