三角形各種心的性質(zhì)歸納

1、三角形各種心的性質(zhì)研究一、基礎(chǔ)知識三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心三角形的心是三角形的重要幾何點(diǎn)在數(shù)學(xué)競賽中，有關(guān)三角形的心的幾何問題是競賽的熱點(diǎn)問題，因此，我們對三角形的心的幾何性質(zhì)做概括歸納，對有關(guān)的證明方法和解題技巧做深入探討1重心：設(shè)是的重心，的延長線交于，則， （ 2） ；（3），（4）2.外心：設(shè)（）是的外接圓，于交于，則（1）；（2）或；（3）=；（4）（正弦定理）3.內(nèi)心：設(shè)的內(nèi)心圓（切邊于，的延長線交外接圓于，則 （1）; (2)；(3)；(4);4.垂心：設(shè)分別是的外心，重心，垂心，于，的延長線交外接圓于，則，（1）；（2）與關(guān)于成軸對稱；（3）；（4）三點(diǎn)共線，

2、且；5旁心：設(shè)在內(nèi)的旁切圓（與的延長線切于，則，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）6三角形中內(nèi)切圓、旁切圓和外圓半徑的幾個(gè)關(guān)系在中，內(nèi)切圓分別與三邊相切于點(diǎn)，邊上的帝切圓與邊切于點(diǎn)，且分別與邊和這的延長線相切于點(diǎn)、點(diǎn)設(shè)三邊、分別為，分別為，內(nèi)切圓半徑為，旁切圓半徑分別為，外接圓半徑為，三角形面積為，則有如下關(guān)系式：（1），；（2）；（3）直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半；（4）；（5）；（6）7界心如果三角形一邊上的一點(diǎn)和這邊對的頂點(diǎn)把三角形的周界分割為兩條等長的折線，那么就稱這一點(diǎn)為三角形的周界中點(diǎn)其中三角形的周界是指由三角形的三邊所組成的圍由于三角形的任意兩邊之和大于

3、第三邊，可知三角形任一邊上的周界中點(diǎn)必介于這邊兩端點(diǎn)之間三角形的頂點(diǎn)與其對邊的周界中點(diǎn)的連線，叫三角形的周界中線（有時(shí)也稱周界中線所在直線為三角形的周界中線）三角形的周界中線交于一點(diǎn)定義：稱三角形的周界中線的交點(diǎn)為三角形的界心二、例題分析例1設(shè)的外接圓的半徑為，內(nèi)心為，的外角平分線交圓于，證明：（1）；（2）【證明】（1）延長交外接圓于，連結(jié)，易知，故為正三角形，易證，同理，即在以為圓心，為半徑的圓上， 設(shè)的延長線交于，則、分別為的內(nèi)、外角平分線，即為的直徑，又在中，但與為等圓，故（2）連接，同上易證，又，為等邊三角形，記為由知，從而有，即，又，故例2銳角的外心為，線段的中點(diǎn)分別為、，求【解】

4、設(shè)，則，又；從而即為等腰三角形，又，例3如圖分別為的外心和內(nèi)心，是邊上的高。在線段求證：的外接圓半徑等于邊上的旁切圓半徑。證明（1）記，設(shè)的延長線交的外接圓于，則是圓的半徑，記為，因?yàn)椋?，從?(1)=，=，=，所以 （2）由（1）、（2）得，所以設(shè)的邊上的旁切圓半徑為，則。所以 ，即的外接半徑等于邊上的旁切圓半徑。證明（2）記，的邊上的旁切圓半徑為，的邊上的高為，設(shè)交于，交外接圓于，連，又由，知，有，即,但，有，代入上式，得，即的外接半徑等于邊上的旁切圓半徑。證明（3），的邊上的旁切圓半徑為，的外接半徑，作于，于。=，。， 又，。證明（4）記，設(shè)的延長線交的外接圓于，連交于，則，作于，則

5、，由三點(diǎn)共線，故，又，。證明（5）連并延長交的外接圓于，設(shè)旁切圓圓心，則在的延長線上，連，過作于。連，則，分別為外接圓半徑及旁切圓半徑。又四點(diǎn)共圓。，設(shè)為的外接圓的圓心，即。又，又，=，而共線，故=，=，故=，即例4設(shè)是的邊上作一內(nèi)點(diǎn)，分別是、的內(nèi)切圓半徑；分別是這些三角形在、內(nèi)的旁切圓半徑試證：【證明】設(shè)又設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，且與切于（如圖），于是，從而有：由于三角形的角的內(nèi)、外平分線互相垂直，因而類似地有：進(jìn)而有：；類似的結(jié)論對于和也成立，故有和，以上式子相乘即可得結(jié)論：例5設(shè)為的內(nèi)心，其內(nèi)切圓切三邊、和于點(diǎn)、，過點(diǎn)平行于的直線分別交直線和于點(diǎn)和求證：為銳角【證明】為了證為銳角由余弦定理，

6、只要證為此我們來計(jì)算。由，考慮及，于是同理：，而，同理：， 由正弦定理，有，因此。又，所以又，所以考慮直角，有注意到，因此所以，下面討論界心的兩個(gè)性質(zhì)例6設(shè)分別為的邊上的周界中點(diǎn)，、分別為的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則（1）；（2）【證明】設(shè)，則由題設(shè)條件易知，由三角形面積比的性質(zhì)，有，同理有：；從而：把三角形恒等式和代入并整理，得，由歐拉不等式，得，三、訓(xùn)練題1已知是的垂心，且，試求的度數(shù)2分別為的邊上的點(diǎn)，且，又設(shè)、均為銳角三角形，其垂心依次為，求證：（1）；（2）3已知內(nèi)切于的外接圓，并且與分別相切于證明的內(nèi)心平分4已知中，高在其內(nèi)部，過、的內(nèi)心引直線分別交于（1）若，則；（2）若，則也成立嗎

7、？若成立，請證明；若不成立，請說明理由，并指出不成立的情形5已知的內(nèi)切圓與邊切于，是的直徑，的延長線交于，求證：6在等腰中，是它的外心，是它的內(nèi)心，點(diǎn)在邊上，使得與垂直，證明：直線與平行三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。 一、三角形重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個(gè)物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名） 。重心的性質(zhì)： 1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心

8、到對邊中點(diǎn)的距離之比為21。 2、重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊長成反比。 3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4、平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 燕尾定理：因此圖類似燕尾而得名，是一個(gè)關(guān)于三角形的定理（如圖ABC，D、E、F為BC、CA、AB 上的中點(diǎn)，滿足AD、BE、CF 交于同一點(diǎn)O）。SABC中，SAOB：SAOC=SBDO：SCDO=BD：CD； 同理，SAOC：SBOC=SAFO：SBFO=AF：BF； SBOC：SBOA=SCEO：SAEO=EC：

9、AE。二、三角形外心定理：三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。 外心的性質(zhì)有： 1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。 2、若O是ABC的外心，則BOC=2A（A為銳角或直角）或BOC=360°-2A（A為鈍角）。 3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。 4、計(jì)算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d1，d2，d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐標(biāo)：( (c2+c3)

10、/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等 外心公式：   三、三角形垂心定理：三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。 垂心的性質(zhì)： 1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG:GH=1:2。（此線稱為三角形的歐拉線（Euler line） 3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍。 4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。 定理證明: 已知：ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長交AB于點(diǎn)F ，求證

11、：CFAB 證明： 連接DE ADB=AEB=90度 A、B、D、E四點(diǎn)共圓 ADE=ABE EAO=DAC AEO=ADCAEOADC AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90度ACF+BAC=90度 CFAB ,因此，垂心定理成立！ 垂心坐標(biāo)公式：   四、三角形內(nèi)心定理：三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。 內(nèi)心的性質(zhì)： 1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。 2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。 3、P為ABC所在空間中任意一點(diǎn)，點(diǎn)0是ABC內(nèi)心的充要條件是：向量P0

12、=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是ABC內(nèi)心的充要條件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0 6、(歐拉定理)ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI2=R2-2Rr 7、（內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系）：ABC中，0為內(nèi)心，A 、B、 C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，則BQ/QC=c/

13、b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 8、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。 三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式：五、三角形旁心定理三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。 旁心的性質(zhì)： 1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。 2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。 3、旁心到三邊的距離相等。 如圖，點(diǎn)M就是ABC的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時(shí)重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。 有關(guān)三角形五心的詩歌三角形五

14、心歌（重外垂內(nèi)旁） 三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心， 五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混 重 心 三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧， 交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了， 重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好 外 心 三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊 作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn) 此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓 內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交 高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整， 直角三角形有十二，構(gòu)成六對相似形， 四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清. 內(nèi) 心 三角對應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線， 三線相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源； 點(diǎn)至三邊

15、均等距，可作三角形內(nèi)切圓， 此圓圓心稱“內(nèi)心”，如此定義理當(dāng)然 五心性質(zhì)別記混，做起題來真是好。五心的性質(zhì)三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如： （1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等； （2）三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等； （3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心； （4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心； （8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足

16、三角形的外心 （9）三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍. 下面是更為詳細(xì)的性質(zhì)： 1、垂心三角形三邊上的高的交點(diǎn)稱為三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性質(zhì)：設(shè)ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足,垂心為H。 性質(zhì)1 垂心H關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上。 性質(zhì)2 ABC中,有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 性質(zhì)3 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。 性質(zhì)4 ABC,ABH,BCH,ACH的外接圓是等圓。 性

17、質(zhì)5 在非直角三角形中,過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 性質(zhì)6 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。 性質(zhì)7 設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。 性質(zhì)8 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。 性質(zhì)9 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。 2、內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心簡稱為三角形的內(nèi)心，即三角形三個(gè)角平分線的

18、交點(diǎn)。內(nèi)心有下列優(yōu)美的性質(zhì)： 性質(zhì)1 設(shè)I為ABC的內(nèi)心,則I為其內(nèi)心的充要條件是：到ABC三邊的距離相等。 性質(zhì)2 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則BIC=90°+12A，類似地還有兩式；反之亦然。 性質(zhì)3 設(shè)I為ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI所在直線交ABC的外接圓于D。I為ABC內(nèi)心的充要條件是ID=DB=DC。 性質(zhì)4 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F；內(nèi)切圓半徑為r，令p= (1/2)(a+b+c)，則(1)SABC=pr；(2)r=2SABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI。 性質(zhì)5 三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若I為ABC的A平分線AD(D在ABC的外接圓上)上的點(diǎn)，且DI=DB，則I為ABC的內(nèi)心。 性質(zhì)6 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，A的平分線交BC于