隱函數(shù)的導數(shù)及由參數(shù)方程所確定

1、第三節(jié)第三節(jié) 隱函數(shù)的導數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)的導數(shù)及由參數(shù)方程所確定所確定一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法三、相參數(shù)方程的求導法三、相參數(shù)方程的求導法的函數(shù)的導數(shù)的函數(shù)的導數(shù) 一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)1 1 復習復習: :函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法(1)(1)直接表示直接表示: : 解析式解析式 y= =f( (x) ) xd, , 這樣描述的函數(shù)稱為顯函數(shù)這樣描述的函數(shù)稱為顯函數(shù)(2)(2)間接表示間接表示 由一個方程由一個方程f( (x, ,y)=0 )=0 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) 例例 可確定函數(shù)可確定函數(shù) , , 由兩個方程確定由兩個方程確定( (帶

2、一個中間變量帶一個中間變量) )參數(shù)方程參數(shù)方程: : t t是參數(shù)是參數(shù) 方法方法(1)(1)表示的函數(shù)稱為隱函數(shù)表示的函數(shù)稱為隱函數(shù). .122 yx21xy )()(tyytxx把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù), , 叫做隱函數(shù)的顯化叫做隱函數(shù)的顯化. .2 2 隱函數(shù)的定義隱函數(shù)的定義一般地一般地,如果變量如果變量x和和y滿足一個方程滿足一個方程f(x,y)=0,在一定條件下在一定條件下當當x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時取某區(qū)間內(nèi)的任一值時,相應地總有滿足這方程的唯一的相應地總有滿足這方程的唯一的y值存在值存在,那么就說方程那么就說方程f(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函在該區(qū)

3、間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)數(shù)隱函數(shù)的求導方法隱函數(shù)的求導方法: :(1)(1)將方程將方程f(x,yf(x,y)=0)=0兩端對兩端對x x求導求導, ,在求導過程中在求導過程中要記住要記住y y是是x x的函數(shù)的函數(shù);y;y的函數(shù)是的函數(shù)是x x的復合函數(shù)的復合函數(shù). .dxdy解出)2(例例1 1 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)的導數(shù)0 exyeydxdy解解 我們把方程兩邊分別對我們把方程兩邊分別對x求導數(shù)求導數(shù),注意注意y=y(x), 方程左邊對方程左邊對x求導得求導得 ,dxdyxydxdyeexyedxdyy 方程右邊對方程右邊對x求導得求導得0)0( 0 dxdy

4、xydxdyey所以所以從而從而()0yydyyxedxxe 注意注意: :在這個結果中在這個結果中, ,分式中的分式中的y= =y( (x) )是由方程是由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)0 exyey例例2 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)x=0處的處的 導數(shù)導數(shù)520yy x 0 xdxdy因為當因為當x=0時時,從原方程得從原方程得y=0,所以所以21 0 xdxdy解解 把方程兩邊分別對把方程兩邊分別對x求導求導,由于方程兩邊的導數(shù)相等由于方程兩邊的導數(shù)相等,45210dydyydxdx 由此得由此得4152dydxy所以所以 例例3 求圓求圓 在點在點 處的切線方程

5、處的切線方程.222xya00,m xy解解 由導數(shù)的幾何意義知道由導數(shù)的幾何意義知道,所求切線的斜率為所求切線的斜率為0 x xky圓方程的兩邊分別對圓方程的兩邊分別對x求導求導,有有220dyxydx從而從而dyxdxy 從而在從而在 處的切線率為處的切線率為00 x xy ydykdx00 xy 于是所求的切線方程為于是所求的切線方程為0000()xyyxxy 即即200 x xy ya00,m xy二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求導方法求然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)出導數(shù). .-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用

6、范圍: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu下面通過例子來說明這種方法下面通過例子來說明這種方法例例5.),0(sinyxxyx 求求設設解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxu

7、xvxuxfxv 冪指函數(shù)冪指函數(shù) 也可表示成也可表示成)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(xuxvexf 這樣這樣,便可直接求得便可直接求得)()()()(ln)()()(ln)(xuxuxvxuxvexfxuxv )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuxv例例6 求求 的導數(shù)的導數(shù))4)(3()2)(1( xxxxy兩邊對兩邊對x求導求導 41312111211xxxxyy于是于是解解 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)(假定假定 x4 ), 得得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy 413121112xxxxyy三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導

8、數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)所所確確定定的的函函數(shù)數(shù). .的的函函數(shù)數(shù)為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程則則稱稱此此函函數(shù)數(shù)關關系系所所表表達達, ,間間的的函函數(shù)數(shù)關關系系與與若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx確確定定 )()( 求導方法求導方法,)()(中中在方程在方程 tytx ),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設函數(shù)設函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數(shù)再設函數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即例例7 7 已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為 tbytaxsincos求橢圓在求橢圓在 相應的點處的切線方程相應的點處的切線方程4 t解解 當當 時時,橢圓上的相應點橢圓上的相應點 的坐標是的坐標是: 4 t0m224sin224cos00bbyaax 4 tdxdy 4)cos()sin( ttatb 4sincos ttatbab 曲線在曲線在 點的切線斜率為點的切線斜率為:0m代入點斜式方程代入