第4章 傅里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-1 1 1頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù) 一、正交函數(shù)集一、正交函數(shù)集 二、信號(hào)分解為正交函數(shù)二、信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 4.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 一、周期信號(hào)的分解一、周期信號(hào)的分解 二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜 一、周期信號(hào)的頻譜一、周期信號(hào)的頻譜 二、周期矩形脈沖的頻譜二、周

2、期矩形脈沖的頻譜 三、周期信號(hào)的功率三、周期信號(hào)的功率4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜 一、傅里葉變換一、傅里葉變換 二、奇異函數(shù)的傅里葉變換二、奇異函數(shù)的傅里葉變換點(diǎn)擊目錄點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 一、線性一、線性 二、奇偶性二、奇偶性 三、對(duì)稱性三、對(duì)稱性 四、尺度變換四、尺度變換 五、時(shí)移特性五、時(shí)移特性 六、頻移特性六、頻移特性 七、卷積定理七、卷積定理 八、時(shí)域微分和積分八、時(shí)域微分和積分 九、頻域微分和積分九、頻域微分和積分 十、相關(guān)定理十、相關(guān)定理4.6 4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜 一、能量譜

3、一、能量譜 二、功率譜二、功率譜第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-2 2 2頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.7 4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換 一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換 二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換 三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換4.8 lti4.8 lti系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 一、頻率響應(yīng)一、頻率響應(yīng) 二、無(wú)失真?zhèn)鬏敹?、無(wú)失真?zhèn)鬏?

4、三、理想低通濾波器的響應(yīng)三、理想低通濾波器的響應(yīng)4.9 4.9 取樣定理取樣定理 一、信號(hào)的取樣一、信號(hào)的取樣 二、時(shí)域取樣定理二、時(shí)域取樣定理 三、頻域取樣定理三、頻域取樣定理點(diǎn)擊目錄點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)4.10 4.10 序列的傅里葉分析序列的傅里葉分析 一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(dfs) 二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉 變換變換(dtft)4.11 4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì)離散傅里葉變換及其性質(zhì) 一、離散傅里葉變換一、離散傅里葉變換(dft) 二、離散傅里葉變換的性質(zhì)二、離散傅里葉變換的性質(zhì)第四章第四

5、章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-3 3 3頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年年3月月21日生于日生于歐塞爾，歐塞爾，1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。 1807年向巴黎科學(xué)院呈交年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都

6、可以展成三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。的無(wú)窮級(jí)數(shù)。 1822年在代表作年在代表作熱的分析理論熱的分析理論中解決了熱在非均勻加中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問(wèn)題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例熱的固體中分布傳播問(wèn)題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對(duì)證之一，對(duì)1919世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。傅傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。（傅里葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、（傅里葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅里葉積分、傅里葉變換，這些統(tǒng)稱為傅里葉分析。）傅里葉積分、傅里葉變換，這些統(tǒng)稱為傅

7、里葉分析。）其他貢其他貢獻(xiàn)有：最早使用定積分符號(hào)，改進(jìn)了代數(shù)方程符號(hào)法則的證法獻(xiàn)有：最早使用定積分符號(hào)，改進(jìn)了代數(shù)方程符號(hào)法則的證法和實(shí)根個(gè)數(shù)的判別法等。和實(shí)根個(gè)數(shù)的判別法等。 傅里葉簡(jiǎn)介傅里葉簡(jiǎn)介信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-4 4 4頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解 時(shí)域分析的要點(diǎn)時(shí)域分析的要點(diǎn)是，以是，以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為為基本信號(hào)基本信號(hào)，任意，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而

8、yf (t) = h(t)*f(t)。 本章將以本章將以正弦信號(hào)正弦信號(hào)和和虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)e jt為為基本信號(hào)基本信號(hào)，任，任意輸入信號(hào)可分解為一系列意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號(hào)或虛指的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。數(shù)信號(hào)之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率頻率。故稱為。故稱為頻域頻域分析分析。 矢量矢量vx = ( vx1, vx2, vx3)與與vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義：正交的定義：其其內(nèi)積內(nèi)積為為0。即。即031iyixiyxvvvv信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-

9、5 5 5頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為稱為正交矢量集。正交矢量集。如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集正交矢量集。 例如例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量a =(2，5，8)，可以用，可以用一個(gè)三維正交矢量集一個(gè)三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。分量的線性組合表示。即即 a= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推

10、廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)信號(hào)空間空間：在信：在信號(hào)空間找到若干個(gè)號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-6 6 6頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-7 7 7頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1. 定

11、義：定義： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和和 2(t),若滿足若滿足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(*ttijijikjittt則稱此函數(shù)集為在則稱此函數(shù)集為在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)上的上的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)

12、電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-8 8 8頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在任何函數(shù)不存在任何函數(shù) (t)(0）滿足）滿足 則稱此函數(shù)集為則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例如：例如：三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的是兩組典型的在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0+t)(t=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交函數(shù)集。210d)()(

13、ttittt( i =1，2，n)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-9 9 9頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)三、信號(hào)的正交分解三、信號(hào)的正交分解 設(shè)有設(shè)有n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為 f(t)c1 1+ c2 2+ cn n 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間

14、區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。內(nèi)為最小。 通常使誤差的方均值通常使誤差的方均值(稱為稱為均方誤差均方誤差)最小。均方誤最小。均方誤差為：差為： ttctfttttnjjjd )()(12121122信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-101010頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)為使上式最?。ㄏ禂?shù)為使上式最小（系數(shù)cj變化時(shí)），有變化時(shí)），有0d)()(21122ttnjjjiittctfcc 展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為不為0，寫為：，寫為： 210d)()()(

15、222ttiiiiittcttfcc即：即： 21210d)(2d)()(22ttiittittctttf所以系數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfktttttfc信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-111111頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差代入，得最小均方誤差0d)(112212221njjjttkcttftt 在用正交函數(shù)去近似在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多越多，即，即n越大，則均方誤差越大，則均方誤差越小越小。當(dāng)。當(dāng)n時(shí)（為

16、完備正交函數(shù)時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有集），均方誤差為零。此時(shí)有 12221d)(jjjttkcttf 上式稱為上式稱為(parseval)帕斯瓦爾方程（公式）帕斯瓦爾方程（公式），表明：，表明：在區(qū)間在區(qū)間(t1,t2)， f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。集中分解的各正交分量能量的總和。 1)()(jjjtctf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-121212頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)

17、數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.2 4.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號(hào)設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為，其周期為t，角頻率，角頻率 =2 /t，當(dāng)，當(dāng)滿足滿足狄里赫利狄里赫利(dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)角級(jí)數(shù) 稱為稱為f(t)的的傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)。 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)。傅里葉系數(shù)。 22d)cos()(2ttnttntfta22d)sin()(2ttnttntftb可見(jiàn)，可見(jiàn)， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)

18、， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-131313頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)10)cos(2)(nnntnaatf式中，式中，a0 = a022nnnbaannnabarctan 上式上式表明表明：周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。：周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 其中，其中， a0/2為為直流分量直流分量； a1cos( t+ 1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率與原周，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；期信號(hào)相同； a2cos(2 t+ 2)稱為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波

19、的，它的頻率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波次諧波。 可見(jiàn)可見(jiàn)an是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 an = ancos n， bn = ansin n，n=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-141414頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)例例1：將圖示方波信號(hào)：將圖示方波信號(hào)f(t)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。解：解：( )3,2 /2 /3f ttt 為的周期信號(hào)，傅里葉系數(shù)為022022222( )

20、cos()( 1) cos()1 cos()ttttnaf tn t dtn t dtn t dtttt02 12 1 sin()sin() 202tn tn ttt nt n考慮到考慮到=2/t，可得：，可得：0na 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-151515頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t022022222( )sin()( 1) sin()1 sin()ttttnbf tn t dtn t dtn t dtttt

21、02 12 1cos() cos() 202tn tn ttt nt n21 cos() 1 cos()2tnnt n21 cos()nn0,2,4,6,4,1,3,5,nnn4111sin()sin(3)sin(5)sin(),1,3,5,35tttn tnn信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-161616頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-171717頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4

22、-181818頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-191919頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-202020頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)二、波形的對(duì)稱性與諧波特性二、波形的對(duì)稱性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)稱縱坐標(biāo)對(duì)稱縱坐標(biāo)22d)cos()(2ttnttntfta22d)sin()(2ttnttntftbbn =0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。2 . .f(t)為奇函數(shù)為奇函

23、數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn)對(duì)稱于原點(diǎn)an =0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。 實(shí)際上，任意函數(shù)實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-212121頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tt/2) 此時(shí)

24、，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇此時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分次諧波分量，而不含偶次諧波分量即：量即：a0=a2=b2=b4=0 4 . .f(t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tt/2) 此時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶此時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分次諧波分量，而不含奇次諧波分量即量即 a1=a3=b1=b3=0 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-222222頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 三角形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算的傅里葉

25、級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。可的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪脧娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnaa110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnaaa10)cos(2)(nnntnaatf 上式中第三項(xiàng)的上式中第三項(xiàng)的n用用n代換，代換，a n=an， n= n，則上式寫為則上式寫為 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-232323頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)110ee21ee212ntj

26、njnntjnjnnnaaa令令a0=a0 e j 0 e j0 t ， 0=0 ntjnjnnatfee21)(所以所以令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)nnjnffannee21稱其為稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajaaeafn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1tttjnttttttftttntftjttntft信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-242424頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)ntjnnftfe)( n = 0, 1, 2， 2

27、2de)(1tttjnnttftf表明：表明：任意周期信號(hào)任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。數(shù)信號(hào)之和。 fn 是頻率為是頻率為n 的分量的的分量的系數(shù)，系數(shù)，f0 = a0/2為直流分量。為直流分量。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-252525頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)例例2：求如圖所示周期信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。：求如圖所示周期信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。解：解：( )3,2 /2 /3f ttt 為的周期信號(hào)，指數(shù)型傅里葉系數(shù)為230211( )23tjn tjn tjn tno

28、ff t edtedtedtt23221133j nj nj neeej nj n2321110233jn tjn teejnjn信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-262626頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)23221133j nj nj neeej nj n23233j nj neej n423232jnjneejn433(1)2jnejn指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)為：指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)為：433( )(1)2jnjn tjn tnnnf tf eeejn信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-272727頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子

29、教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)一、信號(hào)頻譜的概念一、信號(hào)頻譜的概念 從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量特征量隨信號(hào)頻率變隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信，所畫出的圖形稱為信號(hào)的號(hào)的頻譜圖頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將將an和和 n的關(guān)系分別畫在以的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖振

30、幅頻譜圖和和相位頻相位頻譜圖譜圖。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)閚0，所以稱這種頻譜為，所以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫也可畫|fn|和和 n的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為雙邊譜雙邊譜。若。若fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫為實(shí)數(shù)，也可直接畫fn 。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-282828頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜例：例：周期信號(hào)周期信號(hào) f(t) =試求該周期信號(hào)的基波周期試求該周期信號(hào)的基波周期t，基波角頻率，基波角頻率，畫，畫出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解

31、 首先應(yīng)用三角公式改寫首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號(hào)的直流分量。是該信號(hào)的直流分量。34cos21t的周期的周期t1 = 8323cos41的周期的周期t2 = 6所以所以f(t)的周期的周期t = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/t = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 p= 323741212121122信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-292929頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜34cos21t是是f(t)的的/

32、4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：(a)(b)oan1264320a2141o33461232n1信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-303030頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：舉例：有一幅度為有一幅度為1，脈沖寬，脈沖寬度為度為 的周期矩形脈沖，其周的周期矩形脈沖，其周期為期為t，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。

33、 f(t)t0t-t122ttttftftttjntttjnnde1de)(1222222sinnnt令令sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)取樣函數(shù)） nntjnttjn)2sin(2e122信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-313131頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜)()2(tnsatnsatfn, n = 0 ,1，2， fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)t = 4畫圖。畫圖。零點(diǎn)為零點(diǎn)為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。fn022441特點(diǎn)特點(diǎn)： (1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波周

34、期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置性。譜線位置是基頻是基頻的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-323232頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) t一定，一定， 變小，此時(shí)變小，此時(shí) （譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：間的譜線數(shù)目： 1/ =（2 / ）/(2 /t)=t/ 增多。增多。(b) 一定，一定，t增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小。

35、減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期如果周期t無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過(guò)就過(guò)渡到非周期信號(hào)的渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。于無(wú)窮小。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-333333頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)三、周期信號(hào)的功率三、周期信號(hào)的功率parseval等式等式2222220111( )cos()2ttttnnnapft dtan tdt

36、tt 含義：含義：直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功電阻上消耗的平均功 率之和。率之和。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為012nfa22012nnff22011()22nnaa2|nnf0fn是 的偶函數(shù)表明：表明：對(duì)于周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)功率與在對(duì)于周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)功率與在 頻域中求得的信號(hào)功率相等。頻域中求得的信號(hào)功率相等。2cos()cos() cos()2nnnnn tm tn tmntmna 展開(kāi)式中具有形式的余弦項(xiàng)，其在一個(gè)周期內(nèi)的積分等于零；具有形式的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，其積分為零，當(dāng)時(shí)，其積分值為。信號(hào)

37、與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-343434頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號(hào)非周期信號(hào)f(t)可看成是周期可看成是周期t時(shí)的周期信號(hào)。時(shí)的周期信號(hào)。 前已指出當(dāng)周期前已指出當(dāng)周期t趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔 趨趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。間仍有差

38、別。 為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度頻譜密度的的概念。令概念。令 tftfjfntntlim/1lim)(單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 稱稱f(j)為頻譜密度函數(shù)為頻譜密度函數(shù)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-353535頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換22de)(tttjnnttftfntjnnttftf1e)(考慮到：考慮到：t，無(wú)窮小，記為無(wú)窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而2d21t同時(shí)，同時(shí)， 于是，于是，ttftfjftjntde)(

39、lim)(de)(21)(tjjftf傅里葉變換式傅里葉變換式“- -”傅里葉反變換式傅里葉反變換式“+”f(j)稱為稱為f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱頻譜頻譜。f(t)稱為稱為f(j)的的傅里葉反變換傅里葉反變換或或原函數(shù)原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-363636頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換也可簡(jiǎn)記為也可簡(jiǎn)記為 f(j) = f f(t) f(t) = f 1f(j)或或 f(t) f(j)f(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為一般是復(fù)函數(shù)，寫為 f(j) = |

40、 f(j)|e j () = r() + jx() 說(shuō)明：說(shuō)明： (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù) f(t)的傅里葉變換存在的的傅里葉變換存在的充分條件充分條件:ttfd)(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分dttff)()0(d)(21)0(jff信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-373737頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t(t)， 010tf(t)

41、jjtjftjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjftjttjt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-383838頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換3. 門函數(shù)門函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjfjjtj222/2/eede)()2sa()2sin(24. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路

42、與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-393939頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換5. 常數(shù)常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且滿足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所的傅里葉變換所形成的序列形成的序列fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅的傅里葉變換里葉變換f (j )為為)(lim)

43、(tftfnn)(lim)(jfjfnn這樣定義的傅里葉變換也稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-404040頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換構(gòu)造構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jf)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jfjf又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) ) 另一種求法另一種求法： (t)1(t)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將

44、tt，t-t- )(de21ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-414141頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案6. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-1)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjftfjjjft22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)00,e0,e)(tttftt構(gòu)造信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4

45、-4-4-424242頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換歸納記憶：1. f 變換對(duì)變換對(duì)2. 常用函數(shù)常用函數(shù) f 變換對(duì)：變換對(duì)：t域域域域tetfjftjd)()(d)(21)(tjejftf(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2sasgn (t) j2e |t|222 1 12()信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-434343頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)一、線性一、線性(linear property)proof:ttbftaft

46、jde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a1112()()af jbfj12( )( )af tbf tf f1212( )( )()()af tbftafjbfjthenif1122( )() ,( )()ftfjftfj信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-444444頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)for example f( j) = ?ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2sa() f( j) = 2() - - 2sa()- -信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電

47、子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-454545頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)二、奇偶性二、奇偶性(parity)if f(t) is real, thentttfjtttfttfjftjd)sin()(d)cos()(de)()()()(| )(|22xrjf)()(arctan)(rxso that(1) r()= r() , x() = x () |f(j)| = |f( j)| , () = ()(2) if f(t) = f(-t) ,then x() = 0, f(j) = r() if f(t) = -f(-t) ,then r() =

48、0, f(j) = jx()( )( )rjx信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-464646頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)三、對(duì)稱性三、對(duì)稱性(symmetrical property)if f (t) f(j) thenproof:de)(21)(tjjftf（1）in (1) t ，t thentjtfftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtfftjde)(21)( f( jt) 2f () endf( jt ) 2f ()信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-

49、474747頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)(scaling transform property)if f (t) f(j) then where “a” is a nonzero real constant.proof: f f (a t ) =teatftjd)(for a 0 ,f f (a t ) d1e)(afajatajfa1for a 0 ,f f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajfa1that is ,f (a t ) ajfa|1also,letting a = - -1,f (- t

50、) f( - -j) ajfaatf|1)(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-484848頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)for example 1given that f (t)f( j), find f (at b) ?ans: f (t b) e - -jb f( j)f (at b) ajfabaje|1orf (at) ajfa|1f (at b) =)(abtafajfeabaj|1信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-494949頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里

51、葉變換的性質(zhì)for example 2f(t) = f(j) = ?11jtans:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtusing symmetry,using scaling property with a = - -1,so that,信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-505050頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)for example f(j) = ?211)(ttfans:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11t* if2232)(22tttttff(j) = ?信號(hào)與系統(tǒng)信

52、號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-515151頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)五、時(shí)移性質(zhì)五、時(shí)移性質(zhì)(time shifting property)if f (t) f(j) thenwhere “t0” is real constant.)(e)(00jfttftjproof: f f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jftj信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-525252頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)for example f

53、(j) = ? f1(t) = g6(t-5) , f2(t) = g2(t-5) g6(t - 5) g2(t - 5) f(j) =5e)3sa(6j5e)sa(2j5e)sa(2)3sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468ans: f (t) = f1(t) + f2(t)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-535353頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)六、頻移性質(zhì)六、頻移性質(zhì)(frequency shifting property)if f (t) f(

54、j) thenproof:where “0” is real constant.f e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= f j(- -0) end)(e)(00tfjftjfor example 1f(t) = ej3t f(j) = ?ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-545454頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)for example 2f(t) = cos0t f(j) = ?ans:tjtjtf00e21e21)(f(j) = (+0

55、)+ (- -0)for example 3given that f(t) f(j) the modulated signal f(t) cos0t ? 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-555555頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)七、卷積定理七、卷積定理(convolution property)1、convolution in time domain：if f1(t) f1(j)， f2(t) f2(j)then f1(t)*f2(t) f1(j)f2(j)2、convolution in frequency domain

56、：if f1(t) f1(j)， f2(t) f2(j)then f1(t) f2(t) f1(j)*f2(j)21信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-565656頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)proof:d)()()(*)(2121tfftftf1212( )()ded( )()ed djtjtff ttff ttusing time shiftingjtjjfttfe)(de)(22so that,1221( )()ed()( )edjjffjfjf 12()()f jfj12( )*( )f tf tf f12( )*(

57、 )f tf tf f信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-575757頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)for example?)(sin2jfttans:)sa(2)(2tgusing symmetry,)(2)sa(22gt)()sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20f(j)2- -20信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-585858頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)八、時(shí)域的微分和積分八、時(shí)域的微分和

58、積分(differentiation and integration in time domain)if f (t) f(j) then )()()()(jfjtfnnjjffxxft)()()0(d)(ttfjffd)()()0(0proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n f(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjffjfj)()()0()(1)(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-595959頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)f(t)= 1/t2 ?for example 1ans:jt

59、2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-606060頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)for example 2given that f (t) f1(j)prooff (t) f1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjfjtttfjfjtttfftftproof)()()()(1)()(2)(1ffjfjfjfso)()()()(1)(1ffjfjjfsummar

60、y: if f (n)(t) fn(j)，and f(-)+ f() = 0 then f (t) f (j) = fn(j)/ (j)n信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第4-4-4-616161頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)for example 3f(t)2- -20t t2determine f (t) f (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)ans:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)f2(j)= f f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2co