高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2課時兩角和與差的正切公式學案新人教A版必修4

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料第2課時兩角和與差的正切公式學習目標：1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明(重點)3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形,并能靈活應(yīng)用(難點)自 主 預 習·探 新 知兩角和與差的正切公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切t()tan(),k(kz) 且tan ·tan 1兩角差的正切t()tan(),k(kz)且tan ·tan 1基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)存在,r,使tan()tan tan 成立()(2)對任意,r,tan()都成立()(3)tan()

2、等價于tan tan tan()·(1tan tan )()解析(1).當0,時,tan()tantan 0tan ,但一般情況下不成立(2)×.兩角和的正切公式的適用范圍是,k(kz)(3).當k(kz),k(kz),k(kz)時,由前一個式子兩邊同乘以1tan tan 可得后一個式子答案(1)(2)×(3)2已知tan 2,則tan_.3tan3.3_.原式tan(75°15°)tan 60°.合 作 探 究·攻 重 難兩角和與差的正切公式的正用(1)已知,均為銳角,tan ,tan ,則_.(2)如圖3­1&

3、#173;2,在abc中,adbc,d為垂足,ad在abc的外部,且bdcdad236,則tanbac_.圖3­1­2思路探究(1)先用公式t()求tan(),再求.(2)先求cad,bad的正切值,再依據(jù)tanbactan(cadbad)求值(1)(2)(1)tan ,tan ,tan()1.,均為銳角,(0,),.(2)adbc且bdcdad236,tanbad,tancad,tanbactan(cadbad).規(guī)律方法1.公式t(±)的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律：(1)結(jié)構(gòu)特征：公式t(±)的右側(cè)為分式形式,其中分子為tan 與tan 的和或差,分母為1與

4、tan tan 的差或和(2)符號規(guī)律：分子同,分母反2利用公式t()求角的步驟：(1)計算待求角的正切值(2)縮小待求角的范圍,特別注意隱含的信息(3)根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角跟蹤訓練1(1)(2018·全國卷)已知tan,則tan _.(2)已知角,均為銳角,且cos ,tan(),則tan _.(1)(2)3(1)因為tan,所以tan tan.(2)因為cos ,為銳角,所以sin ,tan ,所以tan tan()3.兩角和與差的正切公式的逆用(1)_.(2)_. 【導學號：84352318】思路探究注意特殊角的正切值和公式t(±)的結(jié)構(gòu),適當變形后逆用公式

5、求值(1)(2)1(1)原式tan(45°15°)tan 60°.(2)原式tan(30°75°)tan 45°1.規(guī)律方法公式t(±)的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu),另一方面要注意常值代換.如tan1,tan,tan等.要特別注意tan,tan.跟蹤訓練2已知、均為銳角,且sin 22sin 2,則()atan()3tan()btan()2tan()c3tan()tan()d3tan()2tan()asin 22sin 2,sin()()2sin()(),sin()cos()cos()sin()2sin()cos()2cos

6、()sin(),sin()cos()3cos()sin(),兩邊同除以cos()cos()得tan()3tan()兩角和與差的正切公式的變形運用探究問題1兩角和與差的正切公式揭示了tan tan 與哪些式子的關(guān)系？提示：揭示了tan tan 與tan tan ,tan tan 與tan tan 之間的關(guān)系2若tan 、tan 是關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0,b24ac0)的兩個根,則如何用a、b、c表示tan()?提示：tan().(1)tan 67°tan 22°tan 67°tan 22°_.(2)已知abc中,tan btan ctan bta

7、n c,且tan atan btan atan b1,試判斷abc的形狀.【導學號：84352319】思路探究(1)看到tan 67°tan 22°與tan 67°tan 22°想到將tan(67°22°)展開變形,尋找解題思路(2)先由關(guān)于角a,b的等式求出tan(ab)得角ab,然后求角c并代入關(guān)于角b,c的等式求角b,最后求角a,判斷abc的形狀(1)1tan 67°tan 22°tan(67°22°)(1tan 67°tan 22°)tan 45°(1tan

8、 67°tan 22°)1tan 67°tan 22°,tan 67°tan 22°tan 67°tan 22°1tan 67°tan 22°tan 67°tan 22°1.(2)解：tan atan btan atan b1,(tan atan b)tan atan b1,tan(ab).又0ab,ab,c.tan btan ctan btan c,tan c,tan btan b,tan b,b,a,abc為等腰鈍角三角形母題探究：1.將例3(1)中的角同時增加1

9、6;結(jié)果又如何？解tan 45°tan(68°23°),1tan 68°tan 23°tan 68°tan 23°,即tan 68°tan 23°tan 68°tan 23°1.2能否為例3(1)和探究1歸納出一個一般結(jié)論？若能,試證明解一般結(jié)論：若45°(,k180°90°,kz),則tan tan tan tan 1.證明：tan 45°tan(),1tan tan tan tan ,即tan tan tan tan 1.規(guī)律方法1.整體意識

10、：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tan ±tan ”及“tan ·tan ”兩個整體,?？紤]tan(±)的變形公式2熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)1tan tan ；(3)tan tan tan ·tan ·tan()tan()；(4)tan ·tan 1.提醒：當一個式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時,?？紤]使用兩角和或差的正切公式當 堂 達 標·固 雙 基1若tan 3,tan()2,則tan ()abc1d1atan tan().2已知tan tan 2,tan()4,則tan tan 等于() 【導學號：84352320】a2b1 cd4cta