對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

1、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算10.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)v變力沿曲線所作的功 質(zhì)點(diǎn)在變力f(x y)p(x y)iq(x y)j的作用下從點(diǎn)a沿光滑曲線弧l移動(dòng)到點(diǎn)b 求變力f(x y)所作的功提示把l分成n個(gè)小弧段 l1 l2 ln求功的過程 變力在li上所作的功的近似值為 變力在l上所作的功的近似值為 變力在l上

2、所作的功的精確值為 其中是各小弧段長(zhǎng)度的最大值 f在li上所作的功wif(i i)si光滑曲線p(i i)xiq(i i)yi ni 10lim上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 設(shè)函數(shù)p(x y)、q(x y)在有向光滑曲線弧l上有界 把l分成n個(gè)有向小弧段l1 l2 ln 其中l(wèi)i是從(xi1 yi1)到(xi yi)的小弧段 記xixixi1 yiyiyi1在小弧段li上任取一點(diǎn)(i )令為各小弧段長(zhǎng)度的最大值 如果極限 總存在 則稱此極限為函數(shù)p(x y)在有向曲線弧l上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分 記作 iiin

3、ixp),(lim10ldxyxp),(ldyyxq),(iiiniyq),(lim10 如果極限 總存在 則稱此極限為函數(shù)q(x y)在有向曲線弧l上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分 記作 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 在積分中p(x y)、q(x y)叫做被積函數(shù) l叫做積分弧段 說明 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分 iiinilxpdxyxp),(lim),(10 iiinilyqdyyxq),(lim),(10 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology

4、v對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 說明 設(shè)為空間內(nèi)一條光滑有向曲線弧 函數(shù)p(x y z)、q(x y z)、r(x y z)在上有定義 我們定義iiiinilyqdyzyxq),(lim),(10 iiinilxpdxyxp),(lim),(10 iiinilyqdyyxq),(lim),(10 iiiinilxpdxzyxp),(lim),(10 iiiinilzrdzzyxr),(lim),(10 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫形式 在應(yīng)用上經(jīng)常出現(xiàn)的是 上式可記為 其中f(x y)p(x y)iq(x y)j

5、 drdxidyj 類似地 有 其中ap(x y z)iq(x y z)jr(x y z)k drdxidyjdzk lldyyxqdxyxp),(),( dyyxqdxyxpl),(),( 或ldyxrf),( rdzqdypdxrdzqdypdxra dl 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)、為常數(shù) 則 性質(zhì)2 若有向曲線弧l可分成兩段光滑的有向曲線弧l1和l2性質(zhì)3 設(shè)l是有向光滑曲線弧 l是l的反向曲線弧 則llldyxdyxdyxyxrfrfrff),(),(),(),(2121 ll

6、dyxdyxrfrf),(),( 21),(),(),(llldyxdyxdyxrfrfrf 則上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology提示 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 質(zhì)點(diǎn)在變力f(x y)p(x y)iq(x y)j的作用下沿光滑有向曲線弧l所作的功為 另一方面 在l上任取一小段有向弧 其起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t和tdt 得功元素f(t) (t)dr dr(dx dy)(t)dt (t)dt) dw 設(shè)光滑有向曲線弧l的參數(shù)方程為x(t) y(t) 且l的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和 圖形 f(t) (t)(p(t) (t)

7、q(t) (t) dyyxqdxyxpwl),(),( dyyxqdxyxpwl),(),( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 質(zhì)點(diǎn)在變力f(x y)p(x y)iq(x y)j的作用下沿光滑有向曲線弧l所作的功為 另一方面 在l上任取一小段有向弧 其起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t和tdt 得功元素f(t) (t)dr p(t) (t)(t)dtq(t) (t)(t)dt dw 設(shè)光滑有向曲線弧l的參數(shù)方程為x(t) y(t) 且l的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和 于是 dttttqtttpw)()(),

8、()()(),( dyyxqdxyxpwl),(),( dyyxqdxyxpwl),(),( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 質(zhì)點(diǎn)在變力f(x y)p(x y)iq(x y)j的作用下沿光滑有向曲線弧l所作的功為 設(shè)光滑有向曲線弧l的參數(shù)方程為x(t) y(t) 且l的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和 這說明對(duì)坐標(biāo)的曲線積分可以化為定積分來計(jì)算 dyyxqdxyxpwl),(),( dttttqtttpw)()(),()()(),( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemi

9、cal technologyv定理(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算公式) 設(shè)p(x y)、q(x y)在有向光滑曲線弧l上有定義且連續(xù) l的參數(shù)方程為x(t) y(t) l的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和 應(yīng)注意的問題 下限a對(duì)應(yīng)于l的起點(diǎn) 上限 對(duì)應(yīng)于l的終點(diǎn) 不一定小于 ldyyxqdxyxp),(),(存在 并且 則曲線積分 dttttqtttpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),(dttttqtttpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology設(shè)l由x(t

10、) y(t)給出 l以t為起點(diǎn)以t 為終點(diǎn) 則 設(shè)空間曲線由x(t) y(t) z(t)給出 以t為起點(diǎn)以t 為終點(diǎn) 問討論 提示 dttttqtttpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),( dzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),(？ dzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),()()(),(),()()(),(),( ttttqttttpdtttttr)()(),(),( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology設(shè)l由x(t) y(t)給出 l以t為起點(diǎn)以t 為終點(diǎn) 則 解 l分為ao和

11、ob兩部分 第一種方法 以x為積分變量 10在 ao 上xy x 從變到 x0o在b 上xy 從變到 1dttttqtttpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),( 例 1 計(jì)算lxydx 其中 l 為拋物線 y2x 上從點(diǎn)a(1 1)到點(diǎn)b(1 1)的一段弧 因此 obaolxydxxydxxydx54)(1001dxxxdxxxobaolxydxxydxxydx54)(1001dxxxdxxxobaolxydxxydxxydx54)(1001dxxxdxxx 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology設(shè)l由x(t

12、) y(t)給出 l以t為起點(diǎn)以t 為終點(diǎn) 則 解 第二種方法 以y為積分變量 在l上 xy2 y從1變到1 因此 dttttqtttpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),( 例 1 計(jì)算lxydx 其中 l 為拋物線 y2x 上從點(diǎn)a(1 1)到點(diǎn)b(1 1)的一段弧 1122)(dyyyyxydxl542114dyy1122)(dyyyyxydxl542114dyy 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology 解： 例2 計(jì)算 其中l(wèi)為圓周(xa)2y2a2(a0)及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界(按

13、逆時(shí)針方向繞行). lxydxll1l2 其中 l1 xaacos t yasin t t從0變到 l2 xx y0 x從0變到2a 因此 21lllxydxxydxxydxadxdttaatata2000)cos(sin)cos1 (3020232)sinsinsin(attdtdta上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology(1)l yx2 x從0變到1 所以 解 (2)l xy2 y從0變到1 所以 10222)22(2dxxxxxdyxxydxl10422)22(2dyyyyydyxxydxl 例 3 計(jì)算ldyxxydx22 其

14、中 l 為 (1)拋物線yx2上從o(0 0)到b(1 1)的一段弧 (2)拋物線xy2上從o(0 0)到b(1 1)的一段弧 (3)從o(0 0)到a(1 0) 再到b(1 1)的有向折線oab 14103dxx 15104dyy 10222)22(2dxxxxxdyxxydxl10422)22(2dyyyyydyxxydxl上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology(3)oa y0 x從0變到1 ab x1 y從0變到1 解 011 例 3 計(jì)算ldyxxydx22 其中 l 為 (1)拋物線yx2上從o(0 0)到b(1 1)的一段

15、弧 (2)拋物線xy2上從o(0 0)到b(1 1)的一段弧 (3)從o(0 0)到a(1 0) 再到b(1 1)的有向折線oab aboadyxxydxdyxxydx2222所以 ldyxxydx22 10102) 102() 002(dyydxxx上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology 解: ydzdydx例4 求 其中為有向閉折線abca 這里的a b c依次為點(diǎn)(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1). abbcca 其中 ab xx y1x z0 x從1變到0 bc x0 y1z zz z從0變到1 ca xx y0

16、z1x x從0變到1 故 ydzdydxydzdydxydzdydxydzdydxcabcab101010)1 ()1 ()1 (1 dxdtzzdxx21上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology提示 fa a例5 一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 在力的作用下從點(diǎn) ( 0)沿橢圓12222byax按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)b(0 b) f的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比 方向恒指向原點(diǎn) 求力f所作的功w 解 橢圓的參數(shù)方程為xacost ybsint t從0變到 2 質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)m(x y)處所受到的力為 其中0 ,kyxomjir是比例常數(shù) )()|( |jirrrf

17、yxkk于是 babaydyxdxkkydykxdxw 2022)cossinsincos(dtttbttak)()|( |jirrrfyxkk babaydyxdxkkydykxdxw 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例5 一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 在力f 的作用下從點(diǎn)a(a 0)沿橢圓12222byax 按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)b(0 b) f的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比 方向恒指向原點(diǎn) 求力f所作的功w 解 質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)m(x y)處所受到的力為 2022)cossinsincos(dtttbttak)(2cossin)(222022bakt

18、dttbak其中0 ,kyxomjir是比例常數(shù) )()|( |jirrrfyxkk于是 babaydyxdxkkydykxdxw )()|( |jirrrfyxkk babaydyxdxkkydykxdxw )(2cossin)(222022baktdttbak 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jlin institute of chemical technology三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 說明 指向與有向曲線弧的走向一至的切向量稱為有向曲線的切向量 設(shè) (cos cos)為光滑有向曲線弧l上點(diǎn)(x y)處的單位切向量 l的參數(shù)方程為x(t) y(t) l的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為a和b 則ldyyxqdxyxp),(),(badttttqtttp)()(),()()(),(badttttttttqtttp)()()()()()(),()()(),(2222上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 jl