隱函數(shù)的求導(dǎo)公式63509

1、1一個方程的情形一個方程的情形方程組的情形方程組的情形小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)( implicit function )第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2 隱函數(shù)在實際問題中是常見的隱函數(shù)在實際問題中是常見的.平面曲線方程平面曲線方程空間曲面方程空間曲面方程空間曲線方程空間曲線方程下面討論如何由下面討論如何由隱函數(shù)方程隱函數(shù)方程0),( yxf0),( zyxf 0),(0),(zyxgzyxf如如求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù).隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式3一、一個方程的情形一、一個方程的情形 在一元函數(shù)微分學(xué)中在一元函數(shù)

2、微分學(xué)中, 現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法鏈導(dǎo)法給出隱函數(shù)給出隱函數(shù)(1)0),(. 1 yxf)1(0),( yxf的求導(dǎo)法的求導(dǎo)法.并指出并指出:曾介紹過隱函數(shù)曾介紹過隱函數(shù)的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式,隱函數(shù)存在的一個充分條件隱函數(shù)存在的一個充分條件. .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式4隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1),(yxf),(00yxp隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足:在點在點, 0),(00 yxfy則方程則方程; 0),(00 yxf),(xfy ),(00 xfy 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)并有并有),(),(dd

3、yxfyxfxyyx (1) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);0),( yxf),(00yxp它滿足條件它滿足條件在點在點隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(2) (3) 恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)(證明從略證明從略)僅推導(dǎo)公式僅推導(dǎo)公式.將恒等式將恒等式兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo),),(xf由由全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式,得得)(xf0 5連續(xù)，連續(xù)，由于由于),(yxfy，且且0),(00 yxfy, 0),( yxfy),(),(ddyxfyxfxyyx 或簡寫或簡寫:.ddyxffxy ),(00yx于是得于是得隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公

4、式所以存在所以存在的一個鄰域的一個鄰域, 在這個鄰域內(nèi)在這個鄰域內(nèi)),(yxfx),(yxfy xydd 0 ),(xf)(xf0 6如如, , 方程方程, 0 yxeexy記記,),(yxeexyyxf ; 0)0 , 0( f(1)xxeyyxf ),(yyexyxf ),(與與)0 , 0(在點在點的鄰域內(nèi)連續(xù)的鄰域內(nèi)連續(xù);, 01)0 , 0( yf所以方程在點所以方程在點)0, 0(附近確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、附近確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、且且yxffxy dd.yxexey 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1的隱函數(shù)的隱函數(shù)00 yx時時當(dāng)當(dāng)),(xfy 則則

5、(2)(3)7解解 令令則則,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffxy dd.xyyx 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 8),(zyxf),(000zyxp, 0),(000 zyxfz則方程則方程; 0),(000 zyxf),(yxfz ),(000yxfz 內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的并有并有具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);若三元函數(shù)若三元函數(shù)的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)0),( zyxf),(000zyx函數(shù)函數(shù)它

6、滿足條件它滿足條件在點在點在點在點0),( zyxf2. 由三元方程由三元方程確定二元隱函數(shù)確定二元隱函數(shù)),(yxfz .,yzxz 求求隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式的某一鄰域的某一鄰域,zxffxz .zyffyz (1)(2)(3)滿足滿足:9隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(證明從略證明從略)僅推導(dǎo)公式僅推導(dǎo)公式.將恒等式將恒等式兩邊分別關(guān)于兩邊分別關(guān)于x和和y求導(dǎo)求導(dǎo),),(yxf應(yīng)用應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法法得得),(yxf0 xfzf xz , 0 ,zxffxz .zyffyz ),(yxfz 是方程是方程0),( zyxf所確定的隱

7、所確定的隱設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù), ,則則yfzf yz . 0 zf，且且0),(000 zyxfz, 0 zf),(000zyx點點所以存在所以存在的一個鄰域的一個鄰域,在這個鄰域內(nèi)在這個鄰域內(nèi)因為因為連續(xù)連續(xù),于是得于是得10例例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解解 ),(zyxf1222222 czbyax則則,22axfx ,22byfy 22czfz xzzaxc22 yzzbyc22 令令)0( z,zxffxz zyffyz 看看作作是是將將時時、在在求求),(,zyxffffzyx的的zyx,.三個自變量的函數(shù)三個自變量的函數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函

8、數(shù)的求導(dǎo)公式11將將 xzzaxc22 yxz222axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc yzzbyc22 注注再一次對再一次對y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),得得對復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時對復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時,需注意需注意:導(dǎo)函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù)導(dǎo)函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù).故對導(dǎo)函數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)時故對導(dǎo)函數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)時,仍需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法仍需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法.2z 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式y(tǒng)z 12確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù)設(shè)方程設(shè)方程1 zxyzxy.,2222yzxz 試求試求分析分析在某函數(shù)在某函數(shù)(或方程或方程)表達(dá)式中表達(dá)式中,自變量自變量互換后互換后,仍是原來的函

9、數(shù)仍是原來的函數(shù) (或方程或方程),稱函數(shù)稱函數(shù)(或方程或方程)用對稱性可簡化計算用對稱性可簡化計算.解解 將方程兩邊對將方程兩邊對x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),得得關(guān)于自變量對稱關(guān)于自變量對稱,yyxzyxz ),(yxzz 將任意兩個將任意兩個y xz z x xz 0 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式13再將上式兩邊對再將上式兩邊對x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),yxzyxz 得得 22xz2)()(2yxzy 由由x, y的對稱性的對稱性知知, 22yz2)()(2yxzx 確確定定了了隱隱函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 試求試求),(yxzz 2)(yx xz )(yx )(zy 1 隱

10、函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式14例例 設(shè)有隱函數(shù)設(shè)有隱函數(shù) ,其中其中f的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),0),( zyzxf 求求 ,xz .yz 解解令令),(),(zyzxfzyxg xg yg zg zxggxz zyggyz用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法)(22 yzf法一法一由公式由公式.zxggxz 1f1 z2f1 z)(21 xzf,211yfxfzf 212yfxfzf , 0 0隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式15將隱函數(shù)方程兩邊取全微分將隱函數(shù)方程兩邊取全微分, zxf d1即即1f故故2121dddyfxfyzfxzfz 從而從而,211yfxfzfxz 此法步驟清楚此法

11、步驟清楚法二法二 利用全微分利用全微分.212yfxfzfyz 2f , 0),( zyzxf 求求 ,xz .yz zyf d20 2ddzzxxz 2ddzzyyz 0 得得隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式16將方程兩邊求導(dǎo)將方程兩邊求導(dǎo).對對x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo):u vuf 即即 zuf 1vfyufxufzxz 自己練習(xí)自己練習(xí)z是是 x,y 的函數(shù)的函數(shù)!0),( zyzxf法三法三212yfxfzfyz 012 xzzyvfvf 0 xu xv xz 21zx 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式171991年研究生考題年研究生考題,填空填空,3分分2),(222 zyxxyzyxf是由方程

12、是由方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)yxd2d 解解 法一法一 用公式用公式2),(222 zyxxyzzyxf設(shè)設(shè),22222zyxxyzxf ,22222zyxyxzyf .22222zyxzxyzf 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式, 1)1,0, 1( xz,2)1,0, 1( yz).(d)1, 0 , 1(, zz處的全微分處的全微分在點在點則則確定的確定的yxzd2dd)1, 0, 1( 18法二法二 用全微分用全微分xyzd得得2222 zyxxyzyxzd zxyd 2222d2d2d2zyxzzyyxx 0 ,)1, 0 , 1(代入上式代入上式將點將點 yxzd2dd)1,0, 1( 隱

13、函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式19解解令令, zyxu ,xyzv 則則).,(vufz .,),(zyyxxzxyzzyxfz 求求設(shè)設(shè),xz xzvf 整理得整理得xz vuvuxyffyzff 11.2.,yx ),(yxyzxzfv )1(0 yxfuuf)1(xz ),(xzxyyz 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式把把z看成看成x, y的函數(shù)的函數(shù)對對x求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),得得把把x看成看成y, z的函數(shù)的函數(shù)對對y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),得得20),(xyzzyxfz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvux

14、zffxyff 3.,zy 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式把把y看成看成x, z的函數(shù)的函數(shù)對對z求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),得得21隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2002年在職攻讀碩士學(xué)位全國聯(lián)考年在職攻讀碩士學(xué)位全國聯(lián)考(6分分)zyxzeyexeyxzzzzu 由由方方程程且且設(shè)設(shè)),(,22.d,)1(uz求求所所確確定定 解解 法一法一 利用全微分利用全微分.zzzud2d2d zzd)1(2 xxexxedd yyeyyedd zzezzedd xxex)d(1 yyey)d(1 xxexexxdd yyeyeyydd zzezezzdd zzezd)(1 )1(d)1(d)1(dzey

15、yexxezzyx .d)1(d)1(2dyeyxexeuyxz 222002年在職攻讀碩士學(xué)位全國聯(lián)考年在職攻讀碩士學(xué)位全國聯(lián)考zyxzeyexeyxzzzzu 由由方方程程且且設(shè)設(shè)),(,22.d,)1(uz求求所所確確定定 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式解解 法二法二 利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式.令令 ),(zyxfzyxzeyexe ,)1(xxexf ,)1(yyeyf ,)1(zzezf 故故,11zxezxxz ,11zyezyyz ).1( z xu yuyyuxxuuddd ,)1(2zxex xzz)22( yzz)22(.)1(2zyey 23二、方程組的情形

16、二、方程組的情形(隱函數(shù)組隱函數(shù)組) 下面討論由聯(lián)立方程組所確定的隱函數(shù)的下面討論由聯(lián)立方程組所確定的隱函數(shù)的 0),(0),(vuyxgvuyxf確定兩個確定兩個二元函數(shù)二元函數(shù),xu ,yu ),(yxuu 求求隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理3.3.請看課本第請看課本第34頁頁,故由方程組故由方程組求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法.).,(yxvv ,xv .yv 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式24將恒等式將恒等式 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxgyxvyxuyxf兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),xu 0),(0),(vuyxgvuyxf解這個以解這個以,xu xv 為未知量的線性方

17、程組為未知量的線性方程組,由由鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則得得:xg xf uf vf xv 0 ug xu vg xv 0 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,xu ,yu 求求,xv .yv 25解得解得 00 xvvgxuugxgxvvfxuufxf當(dāng)系數(shù)行列式不為零時當(dāng)系數(shù)行列式不為零時,即即vgugvfuf ),(),(vugfj雅可比行列式雅可比行列式. 0 jacobi,c.g.j.(德德)1804-1851 xuvgugvfufvgxgvfxf xvvgugvfufxgugxfuf ,),(),(1vxgfj .),(),(1xugfj 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式26同理同理, vgu

18、gvfufvgygvfyfyu vgugvfufygugyfufyv ,),(),(1vygfj .),(),(1yugfj 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxgyxvyxuyxf 00yvvgyuugygyvvfyuufyf兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),得得隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,xu ,yu 求求,xv .yv 27特特,0),(0),(時時 vuxgvuxf如果方程組如果方程組它可能確定兩個它可能確定兩個現(xiàn)假定它確定現(xiàn)假定它確定),(),(xvvxuu 且兩個函數(shù)都且兩個函數(shù)都則求則求xvxudddd與與的方法同前面求的方法同前面求與與xu xv 的方法相同

19、的方法相同. 0),(0),(vuyxgvuyxf為為可微可微,別別一元函數(shù)一元函數(shù),隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式28例例)0, 0( ,212222 zyzyxzyx設(shè)設(shè)及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy解解分析分析),(xyy ).(xzz 直接代入公式；直接代入公式；法一法一令令, 2),( zyxzyxf.21),(222zyxzyxg 0),(0),(zyxgzyxf),(),(),(),(ddzygfzxgfxy ),(),(),(),(ddzygfxygfxz , 1 xf, 1 yf, 1 zf,2xxg ,2yyg , zzg 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)

20、的求導(dǎo)公式29 ),(),(zygfj, 1 xf, 1 yf, 1 zf,2xxg ,2yyg , zzg zy 211yz2 zgygzfyf ),(),(zxgfzgxgzfxf zx 211xz2 zyzxxy 22dd1 x1 x0 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 0),(0),(zyxgzyxf),(),(),(),(ddzygfzxgfxy ),(),(),(),(ddzygfxygfxz 30, 1 xf, 1 yf, 1 zf,2xxg ,2yyg , zzg ),(),(xygfxgygxfyf xy2211 yx22 zyyxxz 222dd1 x1 x1 隱函數(shù)的求導(dǎo)

21、公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 0),(0),(zyxgzyxf),(),(),(),(ddzygfzxgfxy ),(),(),(),(ddzygfxygfxz 31)0, 0(,212222 zyzyxzyx設(shè)設(shè)及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy),(xyy ).(xzz 方程組兩邊對方程組兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo)1得得zyzxxy 22ddzyyxxz 222dd1 x1 x0 1 x1 x1 運用公式推導(dǎo)的方法運用公式推導(dǎo)的方法.法二法二注意注意 x2xydd xzdd 0 y2 xzdd xydd z 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式32例例設(shè)方程組設(shè)方程組,0022222 vu

22、xyuvyx確定函數(shù)確定函數(shù)和和),(yxuu ),(yxvv .,yvxvyuxu 求求解解直接代入公式；直接代入公式；運用公式推導(dǎo)的方法運用公式推導(dǎo)的方法.原方程組兩邊分別對原方程組兩邊分別對法二法二法一法一x2x求偏導(dǎo)數(shù)：求偏導(dǎo)數(shù)： 2yv u 0 xu xv u2 v2 0 xu xv 0 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式u與與v都視為都視為x,y的的二元函數(shù)二元函數(shù)33解方程組得解方程組得,2222 yxvvxuuxxvuxuv移項得：移項得：,022022 xvvxuuyxvuxuvx.)(24222vuvyxvxv ,0的條件下的條件下在在 j xu,)(24222vuuxu v

23、uuv22 vu2x22y 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式34原方程組兩邊分別對原方程組兩邊分別對,022202 yvvyuuxyyvuyuvy,222vuxyvyvyu .222vuxyvyuyv 解方程組得解方程組得yvyu ,求求 0022222vuxyuvyxy求偏導(dǎo)數(shù)：求偏導(dǎo)數(shù)：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式35書上第書上第36頁例頁例4中對中對0),(),(),(),( vuyxvugfj即即 ),(),(vugf因為因為 0),(),(0),(),(vuyyvuyxgvuxxvuyxf的的解釋解釋.vuvuggff 注注),(),(vuyx ux vx uy vy 隱函數(shù)的求

24、導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式0 已知已知36求求例例,xr ,x ,yr y 解解 法一法一 sincosryrx對對 x求偏導(dǎo)：求偏導(dǎo)：),(),(yxyxrr cossinsincosrrxr cos0sin1rr cos 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1cossin0sincosrrxxrrxx 37對對 y求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),r sin ry cos ,sin yr同理，同理， xrxrxrxr cossin0sincos1 cossinsincosrrx 0sin1cos 自己練自己練.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式38法二法二 用全微分形式不變性用全微分形式不變性 xd,xr ,x ,yr

25、 y sincosryrx求求 cossinsincosdrrr cosdsindryrx cos xr sin yr yd cosrd r d)sin( sinrd r dcos 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式y(tǒng)xdsindcos 39 dcosdsindd)sin(dcosdrryrrxyxdsindcos rx sin ry cos 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 cossinsincosdrr yrxrdcosdsin 401995年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 設(shè)設(shè)解解 ud 0 0),(2 zexy 將將zxxexx

26、yddcosd2321 法一法一得得得得xfxdyfyd zfzd xxd21 yeyd2 zd3 xfxdyf xxdcos zfzd 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式兩邊兩邊求全微分求全微分,兩邊兩邊求全微分求全微分,xxfxfuyxdcosdd xfxexzydcos2321 xuddxffyxcos zyfxex321cos2 .dd, 0,xuzf求求均一階連續(xù)可導(dǎo)且均一階連續(xù)可導(dǎo)且其中其中 ),(zyxfu 將將xxexzydcos2d321 41法二法二由由, 0sin, 0),(2 zxyzexy 且且用公式用公式: x z zyzxxexxz 21cos2dd xuddxxf

27、xdd xzfzdd .dd, 0,xuzf求求均一階連續(xù)可導(dǎo)且均一階連續(xù)可導(dǎo)且其中其中 x21 xeycos2 , 03 01 02 13 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式xyfydd xffxzyxcosdd zyfxex321cos2 ,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 設(shè)設(shè)得得由由),(zyxfu 421999年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分和和是是由由方方程程設(shè)設(shè))()(),(yxxfzxzzxyy 分分別別具具有有和和其其中中所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)ffzyxf,0),( .ddxz求求解解)(yxxfz xyfxfxzdd1dd隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求

28、導(dǎo)公式一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),分別將分別將的兩端對的兩端對x求導(dǎo)求導(dǎo),得得0dddd xzfxyffzyx xzyfxzfxyffxfxzxyfxdddddddd)0()(dd zyzyxyxffffxfffxffxfxz0),( zyxf和和43隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2002年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(四四),7分分),(zyxfu 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且且.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所確確定定由由方方程程 解解 法一法一,),(zyxzeyexezyxf 設(shè)設(shè)則則用公式用公式,11zxzxezxffxz .11zyzyezyffyz ,)1(xxexf ,)1(yyeyf .)1(zzezf 故故而而,11zxzxzx