高中數(shù)學新人教A版必修5學案 3.4 基本不等式第2課時

1、起3.4基本不等式:(第2課時)學習目標1.進一步掌握基本不等式(a>0,b>0).2.會用基本不等式解決簡單最大(小)值問題.3.會應用基本不等式解決一些簡單的實際問題.合作學習一、設計問題,創(chuàng)設情境問題1:用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短.最短的籬笆是多少?問題2:用長為4a的籬笆圍成一個矩形菜園abcd,怎樣設計矩形菜園的長和寬,才能使所圍成的菜園面積最大?二、信息交流,揭示規(guī)律師生交流1:解答這兩道題使用的是什么數(shù)學工具?你是怎樣想到的?這個式子使用時應該注意什么問題?你是直接使用的基本不等式嗎?我們前面學習了函數(shù)、數(shù)列等

2、知識時,也用來解決過實際問題,用基本不等式解決實際問題的步驟是什么呢?三、運用規(guī)律,解決問題【例題】用長為4a的籬笆圍成一個“日”字形菜地,一塊種蘿卜,另一塊種茄子,如何設計才能使總面積最大?師生交流2:“日”字形菜地的總面積的表達式是什么?可以設幾個變量?師生交流3:為什么寫不下去了呢?那是不是不能用基本不等式求最值了呢?那怎么求最值呢?等號右邊為什么不是定值呢?有沒有辦法解決這個問題呢?師生交流4:應用基本不等式求最值時,應滿足什么條件?具體情形是怎樣的?不滿足定值時可采取什么辦法?除取定值外,還必須滿足什么條件?四、變式訓練,深化提高變式訓練1:某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為

3、4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設計水池能使總造價最低,最低總造價是多少?師生交流5:這個水池總造價的表達式是什么?水深為3m,容積為4800m3,池底面積為多少?池壁面積怎樣用數(shù)學表達式表達?變式訓練2:已知函數(shù)f(x)=x+.(1)當x<1時,f(x)的最大值為; (2)當x3時,f(x)的最小值為. 五、反思小結,觀點提煉1.應用題解題的基本步驟是什么?2.使用基本不等式時,應注意滿足什么條件?3.用基本不等式求最值有幾種類型?參考答案一、設計問題,創(chuàng)設情境問題1:解:設矩形菜園的長為x m,寬為y m

4、,則xy=100,所以矩形的周長l=2x+2y2=40.當且僅當x=y時,等號成立.又xy=100,所以當x=y=10時,lmin=40m.答:當矩形長、寬都為10m的正方形時,所用籬笆最短.最短的籬笆是40m.問題2:方法一:設矩形一邊ab=x,則bc=2a-x,且x>0,2a-x>0,所以矩形的面積為s=x(2a-x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2.由此知當x=a時,s最大為a2.答:將菜地圍成正方形時,面積最大為a2.方法二:由方法一得出s=x(2a-x),因為=a,所以sa2,當且僅當x=2a-x,即x=a時,smax=a2.答:將菜地圍成正方形時,面積最大為a2.

5、方法三:由方法一得出s=x(2a-x)=a2.下同方法二.方法四:設矩形的長為x,寬為y(x>0,y>0),則2x+2y=4a,即x+y=2a.面積s=xy=a2,當且僅當x=y,又x+y=2a,即x=y=a時,等號成立,smax=a2.答:將菜地圍成正方形時,面積最大為a2.師生交流1:;基本不等式;因為問題中涉及兩個變量,這兩個變量表達的條件和結論符合基本不等式的特征;等號成立的條件;問題2用到的是基本不等式的變形公式和ab;設出兩個變量,用變量表示條件和目標函數(shù),求最值,作答)三、運用規(guī)律,解決問題師生交流2:面積=總長×寬;兩個或一個.學生探究嘗試:學生甲:設ab

6、=x,則ad=,0<x<2a,則s=x·2?師生交流3:;不等號右邊不是一個定值;是;可以用二次函數(shù)配方求解;x和-x不能抵消;可以提取一個,不等號右邊就是定值,就能用基本不等式了.【例題】解:方法一:s=x·a2.當且僅當x=a時,s最大為a2.此時ab=x,ad=.答:當長為a,寬為a時菜園總面積最大.方法二:設ad=x,則ab=,0<x<,則s=x·2=a2.當且僅當x=a時,等號成立.此時ab=a,ad=.答:當長為a,寬為a時菜園總面積最大.方法三:設ab=x,ad=y,x>0,y>0,則2x+3y=4a,所以菜園的總

7、面積s=xy=(2x)(3y)a2.當且僅當2x=3y時,等號成立.又2x+3y=4a,所以x=a,y=.此時ab=x,ad=.答:當長為a,寬為a時菜園總面積最大.師生交流4:必須有定值.和a+b為定值時,積ab有最大值;積ab為定值時,和a+b有最小值.配湊法.取等號的條件:當且僅當a=b時,.四、變式訓練,深化提高師生交流5:總造價=池底單價×池底面積+池壁單價×池壁面積;1600m2;池壁面積=2×池底長×高+2×池底寬×高.變式訓練1:解:設底面的長為x m,寬為y m,水池的總造價為z元,根據(jù)題意,得z=150×+120(2×3x+2×3y)=240000+720(x+y),由容積為4800m3,可得3xy=4800.因此xy=1600.由基本不等式與不等式的性質,可得240000+720(x+y)240000+720×2,即z240000+720×2,z297600.當且僅當x=y=40時,等號成立.