3格林(Green)公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件

1、3 一、區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域連通性的分類二、格林公式二、格林公式三、簡單應用三、簡單應用四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義一、區(qū)域連通性的分類 設設d為平面區(qū)域為平面區(qū)域, , 如果如果d內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于d, , 則稱則稱d為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復連通區(qū)域否則稱為復連通區(qū)域. .復連通區(qū)域復連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域dd 設空間區(qū)域設空間區(qū)域g, , 如果如果g內(nèi)任一閉曲面所圍成內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于的區(qū)域全屬于g, , 則稱則稱g是空間二維單連通域是空間二維單連通域; ; 如果如果g內(nèi)任

2、一閉曲線總可以張一片完全屬于內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于g的曲面的曲面, , 則稱則稱g為空間一維單連通區(qū)域為空間一維單連通區(qū)域. .ggg一維單連通一維單連通二維單連通二維單連通一維單連通一維單連通二維不連通二維不連通一維不連通一維不連通二維單連通二維單連通 設閉區(qū)域設閉區(qū)域d由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線l圍圍成成, ,函數(shù)函數(shù)),(),(yxqyxp及及在在d上具有一階連上具有一階連續(xù)偏導數(shù)續(xù)偏導數(shù), , 則有則有 ldqdypdxdxdyypxq)( (1) (1)其中其中l(wèi)是是d的取正向的邊界曲線的取正向的邊界曲線, ,公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式. .二、格林

3、公式定理定理1 1連成連成與與由由21lll組成組成與與由由21lll邊界曲線邊界曲線l l的正向的正向: 當觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走時,區(qū)區(qū)域域d總在他的左邊總在他的左邊.2ld1l2l1ld),()(),(21bxaxyxyxd 證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域d既是既是 x型型又是又是 y型型,即平行于即平行于坐標軸的直線和坐標軸的直線和l至至多交于兩點多交于兩點.),()(),(21dycyxyyxd yxo abdcd)(1xy )(2xy abce)(2yx )(1yx dxxqdydxdyxqyydcd )()(21 dcdcdyyyqdyyyq),(),(12 ca

4、ecbedyyxqdyyxq),(),( eaccbedyyxqdyyxq),(),( ldyyxq),(同理可證同理可證 lddxyxpdxdyyp),(yxod)(2yx dcce)(1yx 若若區(qū)區(qū)域域d由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明證明(2)(2)l1l2l3ld1d2d3d兩式相加得兩式相加得 ldqdypdxdxdyypxq)(將將d分成三個既是分成三個既是 x型又是型又是 y型的區(qū)域型的區(qū)域1d, ,2d, ,3d. . 321)()(dddddxdyypxqdxdyypxq 321)()()(ddddxdyypxqdxdyypxqdxdyy

5、pxq 321lllqdypdxqdypdxqdypdx lqdypdx1d2d3dl1l2l3l),(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)lllgd3l2lfce1lab證明證明(3)(3) 若區(qū)域不止由一條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段abab, ,cece. .則則d的邊界曲線由的邊界曲線由abab, ,2l, ,ba,ba,afc,ceafc,ce, , 3l, , ecec及及cgacga構(gòu)成構(gòu)成. .由由(2)知知 ddxdyypxq)( ceafcbalab2 cgaeclqdypdx)(3 lqdypdx 231)(lllqdypdx),

6、(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)lll便便于于記記憶憶形形式式: ldqdypdxdxdyqpyx.格格林林公公式式的的實實質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.xyol例例 1 1 計算計算 abxdy,其中曲其中曲線線ab是半徑為是半徑為r的圓在的圓在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入輔輔助助曲曲線線l,1. 1. 簡化曲線積分簡化曲線積分三、簡單應用abdboaboal 應應用用格格林林公公式式, xqp , 0 有有 ldxdydxdy, boaboaxdyxdyxdy, 0, 0 booaxdyxdy由于由于.4

7、12rdxdyxdydab 例例 2 2 計計算算 dydxdye2,其其中中d是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(bao為為頂頂點點的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域.解解 令令2, 0yxeqp ,2. 2. 簡化二重積分簡化二重積分xyoab11d則則 2yeypxq ,應應用用格格林林公公式式, ,有有 boaboaydydyxedxdye22 1022dxxedyxexoay).1(211 e例例3 3 計算計算 lyxydxxdy22, ,其中其中l(wèi)為一條無重點為一條無重點, ,分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, ,l的方的方向為逆時針方

8、向向為逆時針方向. .則則當當022 yx時時, , 有有ypyxxyxq 22222)(.記記l所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域為為d,解解令令2222,yxxqyxyp ,l( (1 1) ) 當當d )0, 0(時時, ,(2) 當當d )0 , 0(時時,1drlxyold由由格格林林公公式式知知 lyxydxxdy022作作位位于于d內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl ,記記1d由由l和和l所所圍圍成成,應應用用格格林林公公式式,得得yxo llyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1dll02222 llyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時時針

9、針方方向向).2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20格林公式格林公式: ldqdypdxdxdyypxq)(取取,xqyp 得得 ldydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域d的的面面積積 lydxxdya21.取取, 0 xqp 得得 lxdya取取, 0, qyp 得得 lydxa3. 3. 計算平面面積計算平面面積曲線曲線amo由函數(shù)由函數(shù), 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 計計算算拋拋物物線線)0()(2 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解解ona為為直直線線0 y. lydxxdya21 amoonaydxxdyydx

10、xdy2121)0 ,(aanm amoydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aanm其中其中l(wèi)是曲線是曲線| |x|+|+|y|=1|=1圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域d的正向邊界。的正向邊界。11- -1- -1ldyxo格林公式的應用格林公式的應用 （格林公式）（格林公式） 從從 證明了證明了： 練習練習1 1 計算積分計算積分 lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 dxycose(yxyxdd)1cose 222 a dyxypxqdd lyyxqxyxpd),(d),( lxxyyxyyd)1cose(d)sine(練習練

11、習2 2求星形線求星形線tytxl33sin,cos ：所界圖形的面積。所界圖形的面積。解解 dyxadd lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxodl11- -1- -1重要意義：重要意義： 1.1.它它建立了建立了二重積分二重積分與與曲線積分曲線積分的一種等式關(guān)系的一種等式關(guān)系2.2.它它揭示了揭示了函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部內(nèi)部與與邊界邊界之間的內(nèi)在聯(lián)系之間的內(nèi)在聯(lián)系4.4.它的應用范圍可以它的應用范圍可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的應用應用 3.3.從它出發(fā)，可以從它出發(fā)，可以導出導出數(shù)學物理

12、中的數(shù)學物理中的許多重要公式許多重要公式更加廣泛更加廣泛，而這只需要改變邊界的正向定義即可。，而這只需要改變邊界的正向定義即可。 dyxypxqdd 1lqdypdx四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 2lqdypdx如果對于區(qū)域如果對于區(qū)域 g 內(nèi)任意指定的兩點內(nèi)任意指定的兩點 a、b 以及以及 g 內(nèi)內(nèi)從點從點 a 到點到點 b 的任意兩條曲線的任意兩條曲線 l1，l2 有有 gyxoba1l2l 1lqdypdx 2lqdypdx. 0 lqdypdx)(21lll ( )( ,)( ,)0lidlp x y dxq x y dy沿內(nèi) 任 一 按 段 光 滑 封 閉 曲 線 ， 有( )( ,

13、)( ,),;liidlp x y dxq x y dyl對 內(nèi)任一按段光滑曲線 ，曲線積分與路線無關(guān) 只與 的起點及終點有關(guān)xqyparbqdypdxasbqdypdxarbqdypdxbsaqdypdxarbsaqdypdx=0所以 arbqdypdx=asbqdypdx,abu x ypdxqdy,acabu xx yu x ypdxqdypdxqdybcpdxqdy,bcuu xx yu x ypdxqdy ,xxxpdxqdyp xx yx xuyxxpxuxx,limlim00yxp,= = ,.uq x yy同理可證因此.dupdxqdy,.p x yu x yq x yu x

14、yxy所以因此22,.puquyx yxy x 22.uux yy x .pqyx.d于是，在于是，在 內(nèi)內(nèi).pqyx應用格林公式，有應用格林公式，有 dypxqdyyxqdxyxpdc )(),(),(. 0 ldyyxqdxyxp),(),(與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)., xqyp 若若 ),(),(1100yxbyxaqdypdxdyyxqdxyxpyyxx),(),(101010 ),(01yxc ),(11yxb ),(00yxa dxyxpdyyxqxxyy),(),(101010 或或xyol lqdypdx 則則cbac ),(10yxdaddb與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)解解因此，積分與路

15、徑無關(guān)。因此，積分與路徑無關(guān)。.2),( ,),( yxeyxqxeyxpyy 設設則則 p，q 在全平面上有在全平面上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且連續(xù)的一階偏導數(shù)，且,yeyp .yexq . xqyp 即即oxy112全平面是單連通域。全平面是單連通域。oxy112取一簡單路徑：取一簡單路徑：l1 + l2.1l2l. 10: , 0 :1 xyl. 20: , 1 :2 yxl lyydyyxedxxe)2()( 21)2()()2()(lyylyydyyxedxxedyyxedxxe 20100)21()(dyyedxxey.272 e因此，積分與路徑無關(guān)。因此，積分與路徑無關(guān)。,yeyp

16、.yexq . xqyp 即即全平面是單連通域。全平面是單連通域。解解因此，積分與路徑無關(guān)。因此，積分與路徑無關(guān)。. xqyp 即即oxy11.),( ,2),( 422yxyxqxyxyxp 設設則則 p，q 在全平面上有連續(xù)的在全平面上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且一階偏導數(shù)，且,2xyp .2xxq 全平面是單連通域。全平面是單連通域。oxy11 1010422)1()02(dyydxxx .1523 因此，積分與路徑無關(guān)。因此，積分與路徑無關(guān)。. xqyp 即即,2xyp .2xxq 全平面是單連通域。全平面是單連通域。取一簡單路徑：取一簡單路徑：l1 + l2. 10: , 0 :1 xyl

17、. 10: , 1 :2 yxl1l2l ldyyxdxxyx)()2(422 21)()2()()2(422422lldyyxdxxyxdyyxdxxyxxyo) ,(yxb ),(00yxa gdyyxqdxyxpyxuyyxx),(),(),(000 dxyxpdyyxqyxuxxyy),(),(),( 000 或或cbac dbad ),(0yxc ),(0yxd解解,2)(2xyxyyyp .2)(2xyyxxxq ,),(2xyyxp .),(2yxyxq 例例7 驗證：在驗證：在 xoy 面內(nèi)，面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)u (x, y) 的全微分，并求出一個

18、這樣的函數(shù)。的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。這里這里且且在整個在整個 xoy 面內(nèi)恒成立。面內(nèi)恒成立。xqyp 即，即，因此，在因此，在 xoy 面內(nèi)，面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)u (x, y) 的全微分。的全微分。dyyxdxxyxuyx 0),(0202 . 0 , 0 00 yx取取.222yx 積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)xqyp ，解解,2)(2xyxyyyp ),()(xyxyxxq ,),(2xyyxp ),(),(xyyxq 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 1.1.連通區(qū)域的概念連通區(qū)域的概念; ;2.2.二重積分與曲線積分的關(guān)系二重積分與曲線積分的關(guān)系3. 3. 格林公式的應用格林公式的應用. .格林公式格林公式; ; ldqdypdxdxdyypxq)(五、小結(jié)與與 路路 徑徑 無無 關(guān)關(guān) 的的 四四 個個 等等