9連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商的連續(xù)性證：由極限的運算法則證：由極限的運算法則. .gf ,0 x0)(,0 xggffggf0 x河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué).)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點點而而函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu xfxfxfxxxx00limlim0河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例如例如xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim xxx10)1

2、(limln 1 河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué) 定理定理3(反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性) ) 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)增加（或減少）且連續(xù)，那么上單調(diào)增加（或減少）且連續(xù)，那么它的反函數(shù)它的反函數(shù) 也在對應(yīng)區(qū)間也在對應(yīng)區(qū)間 上單調(diào)上單調(diào)增加（減少）且連續(xù)增加（減少）且連續(xù). .)(xfy xi)(yx yi例如例如, ,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy.1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)定理定理4(1)(1)基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都

3、是連續(xù)函數(shù)；基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)；(2)2)一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)內(nèi)都是連續(xù)函數(shù). .xt1.xt1.求求 . .xxtanlnlim4 河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例2 若若 ， ，則，則bxgxx )(lim00)(lim0 axfxxbxgxxaxf )()(lim0證：證：)(ln)()()(xfxgxgexf 而而abxfxgxxln)(ln)(lim0 所以所以)(ln)(lim)(ln)()(000lim)(limxfxgxfxgxxxgxxxxeexf babae ln河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué) 公式公式 類類求求問問題題 1

4、,lim:xvxu .)(lim,1)()(lim:)(axvexuaxuxv 則則設(shè)設(shè)bxgxxaxf )()(lim0 1)()()(,)()(11 xuxvxgxuxfxu axuxvxuxvxuxveexuxu 1)()(lim1)()(1)(1)(1)(1lim)(lim河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例3 求求 . .xxxcot20)sin1(lim 解解xxxcot20)sin1(lim xxxxcos2sin10)sin1(lim xxxxcos2sin10)sin1(lim 2e 河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例4 求求 . .xxxxba10)2(lim 0,0 ba解解xxxxba10)2(lim xxxxba10)221(lim xbabaxxxxxxxba22220)221(limxbaxxxe22lim0 而而 xbxaxbaxxxxxx1121lim22lim00 balnln21 abln 原式原式 ab 河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)xt1.1.討論討論 在在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性. . 1112)(xxxxxf1 x2.2.討論討論 的連續(xù)性的連續(xù)性. . 0102sin)(xaxxxxxf3.3.求函數(shù)求函數(shù) 的間斷點的間斷點,