(完整版)導數在研究函數中的應用(含標準答案)

1、導數在研究函數中的應用導數在研究函數中的應用【自主歸納，自我查驗】一、自主歸納1利用導函數判斷函數單調性問題函數f(x)在某個區(qū)間(a, b)內的單調性與其導數的正負有如下關系(1) 求 f'(2) 在定義域內解不等式f'x)>0或f'刈<0.根據結果確定f(x)的單調區(qū)間.3. 函數的極大值在包含x0的一個區(qū)間(a, b)內，函數y= f(x)在任何一點的函數值都 x0點的函數值,稱點Xo為函數y= f(x)的極大值點，其函數值f( Xo)為函數的極大值.4. 函數的極小值在包含xo的一個區(qū)間(a, b)內，函數y = f(x)在任何一點的函數值都 Xo點

2、的函數值,稱點Xoxo為函數y= f(x)的極小值點，其函數值f( X。)為函數的極小值極大值與極小值統(tǒng)稱為,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.5. 函數的最值與導數1. 函數y= f(x)在a, b上的最大值點 Xo指的是：函數在這個區(qū)間上所有點的函數值都f( Xo).2 函數y= f(x)在a, b上的最小值點 Xo指的是：函數在這個區(qū)間上所有點的函數值都f( Xo ).二、自我查驗1 .函數f(x) = X + elnx的單調遞增區(qū)間為()A . (0, + )B . ( , 0)C . (, 0)和(0,+ )D . R2. 若函數f(x)= X3+ X2+ mx+ 1是R上的單調增函數

3、，則m的取值范圍是 .3函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a, b),導函數f '(X)在(a, b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a, b)內有極小值點()4.若函數 f(x)= X3+ ax2+ 3x 9在 X=3時取得極值,A .2B . 3C.4D . 55函數yIn XX的最大值為X( )A .1 eB.eC .2 eD.10TC. 3個D . 4個則 a等于(【典型例題】考點一 利用導數研究函數的單調性3【例1】(2015髙考全國卷 )已知函數f(x)= In x+ a(1 x).(1)討論f(x)的單調性;當f(x)有最大值，且最大值大于2a 2時，求a的取值范圍

4、.【變式訓練1】已知f X x3 ax2 a2x 2.(1) 若a 1時，求曲線y f X在點1,f 1處的切線方程;(2) 若a 0,求函數f X的單調區(qū)間.導數在研究函數中的應用考點二利用導函數研究函數極值問題【例2】已知函數f X In X ax 3,a R .(1) 當a 1時，求函數的極值；(2) 求函數的單調區(qū)間.【變式訓練2】(2011安徽)設f(X) = 1J2,其中a為正實數當a = 4時，求f(x)的極值點;考點三利用導函數求函數最值問題2【例3】已知a為實數，f X (X 4)(x a).(1) 求導數f X ；(2) 若f 10 ,求f X在 2,2上的最大值和最小值【

5、應用體驗】1函數y XIn X的單調遞減區(qū)間為()A .1,1B.0,C .1,D.0,15導數在研究函數中的應用2.函數1Ir X Xe X的單調遞減區(qū)間是（)A.(1,)B. ( I 1)C.(,1)D. ( 13.函數f XX3 ex的單調遞增區(qū)間是（)A.0,3B .1,4C.2,D ,24.設函數f X-XInx,則（）A.X1為f X2的極大值點B.X1為f X2的極小值點C.X2為f X的極大值點D.X2為f X的極小值點5.函數f(x) 2x323x a的極大值為6 ,那么a的值是（A.0B.1C.5D.6)【復習與鞏固】A組夯實基礎、選擇題,其導函數f X的大致圖象如圖所示，

6、則下列敘述正確1.已知定義在R上的函數f的是（）A . f bB. f b20D.f C2.函數f X2 aln x在 X1處取得極值，則a等于（）A . 2B.2C . 4D.43. 函數f Xex X( e為自然對數的底數)在區(qū)間 1,1上的最大值是()B.1A.1C.e + 1D.e 1、填空題4.若函數f XX3 X3 XaX5. 若函數f XX 在X0處取得極值，則a的值為e6. 函數f(x) eX X在1,1上的最小值是 .三、解答題 27已知函數f X-X2 Inx,求函數f X的單調區(qū)間 8已知函數f Xax, X 1 .Inx(1) 若f X在1, 上單調遞減，求實數 a的取

7、值范圍;(2) 若a 2 ,求函數f X的極小值. mx 1是R上的單調增函數，則實數m的取值范圍是B組能力提升、選擇題2n數，則實數a的取值范圍是3、在其定義域內的一個子區(qū)間a 1, a 1內不是單調函2)B.514D.2.若函數yX32ax0,1內無極值，則實數 a的取值范圍是(A .0,32B.,0,0D.3.若函數fX31,1上有最大值3 ,則該函數在 1,1上的最小值是()A .12C . 12二、填空題1 14. 已知函數f(x)= x2 + 2ax In x,若f(x)在區(qū)間2上是增函數，則實數 a的取值范圍為5. 設X1, X2是函數f(x) = X6. 若函數f(x)= X2

8、 ex ax在R上存在單調遞增區(qū)間，則實數a的取值范圍是 .三、解答題a7. 已知函數 f(x)= x 2ln x X+ 1, g(x)= ex(2ln x x).(1)若函數f(x)在定義域上是增函數，求a的取值范圍；(2)求g(x)的最大值. 2ax2+ a2x的兩個極值點，若 X1<2<X2,則實數a的取值范圍是& 設函數 f(x)= (X- 1)ex- k2(其中 k R).(1) 當k= 1時，求函數f(x)的單調區(qū)間和極值；(2) 當k 0,+ )時，證明函數f(x)在R上有且只有一個零點.導數在研究函數中的應用標準答案一自主歸納1. ( 1)f'(x)

9、>O (2) f'(x)<O(3) f'(x) = 03. 小于4. 大于極值5. 不超過不小于二自我查驗e1. 解析：函數定義域為(0 , +) , f '(x) = 1 + x>0,故單調增區(qū)間是(0 , +) 入答案：A2. 解析：T f (x) = x3+x2+ mx+ 1,. f '(x) = 3x2+ 2x + m1 又T f (x)在R上是單調增函數，. f'(x) 0恒成立，= 4 12m0,即m3.3答案：1當X a,+時，f '()<0.所以f(x)在0, a單調遞增，,+3. 解析：導函數f '

10、;(X)的圖象與X軸的交點中，左側圖象在X軸下方，右側 圖象在X軸上方的只有一個，故選A.答案：A4. 解析：f '(x) = 3x2+ 2ax+ 3,由題意知 f ' ( 3) = 0,即卩 3× ( 3)2+2× ( 3)a+ 3= 0,解得 a = 5.答案：D5.A【解析】 y lnx y -lnx ,令 y -鑒 0 X e ,當 X (0,e)時函 XXX數單調遞增，當X (e,)時函數單調遞減，ymax丄e1故選Ae ，三典型例題1【例題 U (1) f (X)的定義域為(0 ,+), f '(x) =C a.若 a0,則 f'

11、(x)>0 , 入1 所以f(x)在(0 ,+)單調遞增若a>0,則當X 0, a時，f '(x)>0 ;a1在a,+單調遞減.a1 由 知，當a0時，f(x)在(O, +)無最大值；當a>0時，f(x)在X=-處a111取得最大值，最大值為fa = na+ a 1-a =- In a+ a-1.aaa1 因此f匚>2a 2等價于In a+ a-1<0.a令 g(a) = In a+ a- 1，貝U g(a)在(O ,+)單調遞增，g(1) = O.于是，當 0<a<1 時，g(a)<O; 當 a>1 時，g(a)>O.

12、因此，a的取值范圍是(O,1).【變式訓練 U (1)當 a 1 時，f X3 2 X 2， f X3x2 2x 1，切線斜率為14 ,又 f 13，切點坐標為1,3，所求切線方程為,即 4x y 1(2) f X3x2 2ax a23x a ,由 fQa o, 3a.由fX a 或 X -3 a 3.函數f X的單調遞減區(qū)間為巧，單調遞增區(qū)間為【例題2】(1)當a1時，f1In X X 3, f XX11X所以當XO ,解得OO ,解得XX 1 ,所以函數f X在(O,1)上單調遞增;1 ,所以函數f1時取極大值，極大值為X在1,上單調遞減;12 ,無極小值.當a O時,1 f (X)-Xa

13、 O 在 O,上恒成立，所以函數fO,上單調遞增;當a O時,1丄，所以函數f X在a上單調遞增;11令f X 0 ,解得X 1 ,所以函數f X在-，上單調遞減aa綜上所述，當a 0時，函數f X的單調增區(qū)間為0,;當a 0時，函數f X11的單調增區(qū)間為0,-,單調減區(qū)間為-，aa【變式訓練2】解 對f(X)求導得1 I a22ax4f '(x) = e 1 + a22.當 a=3時，若 f '(x) = 0, 則 4x2_ 8x + 3 = 0,31解得X1=2， X2= 2結合，可知X(_,12)121(2,32)323(0，+)f '(X)+00+f(x)極大

14、值極小值/ I31所以X1=2是極小值點，X2= 2是極大值點【例題3】1) f' X2x(x a) (x24) 3x2 2ax 4.1(2)由 f 10 得 a 1 ,2I2 4X 2，故 f(x) (x2 4)(X 1) X32則 f' X 3x2 X 4 Xt94由 f(2)f(2)0 , f (I)2，f 31620 5509 627故 fmax(x)fmin (X)5027f(x)在R上單調遞增,【變式訓練3】1)當a 0時，函數f(X)ex 2a 0 , 當 a 0 時，f (x) ex 2a ,令 ex 2a 0,得 X ln( 2a),所以當 X ( ,ln(

15、2a)時，f(X)0,函數f(x)單調遞減；當X (ln( 2a),)時，f (x)0,函數f(x)單調遞增(2)由(1)可知，當a 0時，函數f (x) ex 2ax 0 ,不符合題意.當a 0時，f(x)在(，ln( 2a)上單調遞減，在(ln( 2a),)上單調遞增.當ln( 2a) 1 ,即 ；a 0時，f(x)最小值為f(1) 2a e.e解2a e 0，得a -，符合題意.2當ln( 2a) 1 ,即a e時，2解 2a 2al n( 2a)0,得 a綜上，a e.2應用體驗：1. D【解析】函數的定義域為0,令y所以X 0,1 ,故選D.考點：求函數的單調區(qū)間.2. A【解析】導

16、數為f X ex X ex區(qū)間為1,.考點：利用導數求函數的單調區(qū)間3. C【解析】f X ex x 3 ex ex x 所以函數f X的單調增區(qū)間為2,4. 【解析】f X 纟丄 J2 ,由fXXX當0 X 2時，f Xf(x)最小值為 f(ln( 2a) 2a 2aln( 2a)，e ,不符合題意.0 , f X遞減，當X 2時,1 X 11 0,解得X 0,1 ,又X 0 ,X X1 X e X ,令f X 0 ,得X 1 ,所以減2 ,令 fxex X 20 ,解得 X 2,.故選C.X 0得X 2 ,又函數定義域為0,f X 0, f X遞增，因此X 2是函數f X的極小值點.故選D

17、.考點：函數的極值點.5. D【解析】Q f (x) 2x3 3x2 a,6x2 6x 6x X 1 ,令 fX 0,可得X 0,1 ,容易判斷極大值為考點：函數的導數與極值.復習與鞏固A組1.C【解析】由f X圖象可知函數f,c上單調遞增，在c,e上單調遞減,在e,上單調遞增，又a,b,c,c ,且 a考點：禾U用導數求函數單調性并比較大小.2. B【解析】f X 2x-,由題意可得f 1X2.故選B.考點：極值點問題.3. D【解析】f X1,令f X0,得X0.又 f 0e0 01,f 1e 1 1,f11,且所以fXmax1,故選D.考點：利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值4. 3,【解析

18、】由題意得f(x) 0在R上恒成立，則f3x22x因為gm3x2 2x 恒成立.令 g X3x2 2x ,則 m2 113x x2 1f X X ,令 f X 0,則 X 1 或 1 (舍去).X X當0x1時，f X 0, f X遞減，當X 1時，f X 0, f X遞增，f X的遞減區(qū)間是0,1 ,遞增區(qū)間是1,考點：利用導數求函數的單調區(qū)間.8. (1) a 1 (2) 4上4X【解析】(1)函數f Xax,xIn Xf X 0在X 1,上恒成立， a 22x為R上的二次函數，所以g X g -3-max332 -,則m的取值范圍是-,.3 335.0X2X26x a e3XaXe3x

19、6 a x a【解析】f x2-exe由題意得f 0 a 0.考點：導數與極值.6. 1【解析】因為 f (X) ex 1 , f (X)0 X 0, f (X)0 X 0 ,所以 f(x)在1,0單調遞減，在0,1單調遞增，從而函數f(x) ex X在1,1上的最小值是f(0) e00 1 .考點：函數的最值與導數.7. 【解析】f X 1X2 InX的定義域為0,In X11 ,則 f X.2a ,由題意可得InX21 1111In X In XIn X24，X 1, In X 0,21a1導數在研究函數中的應用222(2)當a 2時，f X2x, f XInx2In X 1 2ln X2

20、，In X0 ,得 21 n2In X1 0 ,解得In X-或 In X21 (舍去),即X . e.e 時，f X的極小值為f ', eB組1.D【解析】因為函數f x x2 1nx 2在區(qū)間a1,a 1上不單調，所以X 2x丄2x4x2 12x在區(qū)間a 1,a1上有零點,0,121, 得1 a32 ,故選D.考點：函數的單調性與導數的關系2.C【解析】y 3x2 2a ,當 a0時,0 ,所以y3F ”X 2ax a 在 0,1上單調遞增，在0,1內無極值，所以0符合題意;a 0時，令y0 ,即3x2 2a解得X1于M2乎，當X6a 11-6aU 33時,y 0 ,當 X-6a

21、6a33時,y 0,所以yX32ax a的單調遞增區(qū)間為.6a3.6a3,單調遞減區(qū)間為爭呼,當 X數取得極大值, 時，原函數取得極小值，要滿足原函數在30,1內無極值，需滿足一6a 1 ,解得a -.綜合得，a的取值范圍為,032故選C.考點：導函數，分類討論思想3.C導數在研究函數中的應用【解析】f X 32 3x 3x X 1 ,當f X 0時，X 1或x 0,當f x 0時，0 X 1 ,所以f X在區(qū)間1,0上函數遞增，在區(qū)間0,1上函數遞減，所以當X 0時，函數取得最大值f0 a 3 ,則fxx3 3 x2 3 ,所以215 1f 1-, f 1,所以最小值是f 1-.2 2 2考

22、點：利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值1 1一 14.解析：由題意知f (X) x+ 2a X 0在3， 2上恒成立，即2a x+-在X3X118843，2 上恒成立，. 一x+ X max 3，二 2a3,即卩 a3.答案：4,+.解析：本題考查利用導數研究函數的極值及不等式的解法.由f'(x) 3x2-a>2,2a4ax+ a 0 得 X1 , X2 a.又 X1<2<×2, a° 2<a<6.3 一 <23 ，答案：(2,6)6. 解析：I f (X) X2-ex-ax, f ' (x) 2x ex-a,.函數f (X)

23、 X2- ex ax在R上存在單調遞增區(qū)間， f' (x) 2x e a0,即 a2x e 有解，設 g(x) 2x e ,則 g'(x) 2 ex,令 g'(x) 0,解得 X In 2,則當 XVln 2 時，g'(x)>O , g(x)單調遞增， 當X>ln 2時，g'(x)<O , g(x)單調遞減，當X In 2時，g(x)取得最大值， 且 g(x) max g(ln 2) 2ln 2 2,° a 2ln 2 2.答案：(一, 2ln 2 2)2 a7. 解：(1)由題意得 x>0, f'(x) 1 -

24、 + -2.X X由函數f (X)在定義域上是增函數，得 f '(x) 0,即a2x X2 (X- 1)2+1( x>0).因為一(X 1)2+ 1 1(當x 1時，取等號)，所以a的取值范圍是1 , +).X 22 g'(x) = e X 1+ 2ln X-X ,由得 a = 2 時，f (x) = X 2ln X-X + 1,XX且f(X)在定義域上是增函數，又f(1) = 0,所以，當 X (0,1)時，f (X)VO ,當 X (1，+)時，f(x)>0.所以，當 X (0,1)時，g'(x)>0 ,當 X (1，+)時，g'(x)<O.故當X = 1時，g(x)取得最大值一e.8. 解： 當 k= 1 時，f (X) = (X 1)ex X2, f '(x) = ex+ (X 1)ex- 2x = XeX-2x=x(eX 2),令 f '