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文檔簡介
1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.4 絕對值三角不等式教學(xué)目標(biāo): 1. 理解絕對值的定義,理解不等式基本性質(zhì)的推導(dǎo)過程;2. 掌握定理 1 的兩種證明思路及其幾何意義;3.理解絕對值三角不等式;4.會用絕對值不等式解決一些簡單問題。教學(xué)重點: 定理 1 的證明及幾何意義。教學(xué)難點: 換元思想的滲透。教學(xué)過程:一、引入 :證明一個含有絕對值的不等式成立,除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外,經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì):( 1) ab a b(2) a b a b( 3) ab a baa (b 0)(4)bb請同學(xué)們思考一下,是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質(zhì)存在的道理?實際上,性質(zhì) a
2、baa (b 0) 可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法a b 和bb法則直接推出; 而絕對值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。 因此,只要能夠證明 a b a b 對于任意實數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明?,F(xiàn)在請同學(xué)們討論一個問題:設(shè)a 為實數(shù), a 和 a 哪個大?顯然 aa ,當(dāng)且僅當(dāng) a0 時等號成立(即在 a0 時,等號成立。在 a0時,等號不成立)。同樣, aa. 當(dāng)且僅當(dāng) a0 時,等號成立。含有絕對值的不等式的證明中,常常利用aa 、 aa 及絕對值的和的性質(zhì)。二、典型例題 :例 1、證明 ( 1) abab ,(2) abab 。證明( 1)如果 ab0, 那么 aba
3、b. 所以 ababab .如果ab0,那么ab(ab).所以aba( b)(ab)ab學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2)根據(jù)( 1)的結(jié)果,有 abbabb ,就是, abba 。所以, abab 。例 2、證明ababab 。例 3、證明abacbc 。思考:如何利用數(shù)軸給出例3 的幾何解釋?(設(shè) A,B,C 為數(shù)軸上的 3 個點,分別表示數(shù) a,b,c,則線段 AB AC CB. 當(dāng)且僅當(dāng) C 在 A,B 之間時,等號成立。這就是上面的例 3。特別的, 取 c 0(即C為原點),就得到例 2 的后半部分。)探究:試?yán)媒^對值的幾何意義,給出不等式abab 的幾何解釋?定理 1如果 a, bR ,那么
4、 abab .在上面不等式中 , 用向量 a,b 分別替換實數(shù) a,b , 則當(dāng) a, b 不共線時 , 由向量加法三角形法則 :向量 a, b , ab 構(gòu)成三角形 ,因此有a+b<a+b其幾何意義是什么?含有絕對值的不等式常常相加減,得到較為復(fù)雜的不等式,這就需要利用例1,例 2 和例 3 的結(jié)果來證明。例 4、已知xac , ybc ,求證 ( x y)(ab)c.22證明(xy)( ab)(xa)( yb)xay b(1)xac , ybc ,22 xaccc(2)y b22由( 1),(2)得: ( x y) (ab)c例 5、已知 xa , ya . 求證: 2x3 ya 。
5、46證明xa , ya , 2xa , 3 ya ,4622由例 1 及上式, 2x3y2x3yaaa 。22注意: 在推理比較簡單時,我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法,只能用于不等號方向相同的不等式。四、鞏固性練習(xí) :學(xué)習(xí)必備歡迎下載1、已知 Aac , Bbc . 求證: ( A B)(ab)c 。222、已知 xac , ybc . 求證: 2x 3 y2a3bc 。46作業(yè):習(xí)題 1.22、3、51.4 絕對值三角不等式學(xué)案預(yù)習(xí)目標(biāo):1.理解絕對值的定義,理解不等式基本性質(zhì)的推導(dǎo)過程;2. 了解定理 1 的兩種證明思路及其幾何意義 ;3.理解絕對值三角不等式。預(yù)習(xí)內(nèi)容:1絕對
6、值的定義 :aR , | a |2.絕對值的幾何意義 :10.實數(shù) a 的絕對值 | a |,表示數(shù)軸上坐標(biāo)為 a 的點 A20.兩個實數(shù) a, b,它們在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A, B ,那么 | ab |的幾何意義 是3. 定理 1 的內(nèi)容是什么?其證法有幾種?4. 若實數(shù) a, b 分別換成向量 a, b 定理 1 還成立嗎?5、定理 2 是怎么利用定理1 證明的?探究學(xué)習(xí):1、絕對值的定義的應(yīng)用例 1 設(shè)函數(shù) f ( x)x1x4 1 解不等式 f ( x)2 ; 2 求函數(shù) yf ( x) 的最值2. 絕對值三角不等式:探究 | a | , | b |, | ab |之間的關(guān)系 . a
7、 b 0 時 , 如下圖 ,容易得: | a b | a | | b | . a b0 時 , 如圖 ,容易得: | ab | a | b | .學(xué)習(xí)必備歡迎下載 a b0 時 , 顯然有: | ab | a |b | .綜上, 得定理 1如果 a, bR ,那么 | ab | a | b | .當(dāng)且僅當(dāng)時 ,等號成立.在上面不等式中 , 用向量 a,b 分別替換實數(shù) a,b , 則當(dāng) a, b 不共線時 , 由向量加法三角形法則 :向量 a, b , a b 構(gòu)成三角形 , 因此有 | a b | | a | | b | 它的幾何意義就是 :定理 1的證明:定理 2 如果 a,b,cR ,那
8、么 |ac | a b| b c |. 當(dāng)且僅當(dāng)時 ,等號成立 .3、定理應(yīng)用例 2 (1) a,bR 證明 abab ,( 2)已知x ac , ybc,求證 ( x y) (a b) c. 。22課后練習(xí) :1. 當(dāng) a、 bab成立的充要條件是R時,不等式1abA ab0B a2b20C ab0D ab0學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. 對任意實數(shù) x , | x1| x2 |a 恒成立,則 a 的取值范圍是;3. 對任意實數(shù) x , | x1| x3|a 恒成立,則 a 的取值范圍是4. 若關(guān)于 x 的不等式 | x4 | x3|a 的解集不是空集,則a 的取值范圍是x 2x 2,不等式|x|x5
9、. 方程 x2 3 xx2 3x的解集為2 x2 x 的解集是6. 已知方程 | 2x1 | 2 x1 |a1 有實數(shù)解,則 a 的取值范圍為。7. 畫出不等式 x y 1的圖形,并指出其解的范圍。利用不等式的圖形解不等式1、 x1x11;2、 x2 y1.8. 解不等式: 1、 2x 1 x 1 ; 2、 x21;x13、 x 1 x 2 3 ; 4、 x 2 x 1 3 0.9. 1 、已知 xa , y a . 求證: 2x 3 y a 。46學(xué)習(xí)必備歡迎下載2 、已知xac4, ybc .求證:62x3y2a3bc 。3 、已知Aas3, Bbs, C3cs .3求證:( ABC )(
10、abc)s10. 1 、已知xa , ya. 求證:xya.x2、已知xch, yc0. 求證:h.y學(xué)習(xí)必備歡迎下載參考答案 :課后練習(xí)1. B.2、 a 33 、a4 4、 a 75、-3 x =-2 或 x =0x<0 或 x>2 6、 -3<=a<-17、先考慮不等式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的情況。在第一象限內(nèi)不等式等價于:x0, y0 ,x y1 .其圖形是由第一象限中直線y1x 下方的點所組成。同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式x y 1O 為的圖形是以原點中心,四個等點分別在坐標(biāo)軸上的正方形。不等式解的范圍一目了然。探究: 利用不等式的圖形解不等式1. x 1 x 1 1;2 x 2 y 1.答案: 1、-0.5<x<0.52.為一菱形區(qū)
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