D128一般周期的ok

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 一、周期為一、周期為2 l 的周期函數(shù)的的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、周期為一、周期為2 l 的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)周期為 2l 的函數(shù) f (x)周期為 2 的函數(shù) f(z)變量代換lxz將f(z) 作傅氏展開 f (x) 的傅氏展開式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 狄利克雷狄利克雷( dirichlet )條件條件:1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2) 在一個周期內(nèi)只

2、有有限個極值點naxlxnxflbllndsin)(1l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理條件,則它的傅里里葉級數(shù)展開式為10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的連續(xù)點處)其中定理定理.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明: 令lxz, 則,llx,z令)(zf, )(z lf則)2()2(zlfzf)2(lzlf)(zlf)(zf所以)(zf且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里里葉級數(shù):10sincos2)(nnnznbznaazf( 在 f(z) 的連續(xù)點處 )(xf變成是以2 為

3、周期的周期函數(shù), 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zznzfandcos)(1其中zznzfbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 連續(xù)點處 )xlxnxflldcos)(證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的連續(xù)點處)lxnsinl20l如果 f (x) 為偶函數(shù), 則有(在 f (x) 的連續(xù)點處)2)(0axf),2,

4、 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 無論哪種情況 ,).()(21xfxf在 f (x) 的間斷點 x 處, 傅里里葉級數(shù)都收斂于l20l如果 f (x) 為奇函數(shù), 則有 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(tfto0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流電壓tetesin)(經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解解: 這個半波整流函數(shù)2,它在)(tfna0dcossinttnte,sinte,0傅里里葉級數(shù).,上的表達(dá)式為0t0 t2e的周期是22目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 000d2sintt21ea te2cos212時1n0d)

5、 1sin() 1sin(ttntn2eantnn) 1cos() 1(12e0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnenn) 1(1) 1(21nen32 ,0 kn,)41 (22ke), 1,0(kkn2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tttebdsinsin01ttntned) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnebn0) 1() 1sin(0ntnttntebndsinsin0tted)2cos1 (20022sin2tte2en 1 時目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于半波整流函數(shù) f ( t ),),(上連續(xù)在)(etftes

6、in2tkkek2cos411212)(t直流部分說明說明:交流部分由收收斂定理可得2 k 次諧波的振幅為,14122keak k 越大振幅越小,因此在實際應(yīng)用中展開式取前幾項就足以逼近 f (x)了.上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和. )(tfto22目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oyx2例例2. 把展開成)20()(xxxf(1) 正弦級數(shù); (2) 余弦級數(shù).解解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓, 則有),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1x

7、nnn)20( x在 x = 2 k 處級數(shù)收斂于何值?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 o 2yx(2) 將 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xancosd2n xx22022sincos22nxnxxnn224( 1)1nn xxf)(200d22xxa2kn2,0228,(21) k),2, 1(k則有22181(21)1cos(21)2kkxk )20( x12 kn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 o 2yx說明說明: 此式對0 x也成立,2211(21)8kk由此還可導(dǎo)出121nn2812141nn22116nn12)2(1kk22181(21)( )1cos(21)2

8、kkxf xxk )20( x12) 12(1kk據(jù)此有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzf, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里葉級數(shù))(zf周期延拓將2abxz)(xf在,ba代入展開式上的傅里葉級數(shù) 其展開方法為:xab2ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzf, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦級數(shù))(zf奇或偶式周期延拓將 代入展開式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦級數(shù) xab目錄 上頁

9、下頁 返回 結(jié)束 例例3. 將函數(shù))155(10)(xxxf展成傅里里葉級數(shù).解解: 令,10 xz設(shè))55( )10()()(zzzfxfzf將f(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù), 理條件.由于f(z) 是奇函數(shù), 故),2, 1,0(0nan5052zbnsind5n zznn10) 1(),2,1(n則它滿足收斂定110( 1)( )sin5nnn zf zn)55(z110( 1)10sin5nnn xxn)155( x)(zfz55o目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用歐拉公式歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè) f (x)是周期為 2 l 的周期函數(shù) ,

10、則01( )cossin2nnnan xn xf xabll1cos2n xliieen xn xllisin2n xliieen xn xll1022)(nnaaxfiieen xn xll2inbiieen xn xll102i2nnnbaa2innba ien xlien xl0cncnc目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 llxfl)(21llxxfld)(21200ac 11( )cosd2lln xf xxll2innnbaci( )sindlln xf xxll1( )cosi sind2lln xn xf xxlllllxfl)(21),2, 1(dnxien xl注意到2innnb

11、acxd同理),2, 1(nien xl目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式:xxflctxnllnde)(212itxnnncxf2ie)(),2, 1,0(n因此得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 式的傅里里葉級數(shù) . 例例4. 把寬為 ,高為 h ,周期為 t 的矩形波展成復(fù)數(shù)形解解: 在一個周期,22tt)(tu它的復(fù)數(shù)形式的傅里里葉系數(shù)為 2 2d1thtth內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為 022d)(1ttttutc22,th2222,0tttt22tyx22tho目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ttutttnttde)(12i2 2nc2 22ide1thtttntnnhsin)

12、,2,1(nthtu)(httnntnn2iesin10n), 1,0,2(ktkt i2ntthi21nhttn2ie22tntniiee目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為正弦 級數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當(dāng)f (x)為奇 函數(shù)時,(偶)(余弦)2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3. 傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導(dǎo)出目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答答: 易看出奇偶性及間斷點, 2. 計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算 ?答答: 用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子 nk作業(yè)作業(yè): p319 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; *3 從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域 .,時nnbakkba 或則必須單獨計算.習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題) 11(2)(xxxf將期的傅立葉級數(shù), 并由此求級數(shù)121nn(1991 考研) 解解:y1ox12)(xf為偶函數(shù),0nb100d