微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件03第3講數(shù)列極限

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項級數(shù)的含義。和極限。正確理解語言描述數(shù)列的會用了解數(shù)列極限的概念， nn念和性質(zhì)。量的概收斂準(zhǔn)則。熟悉無窮小熟悉數(shù)列極限的性質(zhì)和。極限或簡單的極限證明限運算法則計算數(shù)列的以及極式”法、“夾逼定理”能熟練運用“放大不等性質(zhì)。件以及收斂級數(shù)的基本必要條性質(zhì)。掌握級數(shù)收斂的理解常數(shù)項級數(shù)概念和別法。收斂判判別法。掌握交錯級數(shù)熟悉常數(shù)項級數(shù)的收斂級數(shù)的斂散性。數(shù)、熟悉等比級數(shù)、調(diào)和級p本章學(xué)習(xí)要求：第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項級數(shù)第一節(jié) 數(shù)列的極限一、數(shù)列及其簡單性質(zhì)二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極

2、限的性質(zhì) . )( 為定義域的函數(shù)是以正整數(shù)集設(shè)znf , )( | )( nnnfxxzffnn的值域?qū)?, 增大的次序排列出來所按自變量中的元素nxn 得到的一串?dāng)?shù)： , , , ,21nxxx稱為一個數(shù)列, 記為 xn .1. 定義一、數(shù)列及其簡單性質(zhì) 數(shù)列也稱為序列公式法圖示法表格法 運用數(shù)軸表示運用直角坐標(biāo)系表示介紹幾個數(shù)列xn0242nx1x2 x 例1 ,2 , , 8 , 4 , 2 :2 ) 1 (nn .2 :nnx 通項xnx2x1n214121x0 x381 ,21 , ,81 ,41 ,21 :21 )2(nn.21 :nnx 通項011nx212nxx,) 1( ,

3、 , 1 , 1 , 1 , 1 :) 1( )3(11nn.) 1( :1nnx通項xn1211m3x1xnx2x4x212 nx 0,) 1(1 , ,31 , 0 ,21 , 0 , 1 , 0 :) 1(1 )4(nnnn.) 1(1 nxnn通項：1xnx3x2x1x02132431nn ,1 , ,43 ,32 ,21 :1 )5(nnnn.1 :nnxn通項3. 數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性有界性則稱滿足若 , 21nnxxxx(1) 數(shù)列的單調(diào)性 . , nnxx記為嚴(yán)格單調(diào)增加則稱滿足若 , 21nnxxxx . , nnxx也記為單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)減少的情形怎么定義？ 有誰來說一說.則稱

4、滿足若 , 21nnxxxx . , nnxx記為嚴(yán)格單調(diào)增加則稱滿足若 , 21nnxxxx . , nnxx也記為單調(diào)增加嚴(yán)格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴(yán)格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學(xué)過嗎 ？, | )(| , i , 0 成立有時使得當(dāng)若mxfxm . i )( 上有界在區(qū)間則稱函數(shù)xfoxymmmy my()i)(xfy , , | , 0 成立使得若nnmxmn . . 是無界的否則稱有界則稱數(shù)列nnxx數(shù)列的有界性的定義如何定義數(shù)列無界？ 有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系中的圖形會是什么樣子？想想：

5、| xn | 0, 不論它的值多么小,當(dāng) n 無限增大時, 數(shù)列 xn 總會從某一項開始, 以后的所有項都落在 u(0, ) 中. 0 010) 1( |0 | nnnx , 0 n（在 u(0, ) 外面只有有限項） , 時當(dāng)nn 0 010) 1(nn , 0 n , 時當(dāng)nn :010) 1(limnnn其中,是描述點 xn 與點 0 無限接近的0度量標(biāo)準(zhǔn), 它是預(yù)先任意給定的, 與xn的極限存在與否無關(guān). . , 本身取決于數(shù)列是否存在nxnnn , ; ,則數(shù)列無極限存在則數(shù)列有極限不存在. , , nn所有大于則其不唯一存在如果 , .有關(guān)與并且的正整數(shù)均可取作為nn , , ),

6、( 則值越小一般說來可記為nn . 的值越大n由 n 存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在. n n 描述 n .通過目標(biāo)不等式來尋找 n 0 ,n = n().不等式010) 1(nn稱為目標(biāo)不等式.limaxnn一般地, 如果數(shù)列xn 當(dāng) n 時, 列xn 當(dāng) n 時以 a 為極限, 記為xn 可以無限地趨近某個常數(shù) a, 則稱數(shù)此時, 也稱數(shù)列是收斂的.例4nn21limnnn)1(1lim1limnnn001若 xn 當(dāng) n 時沒有極限, 則稱 xn 發(fā)散.,0若,0n時,使當(dāng) nn |axn記為 ,limaxnn或. )( naxn此時, 也稱數(shù)列 xn 是收斂的. , ,時的極限當(dāng)為數(shù)列

7、則稱數(shù)成立nxan數(shù)列極限的定義：例5 . 021lim nn證明：證證, 0021 n由 .021limnn 021 nn2112 n1log2 n,1log, 0max2n故取則 n n 時,由極限的定義, 得). 1 | ( 0lim aann一般有例6 . 0sin1lim nnn證明：證證, 0 , 0sin1 nn要 ,1 sin 1 nnn只要, , 1 時則當(dāng)故取nnnnnnnn1 sin 1 0sin1 成立. 由極限的定義可知: . 0sin1limnnn. ,不唯一時利用極限存在n例7 .lim , : aaaaaxnn證明設(shè)證證, 0有時則當(dāng)取 , , 1 nnn0 |

8、 |aaaxn .lim .aan故由極限的定義可知：成立 通常說成：常數(shù)的極限等于其自身. . , 1) 1(lim , 55limnn例8. | |lim ,lim :axaxnnnn則若證明證證, 0 0, ,lim naxnn所以因為 .| , axnnn有時當(dāng)由絕對值不等式, 得 , | | | |axaxnn . | | lim axnn故有注意：該例題結(jié)論的逆命題不真. 例如, (1)n.例9證證 . ,lim ),12( lim ),2( lim zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中則滿足證明：如果 , 0 , , 0 , )2( lim 1時當(dāng)由nnnmnaxnn ,

9、 , 0 ),12( lim 2時當(dāng)由nnnmnaxnn );2( | mnaxn , ) 12( | mnaxn , | , , ,max 21axnnnnnn恒有時則當(dāng)取 .lim axnn故由極限定義得：逆命題成立嗎？例10證證 . 1lim : , ,1, ,1 nnnxnnnnnnx證明為奇數(shù)當(dāng)為偶數(shù)當(dāng)設(shè) , 0 ,1 1 , 11 nnnnnn即要要 , , ,1 11有為偶數(shù)時則當(dāng)故取nnnn ; 11 nn ,1 1 , 11 ,nnnnnn即要要同理 , , ,1 22有為奇數(shù)時則當(dāng)故取nnnn ; 11 nn , ,max 21時則當(dāng)取nnnnn 11 與nn , 11 同

10、時成立nn , | 1| , ,即成立時當(dāng)所以nxnn . 1limnnx若數(shù)列 xn 收斂, 則其極限值必唯一.想想, 如何證明它？設(shè)數(shù)列 xn 收斂, 但其極限不唯一, 不妨設(shè)有：證證運用 . ,lim ,limbabxaxnnnn , 0 ,于是 ; | , , 0 11axnnnn時當(dāng) ; | , , 0 22bxnnnn時當(dāng) , , ,max 21時則當(dāng)取nnnnn2 | | |bxaxbxxabannnn任意性常數(shù)由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b . lim axnnnx的任何一個子數(shù)列都收斂,且均以 a 為極限 . 充分必要條件 在數(shù)列 xn: x1 , x2 , ,

11、xn , 中, 保持各項原來的先后次序不變, 自左往右任意選取無窮多項所構(gòu)成的新的數(shù)列, 稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列, 記為 .knx例11.) 1(lim 1nn求解解 ,) 1(1nnx. ,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :1nnx取子數(shù)列： ,) 1( , 1, 1, 1, :1)1(212nnx ,) 1( , 1, 1, 1, :122nnx , 1) 1(limlim , 11limlim 212nnnnnnxx而 . ) 1(lim 1不存在故nn例12 . 8sin 的斂散性判別nxn解解利用函數(shù)的周期性, 在 xn 中取兩個子數(shù)列: ,sin , ,2sin ,s

12、in :sin 8sin kkn . 00limsinlim , , 0sin nnknkk所以由于),22sin(,25sin : )2sin(2 8sin kkn . 11lim)22sin(lim nnk此時 . )( 8sin :即極限不存在是發(fā)散的故由推論可知n:limaxnn有時當(dāng) , 0, , 0 nnn |axn | |axaxnn | |axn , 則似乎可以得到如果固定? 有界的結(jié)論nx 回想數(shù)列的極限 若數(shù)列 xn 收斂, 則 xn 必有界.證證1,limaxnn設(shè)則由極限定義, 取時, 0n, 時當(dāng)nn 1|axn|1|axn即有| ,|,| |,|, |1max 21

13、nxxxam取則nnmxn ,|由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列 xn 收斂, 則必有界. 該定理的逆命題不真, 即有界數(shù)列不一定收斂. 例如, (1) n .即 無界數(shù)列的極限不存在 .例13 ,2 , , 8 , 4 , 2:2nn , 8 , 0 , 4 , 0 :) 1(1(nn無極限發(fā)散無界,無極限發(fā)散無界,發(fā)散的數(shù)列不一定都無界 . 例如, (1) n . 收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂. 無界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無界. . ) 1( :nnx反例:limaxnn有時當(dāng) , 0, , 0 nnn |axnaxn 即axan?,論你認(rèn)為可能得到什么結(jié)由此 回想數(shù)列的極限 , 0 ),0( 0 ,lim naaaxnn則若 ).0( 0 , nnxxnn有時當(dāng)證證 , , 0 ,lim 則由極限的定義且設(shè)aaxnn有時當(dāng)時取 , ,