蘇科版八年級上冊數(shù)學第1章《全等三角形》單元知識點

第1章全等三角形一、全等形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合．能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．要點詮釋：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等．兩個全等形的周長相等，面積相等．二、全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形．三、對應頂點，對應邊，對應角1．對應頂點，對應邊，對應角定義兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角．要點詮釋：在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣容易找出對應邊、對應角．如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應角．2．找對應邊、對應角的方法（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；（3）有公共邊的，公共邊是對應邊；（4）有公共角的，公共角是對應角；（5）有對頂角的，對頂角一定是對應角；（6）兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等．四、全等三角形的性質全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等．要點詮釋：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等．全等三角形的性質是今后研究其它全等圖形的重要工具．五、全等三角形的判定六、全等三角形的證明思路七、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發(fā)點．運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題．可以適當總結證明方法．1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等．(2)利用角平分線的性質證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等．(3)等式性質．2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質進行證明．(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等．(3)利用角平分線的判定進行證明．(4)同角（等角）的余角（補角）相等．(5)對頂角相等．3．證明兩條線段的位置關系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個三角形全等，得到對應角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明．4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉變換的全等三角形．5．證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們全等的條件．（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應根據圖形的其它性質或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件．（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關系，此時應添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構造出全等三角形來研究平面圖形的性質．八、三角形的穩(wěn)定性三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性．要點詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結構，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結構，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．九、用尺規(guī)作三角形一、已知三角形的兩邊及其夾角，求作這個三角形已知：線段a，c和∠α，如圖4－4－16所示．圖4－4－16求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．作法：(1)作一條線段BC＝a(如圖4－4－17)；圖4－4－17(2)以B為頂點，以BC為一邊，作∠DBC＝∠α(如圖4－4－18)；圖4－4－18(3)在射線BD上截取線段BA＝c(如圖4－4－19)；圖4－4－19圖4－4－20(4)連接AC(如圖4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．[點析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據是兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等．二、已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個三角形已知：∠α，∠β和線段c，如圖4－4－21所示．圖4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．作法：(1)作∠DAF＝∠α；圖4－4－22圖4－4－23(2)在射線AF上截取線段AB＝c；圖4－4－24(3)以B為頂點，以BA為一邊，在AB的同側作∠ABE＝∠β，BE交AD于點C．△ABC就是所求作的三角形．[點析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據是兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．三、已知三角形的三條邊，求作這個三角形已知：線段a，b，c，如圖4－4－25所示．圖4－4－25求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a．作法：(1)作一條線段BC＝a；圖