多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用

1、18.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)8.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念8.3 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)8.4 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用8.5 多元復(fù)合函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)的微分法8.6 隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法8.8 二元函數(shù)的極值與最值二元函數(shù)的極值與最值第八章第八章 多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用( , )zf x y 2zbxyoac第八章第八章 多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用 下面在一元函數(shù)微分法的基礎(chǔ)上, 來研究多元函數(shù)的微分法. 因從一元函數(shù)到二元函數(shù)將會(huì)面臨一些新問題, 而從二元函數(shù)到二元以上的多元函數(shù), 可完全類推; 需首先介紹一些空間故下面主要研究

2、二元要研究多元函數(shù),現(xiàn)就必備知識(shí)作解析幾何知識(shí).簡(jiǎn)單介紹.函數(shù)的微分法及其應(yīng)用.38.18.1預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 要求大家了解空間解析幾何的初步知識(shí).下面僅簡(jiǎn)要地介紹有關(guān)解空間解析幾何的一些基本概念.1.空間直角坐標(biāo)系及空間中的點(diǎn)與坐標(biāo)一一. . 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介其幾何直觀, 如圖:oxoyoz、.ozoxyz 過空間中的一個(gè)定點(diǎn)o, 作三條相互垂直的直線再規(guī)定一個(gè)長(zhǎng)度單位和按照右手螺旋法則去確定的正方向, 就構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系, 并記為 o123123123xyzox oy、 、 161電影網(wǎng)電影網(wǎng)整理發(fā)布整理發(fā)布4oxyzoxoyoz、及o123123123xyz在空間直

3、角坐標(biāo)系 中, 點(diǎn)o稱為坐標(biāo)原點(diǎn);分別稱為x軸(橫軸) 、y軸(縱軸)及z軸(豎軸), 并統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.任意兩條坐標(biāo)軸構(gòu)成的平面稱為坐標(biāo)面, 分別簡(jiǎn)稱為xy平面、yz平面及 zx平坐標(biāo)面; 且它們將空間分割成八個(gè)部分, 稱每一個(gè)部分為一個(gè)卦限.5xyz以后依次稱為第、卦限.把含三個(gè)坐標(biāo)軸正方向的那個(gè)卦限為第一卦限.如圖:在xy坐標(biāo)平面的上部, 依次稱為第、卦限.在xy坐標(biāo)平面的下部與第一卦限相對(duì)應(yīng)的稱為第卦限;6對(duì)于空間中的任意點(diǎn)m, 過點(diǎn)m作三個(gè)平面分別垂直于的坐標(biāo)依次為x、y、z; zyoxpqrmxyz在建立了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(x, y, z)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

4、.且與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)依次為p、q、三條坐標(biāo)軸.r.(如圖)p、q、r三點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸上定了一個(gè)三元有序數(shù)組這樣空間的點(diǎn)m就唯一確(x, y, z).7把x、y、z稱為點(diǎn)m的橫坐標(biāo) 、縱坐標(biāo)及豎坐標(biāo), 記為m (x, y, z). 反之, 對(duì)于任給的三元有序數(shù)組(x, y, z), 可依次在 x 軸、y軸、z軸上分別找出坐標(biāo)為zyoxpqrmxyz這樣空間任一點(diǎn)m和一個(gè)三元有序數(shù)組(x, y, z)建立了并把有序數(shù)組(x, y, z) 稱為點(diǎn)m的空間直角坐標(biāo),并依次這三個(gè)平面的交點(diǎn)m， 就是以數(shù)組(x, y, z)為坐標(biāo)的點(diǎn).x、y、z 的三點(diǎn)p、q、r， 然后過此三點(diǎn)作是三個(gè)平面分別垂

5、直于 x軸、y軸、z軸，一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.8xyzyz面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, y, z) x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x , 0, 0)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, y, 0)z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 0, z)xy面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y, 0)xz面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, 0, z) 由以上規(guī)定知道:坐標(biāo)原點(diǎn)o的坐標(biāo)為(0, 0, 0)9二二.空間任意兩點(diǎn)間的距離1111( ,)mx y z 與2222(,)mxyz ，22212212121()()() .dm mxxyyzz給定空間兩點(diǎn)這兩點(diǎn)間的距離d為可證明這與平面解幾中兩點(diǎn)間的距離公式是一樣的.過 各作三個(gè)分別垂直于三條坐標(biāo)軸的平面.12,m m10zyox1

6、x2x1y2y1m2m3md1m3m向 xy面投影,并設(shè)點(diǎn)12m m12,m m13,.m m221323m mm m222121323m mm mm m則這六個(gè)平面圍成一個(gè)以為對(duì)角線的長(zhǎng)方體;(如圖)在xy面的垂足各為 11222132121m mxxyy而222321m mzz且；12222212121 ()()()dmmxxyyzz特別地,空間任一點(diǎn)m(x,y,z)222omxyz例例1 1 已知兩點(diǎn)(-1, 0, 2),(3, -2, 4), 求此兩點(diǎn)間的距離.222 (3 1)( 20)(42)242 6d 解zyox1x2x1y2y1m2m3md1m3m到原點(diǎn)o的距離為12與平面解

7、幾相仿,空間解幾利用定義定義1 1 若曲面s上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)zyoxm(x,y,z)p(x,y)下面來解決關(guān)于曲面的兩個(gè)基本問題:三.空間曲面與方程空間坐標(biāo)法, 把由點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形和代數(shù)方程聯(lián)系起來.則稱方程f(x,y,z)=0為曲面s的方程, 而稱曲面s為方程都滿足方程f(x,y,z)=0； 而不在曲面s上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程f(x,y,z)=0,f(x,y,z)=0的圖形.(如上圖)1. 巳知曲面的幾何軌跡, 建立曲面的方程s13例例2 2 一動(dòng)點(diǎn)m( x, y, z)與兩定點(diǎn)a(-1,0,4)和b(1,2,-1)的 mamb解 因222222(1)(4)(1)2(1)xyzxyz（）

8、4410110 xyz故m( x, y, z)的軌跡方程x z面的方程為 y = 0 距離相等, 求此動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程.(即a、b兩點(diǎn)連線的垂直平分面的方程)為4410110 xyz因x y平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足z = 0；而凡滿足z = 0的點(diǎn)又都在 x y平面上；故坐標(biāo)平面的方程分別為x y面的方程為 z = 0y z面的方程為 x = 014平行于xy面的平面方程為 z = c(c為常數(shù), 表示此平面平行于yz面的平面方程為x=a(a為常數(shù), 表示此平面 平行于xz面的平面方程為y=b(b為常數(shù), 表示此平面ax + by + cz + d = 0 重要結(jié)論重要結(jié)論: : 平面方程均為

9、一次方程平面方程均為一次方程. . 其中a、b、c、d均為常數(shù), 且a、b、c不全為0.在 z 軸上的截距)在 y 軸上的截距)在 x 軸上的截距)一般地一般地,x, y, z的三元一次方程所表示的圖形均是平面的三元一次方程所表示的圖形均是平面. 空間平面方程的一般形式為150,mmr則222000()()()xxyyzzr2222000()()()xxyyzzrzyoxr2222xyzr例例3 3 求球心在點(diǎn) 半徑為r的球面方程.0000(,),mxyz ( , , ),( , , )m x y zm x y z解 設(shè)球面上任意一點(diǎn)為則動(dòng)點(diǎn)與間的長(zhǎng)度為特別地,以原點(diǎn)為球心,r為半徑的球面方程

10、為;是此球面的上半部.是此球面的下半部0000(,)mxyz定點(diǎn)之222zrxy 222zrxy則162. 巳知曲面的方程, 研究方程的圖形通常情況下,三元方程的圖形為一張空間曲面;至于會(huì)得出曲面s的全貌這種方法稱為一、二元方程的圖形,則應(yīng)由具體的坐標(biāo)系而定.一般的三元方程，通常很難立即想出其圖形的形狀.但若依次用平行于坐標(biāo)面的平面x = a、y = b和z = c去截曲面s，則可得一系列的截口曲線；再將它們綜合起來就例例4 4 考察下列的圖形方程: (1) 2x- z=0 (2) 2x+y+2z=4 222(3) xyr“平行截口”法.2(5) 4.x 22(4) zxy17即用平行于xz面

11、的任何平面20 xzya與x z面的交線為 2x- z = 0zoxy是直線故該方程的圖形是經(jīng)過y軸且且過原點(diǎn)的平面.解 (1)由方程2x- z = 0不含y知： d = 0.則曲面過原點(diǎn).且無論 y 取何值, 都有2x- z = 0y = a去截曲面，其截痕都18此即為平面的截距式方程.1111242xyz它與x、y、z軸的交點(diǎn)分別為(2, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 2).解解 由方程由方程 2x + y + 2z = 4有有(2) 2x + y + 2z = 4 zyox24219222(3) xyr半徑為r的圓.222xyr在空間，因方程222xyr222,xyr

12、zczyx且圓的大小與c無關(guān).o解 在xy面上，方程表示以原點(diǎn)為圓心，用平面z=c去截曲面，其截口線為不含z，則z可取 任意值,圓圓20zyxo用平面 x = a去截曲面, 其截痕為直線22yraxa 2122xrayb zyxo用平面 y = b去截曲面, 其截痕為直線注注1 1 xy面上,定圓曲線222xyr的一個(gè)圓柱面.222xyr平行于z軸的直線叫做此圓柱面的故該曲面為母線平行于z軸、準(zhǔn)線為圓周準(zhǔn)線，叫做此圓柱面的母線.2222(4) zxy解 用平面z=c(c0)去截曲面,其截痕為圓22xyc當(dāng)c=0時(shí),只有原點(diǎn)(0, 0, 0)滿足此方程；c若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕為

13、當(dāng)c0時(shí),其截痕為以(0,0,c)為圓心,顯然c越大，其截痕圓越大.zyox以半徑為r的圓.拋物線.23曲線l稱為此旋轉(zhuǎn)曲面的母線,ll故曲面 是 一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面(如圖).22zxyzyox注注2 2 如果有一條平面曲線l，繞著同一平面內(nèi)一條已知直線 旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.ll已知直線旋轉(zhuǎn)曲面的軸.稱為此24稱為2222221xyzabc注注3 3 方程 所確定的曲面， 橢球面(如圖)zbxyoac解 因方程缺y、z，2(5) 4x 平面且分別過點(diǎn)(2, 0, 0)或(-2, 0, 0)的兩個(gè)平面.則等價(jià)于方程的圖形是平行于 y z注注4 4 在空間解幾中, 若方程缺一個(gè)變量, 則其

14、圖形必平行則其圖形必平行于坐標(biāo)軸; 若方程缺兩個(gè)變量,于坐標(biāo)面.25四四. . 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 在討論一元函數(shù)時(shí), 常用鄰域和區(qū)間的概念. 本章討論多元函數(shù)時(shí), 也要用到鄰域和區(qū)域的概念. 故下面將一元函數(shù)的鄰域和區(qū)間的概念加以推廣. 1. 1. 鄰域鄰域000(,)p x y與與 22000(, )( , )()()n px yxxyy 間間的的距距離離小小于于000(,)0,p xyxy 設(shè)設(shè)是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，0,p 為為點(diǎn)點(diǎn) 的的 鄰鄰域域 并并記記為為( , )p x y的的點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體0(, ),n p 即即平面上平面上260(, )n p 的的幾幾何何意意義義為為：00,(, ),pn p點(diǎn)的 去心鄰域 通常記為即點(diǎn)的 去心鄰域 通常記為即 22000(, )( , ) 0()()n px yxxyy 000(,).xyp xy 平面上以點(diǎn)中心、以 長(zhǎng)為半徑的圓的內(nèi)