微積分基本定理

1、微積分基本定理北京師范大學(xué)珠海分校歐陽(yáng)順湘copyleft 聲明：為傳播數(shù)學(xué)，鼓勵(lì)復(fù)制，發(fā)布，修改，但不得用于商業(yè)用途, 并禁止任何其它阻礙傳播的行為從此將達(dá)微積分基本定理 定積分計(jì)算： 按定義計(jì)算 微積分基本定理注 定積分定積分 與積分變量所選取的字母無(wú)與積分變量所選取的字母無(wú)關(guān)關(guān),即即badxxf)(abbadttfdxxf)()( 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè)x為為,ba上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx變上限定積分變上限定積分 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變

2、變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，變上限定積分積分上限函數(shù)積分上限函數(shù).)()( xadttfx同理，可定義變下限定積分積分下限函數(shù)積分下限函數(shù)bxdttfx)()(只需考慮變上限積分.)()( xadttfxxababxdttfdttfdttfx)()( )()(因?yàn)樽兿薅ǚe分的性質(zhì)連續(xù)性a,b上可積函數(shù) f(x) 的變限定積分 (x), (x)是a,b上的連續(xù)函數(shù). 變限定積分的性質(zhì)可導(dǎo)性abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)

3、dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 微積分基本定理（微分形式）微積分基本定理（微分形式）xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x注 微積分基本定理表明： 如果 f 連續(xù)，則它的變上限積分是它的一個(gè)原函數(shù)。( )(

4、 )xaf x dxf x dxc定理（原函數(shù)存在定理）定理（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.定理定理 2 2（牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式）如如果果)(xf是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(a

5、fbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xf是是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，cxxf )()(,bax 證證微積分基本微積分基本定理定理積分形式令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(caf ),()()(afxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxf)( 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它

6、的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.從不定積分到定積分table of indefinite integralsxndx xn1n 1 cexdx ex csinxdx cosx ccosxdx sinx csec2xdx tanx c1xdx lnx caxdx axlna ccsc2xdx cot x csecxtanxdx secx ccscxcot xdx cscx ctable of indefinite int

7、egralscxdxxcxdxxckxdxk1212sin11tan11example：definite integrals111()1bnnnadxnxba221()2badxxba01bbaadxdxxba2331()3badxxba11 (1)1nndxcnnxx table of definite integrals微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例1 計(jì)算20sin dxx微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例1計(jì)算20sin dxx20sin dxx20cos x (coscos0)2 coscos00 112 微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例1計(jì)算20sin dx

8、x2020sin dcos (coscos0)2 coscos00 112xxx 微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例1 20sin d1xx微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例2設(shè) x0, 求11dxtt微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例2111dlnlnln1lnxxttxxt設(shè) x0, 11dlnxtxt微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例3回憶 211yx微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例3211yx 求藍(lán)色部分面積微積分基本定理應(yīng)用微積分基本定理應(yīng)用 例3211yx藍(lán)色部分面積=1201 d?1xx1201 d1xxarctan1 arctan010arcta

9、n x0441201 d1xx4無(wú)窮等比遞縮數(shù)列求和2461?xxx2462111xxxx 120124601 1(1)dxxxxxdx111124600001dxx dxx dxx dx1201 d1xx111124600001dxx dxx dxx dx1201 d1xx圓周率歸來(lái)23451 ttttt 同理：請(qǐng)思考11 tln(1)?ln2?x例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1

10、上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12例例7 7 求求 解解.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，x1的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 計(jì)計(jì)算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積.解解 面積面積xyo 0sin xdxa 0cos x. 2 3.微積分基本公式微積分基本公式1. 變上限變上限積分積分 xadttfx)()(2. 變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(afbfdxxfba

11、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系習(xí)題 p111 2 更多。below 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxfxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xf 為為補(bǔ)充補(bǔ)充 )()()()(xaxafxbxbf )()()()(xbxadttfdxdxf例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.例例 2 2 設(shè)設(shè))(xf在在),(內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf.證明函數(shù)證明函數(shù) xxdttfdtttfxf00)()()(在在), 0( 內(nèi)為單調(diào)增內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)加函數(shù).證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xx