多元函數(shù)微分學

1、 8.1.1 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念當當2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)第八章第八章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxd 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函

2、函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域為為d，對對于于任任意意取取定定的的dyxp ),(，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫坐坐標標、y為為縱縱坐坐標標、z為為豎豎坐坐標標在在空空間間就就確確定定一一點點),(zyxm，當當x取取遍遍d上上一一切切點點時時，得得一一個個空空間間點點集集),(),(| ),(dyxyxfzzyx ，這這個個點點集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayx

3、yxd 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: 設(shè)設(shè)),(000yxp是是xoy平平面面上上的的一一個個點點， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點點),(000yxp距距離離小小于于 的的點點),(yxp的的全全體體，稱稱為為點點0p的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 pu，（1）鄰域）鄰域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx8.1.2 平面點集的有關(guān)概念平面點集的有關(guān)概念 （2）內(nèi)點）內(nèi)點.)(的內(nèi)點的內(nèi)點為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個點如果存在點一個點如果存在點是平面上的是平面上的是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，設(shè)設(shè)epepup

4、pe ep .為開集為開集則稱則稱的點都是內(nèi)點，的點都是內(nèi)點，如果點集如果點集ee41),(221 yxyxe例如，例如，即為開集即為開集（3）開集）開集的邊界點的邊界點為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點（點的點（點也有不屬于也有不屬于的點，的點，于于的任一個鄰域內(nèi)既有屬的任一個鄰域內(nèi)既有屬如果點如果點epeepeepep 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 ee是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設(shè)設(shè)ddd

5、d （4）邊界點和邊界）邊界點和邊界（5）連通性）連通性連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo（6）區(qū)域）區(qū)域0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點集則稱為無界點集為有界點集，否為有界點集，否成立，則稱成立，則稱對一切對一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點與某一定點，使一切點，使一切點如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對于點集對于點集eepkapkapaepke

6、41| ),(22 yxyx（7）有界點集與無界點集）有界點集與無界點集8.1.3 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似例例2 2 求極限求極限 解解2222001sin)(limyxyxyx 01sin)(lim222200 yxyxyx例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin

7、(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 求極限求極限 .1sin1sin)(lim00yxyxyx 解解. 0 yxyxyx1sin1sin)(lim00 例例5 5 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在（1） 令令),(yxp沿沿

8、kxy 趨趨向向于于),(000yxp，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxp處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點函數(shù)的形式有利用點函數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(pf的定義域為點集的定義域為點集0, pd是其聚點且是其聚點且dp 0，如果，如果)()(lim00pfpfpp 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(pf在點在點

9、0p處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0p是是函函數(shù)數(shù))(pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(pf在在點點0p處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0p是是函函數(shù)數(shù))(pf的的間間斷斷點點.8.1.4 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).222222)0, 0(),()0, 0(),(lim),(limyxyyyxxxyxfyxyx 0 例例7 7 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxy

10、yxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在d d上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在d d上上取得介于這兩值之間的任何

11、值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原

12、式原式111lim00 xyyx.21 多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）小結(jié)小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義 若點若點),(yx沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點點),(00yx時，函數(shù)時，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 a，能否，能否斷定斷定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxk

13、xkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因為若取原因為若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. .練練 習習 題題 6 6、函數(shù)、函數(shù)yxz 的定義域是的定義域是_. . 7 7、函數(shù)、函數(shù)xyzarcsin 的定義域是的定義域是_. . 8 8、函數(shù)、函數(shù)xyxyz2222 的間斷點是的間斷點是_. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三、三、 證明：證明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 證明極限證明極限yxxyyx 11lim00不