絕對值的三角不等式典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.4 絕對值三角不等式教學(xué)目標(biāo)： 1. 理解絕對值的定義，理解不等式基本性質(zhì)的推導(dǎo)過程；2. 掌握定理 1 的兩種證明思路及其幾何意義；3.理解絕對值三角不等式；4.會用絕對值不等式解決一些簡單問題。教學(xué)重點： 定理 1 的證明及幾何意義。教學(xué)難點： 換元思想的滲透。教學(xué)過程：一、引入 ：證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：（ 1） ab a b（2） a b a b（ 3） ab a baa (b 0)（4）bb請同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質(zhì)存在的道理？實際上，性質(zhì) a

2、baa (b 0) 可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法a b 和bb法則直接推出； 而絕對值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。 因此，只要能夠證明 a b a b 對于任意實數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明?，F(xiàn)在請同學(xué)們討論一個問題：設(shè)a 為實數(shù)， a 和 a 哪個大？顯然 aa ，當(dāng)且僅當(dāng) a0 時等號成立（即在 a0 時，等號成立。在 a0時，等號不成立）。同樣， aa. 當(dāng)且僅當(dāng) a0 時，等號成立。含有絕對值的不等式的證明中，常常利用aa 、 aa 及絕對值的和的性質(zhì)。二、典型例題 ：例 1、證明 （ 1） abab ，（2） abab 。證明（ 1）如果 ab0, 那么 aba

3、b. 所以 ababab .如果ab0,那么ab(ab).所以aba( b)(ab)ab學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）根據(jù)（ 1）的結(jié)果，有 abbabb ，就是， abba 。所以， abab 。例 2、證明ababab 。例 3、證明abacbc 。思考：如何利用數(shù)軸給出例3 的幾何解釋？（設(shè) A，B，C 為數(shù)軸上的 3 個點，分別表示數(shù) a，b，c，則線段 AB AC CB. 當(dāng)且僅當(dāng) C 在 A，B 之間時，等號成立。這就是上面的例 3。特別的， 取 c 0（即C為原點），就得到例 2 的后半部分。）探究：試?yán)媒^對值的幾何意義，給出不等式abab 的幾何解釋？定理 1如果 a, bR ,那么

4、 abab .在上面不等式中 , 用向量 a,b 分別替換實數(shù) a,b , 則當(dāng) a, b 不共線時 , 由向量加法三角形法則 :向量 a, b , ab 構(gòu)成三角形 ,因此有a+b<a+b其幾何意義是什么？含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1，例 2 和例 3 的結(jié)果來證明。例 4、已知xac , ybc ，求證 ( x y)(ab)c.22證明(xy)( ab)(xa)( yb)xay b（1）xac , ybc ，22 xaccc（2）y b22由（ 1），（2）得： ( x y) (ab)c例 5、已知 xa , ya . 求證： 2x3 ya 。

5、46證明xa , ya ， 2xa , 3 ya ，4622由例 1 及上式， 2x3y2x3yaaa 。22注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。四、鞏固性練習(xí) ：學(xué)習(xí)必備歡迎下載1、已知 Aac , Bbc . 求證： ( A B)(ab)c 。222、已知 xac , ybc . 求證： 2x 3 y2a3bc 。46作業(yè)：習(xí)題 1.22、3、51.4 絕對值三角不等式學(xué)案預(yù)習(xí)目標(biāo)：1.理解絕對值的定義，理解不等式基本性質(zhì)的推導(dǎo)過程；2. 了解定理 1 的兩種證明思路及其幾何意義 ;3.理解絕對值三角不等式。預(yù)習(xí)內(nèi)容：1絕對

6、值的定義 ：aR ， | a |2.絕對值的幾何意義 ：10.實數(shù) a 的絕對值 | a |，表示數(shù)軸上坐標(biāo)為 a 的點 A20.兩個實數(shù) a, b，它們在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A, B ，那么 | ab |的幾何意義 是3. 定理 1 的內(nèi)容是什么？其證法有幾種？4. 若實數(shù) a, b 分別換成向量 a, b 定理 1 還成立嗎？5、定理 2 是怎么利用定理1 證明的？探究學(xué)習(xí)：1、絕對值的定義的應(yīng)用例 1 設(shè)函數(shù) f ( x)x1x4 1 解不等式 f ( x)2 ； 2 求函數(shù) yf ( x) 的最值2. 絕對值三角不等式：探究 | a | ， | b |， | ab |之間的關(guān)系 . a

7、 b 0 時 , 如下圖 ,容易得： | a b | a | | b | . a b0 時 , 如圖 ,容易得： | ab | a | b | .學(xué)習(xí)必備歡迎下載 a b0 時 , 顯然有： | ab | a |b | .綜上, 得定理 1如果 a, bR ,那么 | ab | a | b | .當(dāng)且僅當(dāng)時 ,等號成立.在上面不等式中 , 用向量 a,b 分別替換實數(shù) a,b , 則當(dāng) a, b 不共線時 , 由向量加法三角形法則 :向量 a, b , a b 構(gòu)成三角形 , 因此有 | a b | | a | | b | 它的幾何意義就是 :定理 1的證明:定理 2 如果 a,b,cR ,那

8、么 |ac | a b| b c |. 當(dāng)且僅當(dāng)時 ,等號成立 .3、定理應(yīng)用例 2 （1） a,bR 證明 abab ，（ 2）已知x ac , ybc，求證 ( x y) (a b) c. 。22課后練習(xí) ：1. 當(dāng) a、 bab成立的充要條件是R時，不等式1abA ab0B a2b20C ab0D ab0學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. 對任意實數(shù) x ， | x1| x2 |a 恒成立，則 a 的取值范圍是；3. 對任意實數(shù) x ， | x1| x3|a 恒成立，則 a 的取值范圍是4. 若關(guān)于 x 的不等式 | x4 | x3|a 的解集不是空集，則a 的取值范圍是x 2x 2,不等式|x|x5

9、. 方程 x2 3 xx2 3x的解集為2 x2 x 的解集是6. 已知方程 | 2x1 | 2 x1 |a1 有實數(shù)解，則 a 的取值范圍為。7. 畫出不等式 x y 1的圖形，并指出其解的范圍。利用不等式的圖形解不等式1、 x1x11;2、 x2 y1.8. 解不等式： 1、 2x 1 x 1 ; 2、 x21;x13、 x 1 x 2 3 ; 4、 x 2 x 1 3 0.9. 1 、已知 xa , y a . 求證： 2x 3 y a 。46學(xué)習(xí)必備歡迎下載2 、已知xac4, ybc .求證：62x3y2a3bc 。3 、已知Aas3, Bbs, C3cs .3求證：( ABC )(

10、abc)s10. 1 、已知xa , ya. 求證：xya.x2、已知xch, yc0. 求證：h.y學(xué)習(xí)必備歡迎下載參考答案 :課后練習(xí)1. B.2、 a 33 、a4 4、 a 75、-3 x =-2 或 x =0x<0 或 x>2 6、 -3<=a<-17、先考慮不等式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的情況。在第一象限內(nèi)不等式等價于：x0， y0 ，x y1 .其圖形是由第一象限中直線y1x 下方的點所組成。同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式x y 1O 為的圖形是以原點中心，四個等點分別在坐標(biāo)軸上的正方形。不等式解的范圍一目了然。探究： 利用不等式的圖形解不等式1. x 1 x 1 1;2 x 2 y 1.答案： 1、-0.5<x<0.52.為一菱形區(qū)