ch11234方向?qū)?shù)梯度

1、1四、方向?qū)?shù)及梯度四、方向?qū)?shù)及梯度設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x , y) 在在 p0 = (x0 , y0) 的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi) 有定義有定義 , 0 xy0pl( , )p x y若點(diǎn)若點(diǎn) p ( x , y) 在射線在射線 l 上變化上變化則有則有00(cos ,cos)zf xy 問(wèn)題問(wèn)題: 研究函數(shù)研究函數(shù) z = f (x , y) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x0 , y0) 處處 , 沿方向沿方向 的變化情況的變化情況lcos , cosl 給定給定 , 則過(guò)則過(guò) p0 點(diǎn)且以點(diǎn)且以 為方向的射線方程為方向的射線方程 :0cosxx 0cosyy l:, 0 l2并且并且 是是 f 在

2、在 0000(cos ,cos)(,)f xyf xy 線段線段 p0p 上的上的平均變化率平均變化率 定義定義如果當(dāng)如果當(dāng) 時(shí)時(shí) ( 即即 p 沿著沿著 l 趨于趨于 p0 ) , 0 極限極限 存在存在 ,00000(cos ,cos)(,)limf xyf xy 則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) z = f (x , y) 在在 p0 =(x0 , y0) 處處l沿方向沿方向 的的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) , 記作記作 , 即即 00(,)fxyl 0000000(,)(cos ,cos)(,)limf xyf xyf xyl 3.注注.)1(它是一個(gè)數(shù)它是一個(gè)數(shù)方向?qū)?shù)是單方向的，方向?qū)?shù)

3、是單方向的，0,1),(),( ixyxpyxfz軸正向軸正向沿著沿著在點(diǎn)在點(diǎn)則則的方向?qū)?shù)：的方向?qū)?shù)：xyxfyxxfx ),(),(lim0zi),(yxfx 存在，存在，的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)若若yxffyxpyxfz,),(),()2( l 的幾何意義的幾何意義: 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) p 沿著由沿著由 所所00(,)fxyl 確定的射線確定的射線 l 趨于趨于 p0 點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí) , 函數(shù)函數(shù) z = f (x , y) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x0 , y0) 處沿處沿 方向的變化率方向的變化率 l41,0),(),( jyyxpyxfz軸正向軸正向沿著沿著在點(diǎn)在點(diǎn)的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)：yyxfyyxf

4、y ),(),(lim0zj),(yxfy ，軸負(fù)向軸負(fù)向沿沿在點(diǎn)在點(diǎn)而而0,1),( ixpyxf的方向?qū)?shù)分別為的方向?qū)?shù)分別為1,0 j軸軸負(fù)負(fù)向向y，),(),(yxfyxfyx 5定理定理是可微分的，是可微分的，在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)),(),(yxpyxfz 則函數(shù)在該點(diǎn)則函數(shù)在該點(diǎn)的方向?qū)?shù)都存在，的方向?qū)?shù)都存在，沿任一方向沿任一方向l且有且有coscoszffxyl 的方向余弦的方向余弦為為其中其中l(wèi) cos,cos證證明明是可微的，是可微的，在點(diǎn)在點(diǎn)由于由于),(),(yxpyxfz 則函數(shù)增量可表示為則函數(shù)增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 其

5、中其中22)()(yx ，得到，得到兩邊各除以兩邊各除以 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf )(coscosoyfxf 6 ),(),(lim0yxfyyxxf 所以所以 coscos yfxf即即coscoszffxyl .注注(1),cos,cosfffxyl ,),(),()2(321llllzyxpzyxfu 沿方向沿方向，則它在點(diǎn)，則它在點(diǎn)設(shè)設(shè)的方向?qū)?shù)定義為的方向?qū)?shù)定義為0(,)( , , )limuf xx yy zzf x y zl 其中其中222)()()(zyx 其計(jì)算公式為其計(jì)算公式為coscoscosufffxyzl 7(5,1, 2)(5,1, 2)(

6、9, 4,14)uxyz 例例求求在在點(diǎn)點(diǎn)處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù)解解，方向方向12, 3, 4 l其單位向量為其單位向量為， 1312,133,1340l，yzxu ，xzyu ，xyzu 方向?qū)?shù)為方向?qū)?shù)為4312,13 13 13uyz xz xyl 131234xyxzyz 故故(5,1,2)9813ul 824222,2 ,2yuxtytztxyz 例例求求函函數(shù)數(shù)沿沿曲曲線線數(shù)數(shù)的方向?qū)У姆较驅(qū)лS夾角為銳角軸夾角為銳角與與處的切線方向處的切線方向在點(diǎn)在點(diǎn))()2, 2, 1(xm 解解)2, 2, 1( m點(diǎn)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)1 t則則1dd ttx，1

7、 1dd tty，4 1dd ttz，8 處的切線方向?yàn)椋禾幍那芯€方向?yàn)椋杭辞€在即曲線在 m，8, 4, 1 l其單位向量為其單位向量為， 98,94,910l而而mxu mzyxxy23)(222 ，272 myu mzyxzx23)(22222 ，275 mzu mzyxyz23)(222 ，274 mul 98,94,91274,275,27224314 9梯度梯度 方向?qū)?shù)公式方向?qū)?shù)公式coscosfffxyl 這說(shuō)明這說(shuō)明方向：方向：f 變化率最大的方向變化率最大的方向模模 : : f 的最大變化率之值的最大變化率之值令向量令向量,ffgxy 0(cos,cos)l 0cos(

8、,)gg l 0(1 )l 0fg ll :g maxfgl 方向?qū)?shù)取最大值：方向?qū)?shù)取最大值：0l當(dāng)當(dāng) 與與 方向一致時(shí)，方向一致時(shí)，g 10定定義義，處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在在點(diǎn)在點(diǎn)若若),(),(yxyxfz 定義一個(gè)向量：定義一個(gè)向量：則在點(diǎn)則在點(diǎn)),(yx jyfixf處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)稱為稱為),(),(yxyxfz 梯度，梯度，或或記為記為ff grad即即 jyfixfyxf),(說(shuō)明說(shuō)明:(1) 梯度梯度 grad f (x , y) 是一個(gè)向量是一個(gè)向量 (2) 對(duì)于對(duì)于 , 可類似定義可類似定義 n 元元12(,)nuf xxx 函數(shù)的梯度函數(shù)的梯度 12

9、12(,),nnfffgradf xxxxxx 11(3) 如果引進(jìn)微分算子如果引進(jìn)微分算子 , ijxyxy ( 稱為二維稱為二維 hamilton微分算子微分算子 )12 , , nxxx ( 稱為稱為 n 維維 hamilton微分算子微分算子 )則梯度可表示為則梯度可表示為 ( ,)( ,)grad f x yf x y 1212 (,)(,)nngrad f xxxf xxx 12(4) 00(,)(,) (,) cos(,),)fx yfx ylfx yfx yll (a) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) , 即即 與與 同向同向 ( , ),)0f x yl l( , )f x y ( , ) f

10、x yl 取得最大值取得最大值( , )f x y 結(jié)論結(jié)論:梯度方向是函數(shù)值增長(zhǎng)最快的方向梯度方向是函數(shù)值增長(zhǎng)最快的方向 , 且方向且方向?qū)?shù)有最大值導(dǎo)數(shù)有最大值( , )f x y (b) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) , 即即 為負(fù)梯度方向?yàn)樨?fù)梯度方向( ,),)f x yl l( , ) f x yl 取得最小值取得最小值( , )f x y 13( , ) 0f x yl (c) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) , ( , ),)2f x yl 結(jié)論結(jié)論:與梯度方向垂直的方向是函數(shù)值變化最與梯度方向垂直的方向是函數(shù)值變化最微小的方向微小的方向結(jié)論結(jié)論:負(fù)梯度方向是函數(shù)值減少最快的方向負(fù)梯度方向是函數(shù)值減少最快的方向 ,

11、且且方向?qū)?shù)有最小值方向?qū)?shù)有最小值( , )f x y 梯度的基本運(yùn)算公式梯度的基本運(yùn)算公式0grad(1)cucucgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)14221gradxy 例例求求解解，設(shè)設(shè)221),(yxyxf ，則則222)(2yxxxf ，222)(2yxyyf 221gradyx jyxyiyxx222222)(2)(215例例設(shè)設(shè)一一塊塊金金屬屬板板上上的的電電壓壓 分分布布，在在已已建建坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中 的的表表達(dá)達(dá)式式為為，22450yxv 高得最快？沿哪

12、個(gè)高得最快？沿哪個(gè)處，沿哪個(gè)方向電壓升處，沿哪個(gè)方向電壓升試問(wèn)在點(diǎn)試問(wèn)在點(diǎn))2,1( 多少？多少？升高及下降的速率各是升高及下降的速率各是方向電壓下降得最快？方向電壓下降得最快？?。啃。垦厥裁捶较螂妷鹤兓钛厥裁捶较螂妷鹤兓罱饨鈜 由由，8,2yx )2,1( v則則，16,2 沿方向沿方向所以電壓所以電壓 v16,2)2,1( v升高得最快；升高得最快；沿方向沿方向電壓電壓 v16,2)2,1( v下降得最快；下降得最快；上升與下降的速率均為上升與下降的速率均為)2,1( v260 顯然，顯然，2,16 n向量向量垂直，垂直，與與)2,1( v變化最小變化最小此時(shí)電壓在該點(diǎn)處沿此時(shí)電壓在該

13、點(diǎn)處沿n16內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義定義; ; 記號(hào)記號(hào); ; 幾何意義幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定義利用定義3. 3. 微分定義微分定義: :),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(dz ( , )d( , )dxyfx yxfx yy 22)()(yx)( o174. 4. 重要關(guān)系重要關(guān)系: :函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)5. 5. 微分應(yīng)用微分應(yīng)用 近似計(jì)算和誤差估計(jì)近似計(jì)算和誤差估計(jì)z ( , )( , )xyfx yxfx yy(,)f xxyy ( , )( , )xyfx yxfx yy( , )f x y186. 6. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(zyxp),為的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxp),的方向?qū)?shù)