初中幾何等腰三角形典型例題

1、初中幾何等腰三解形性質(zhì)及典型試題一. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：理解和掌握等腰三角形以下性質(zhì)：1. 等腰三角形軸對(duì)稱性質(zhì)；2. 等邊對(duì)等角；3. 三線合一。難點(diǎn)：1. 推導(dǎo)性質(zhì)。通過操作，觀察、分析、歸納得出等腰三角形性質(zhì)的過程。2. 應(yīng)用性質(zhì)。等腰三角形三線合一性質(zhì)的運(yùn)用，在解題思路上需要作一些轉(zhuǎn)換。二. 知識(shí)要點(diǎn)1. 等腰三角形的有關(guān)概念。首先要能根據(jù)邊的長(zhǎng)短識(shí)別和判斷等腰三角形；其次，能夠明確指出已知的等腰三角形的頂角、底角、腰和底邊。如圖，ABC中，若AB、BC、AC三邊中有其中兩邊相等，則ABC稱為等腰三角形。 （1）（2）（3）圖（1）中ABAC，圖（2）中ACBC，圖（3）中ABBC。相

2、等的兩邊稱為等腰三角形的腰，另一邊稱為等腰三角形的底邊；兩腰的夾角稱為等腰三角形的頂角，另外兩個(gè)角稱為等腰三角形的底角。你能指出上述三幅圖中的腰、底邊，頂角和底角嗎？2. 等腰三角形的軸對(duì)稱性。通過折紙操作認(rèn)識(shí)探索等腰三角形的軸對(duì)稱性。明確等腰三角形的對(duì)稱軸是等腰三角形頂角平分線所在的直線（不是頂角平分線本身）。根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念我們知道：如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫軸對(duì)稱圖形。如果在ABC中，ABAC，我們畫出頂角BAC的平分線AD，沿著AD對(duì)折ABC會(huì)發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？通過操作顯示出等腰ABC是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。它的對(duì)稱軸就是角平分線AD所在的直

3、線。（這里要注意到對(duì)稱軸的概念直線，而ABC的頂角平分線是一條線段即這里的折痕，不能把它們混為一談，同時(shí)也要把一般角的平分線射線與它們區(qū)別開）。3. 推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)。通過進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)、觀察、交流等活動(dòng)推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)，從而加深對(duì)軸對(duì)稱變換的認(rèn)識(shí)。 因?yàn)榈妊切问禽S對(duì)稱圖形，而圖形軸對(duì)稱變換是全等變換中的一種基本變換，所以如下圖，ABC中，若ABAC，AD是ABC的BAC的平分線，當(dāng)我們沿AD折疊時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)AD兩旁的ABD與ACD能夠重合即ABDACD。再根據(jù)全等的性質(zhì)可以得出一些對(duì)應(yīng)相等的邊、對(duì)應(yīng)相等的角。BC，BDACDA90°BDCD追根溯源來(lái)看這些相等的邊和相等的角是

4、由什么條件帶來(lái)的，就可以得出等腰三角形的性質(zhì)。4. 掌握等腰三角形的下列性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形三線合一。我們把在上述圖形中由等腰三角形ABAC這個(gè)條件出發(fā)，得出的角相等BC，這條性質(zhì)稱為等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（也稱為：同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角）。由等腰三角形ABAC和頂角平分線BADDAC這兩個(gè)條件出發(fā)，得出BDCD，BDACDA90°（即ADBC于D），這條性質(zhì)稱為等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱為等腰三角形三線合一。5. 會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理、判斷、計(jì)算和作圖。利用等腰三角形的性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意正確地表述

5、性質(zhì)的條件和結(jié)論。結(jié)合圖形我們可以這樣來(lái)表述：如下圖，ABC中，（1）ABAC，BC。（等腰三角形的兩底角相等。）（2）ABAC，BADDACBDCD且ADBC?；駻BAC，BDCDBADDAC且ADBC?；駻B=AC ，ADBCBADDAC且 BDCD。（等腰三角形三線合一）三、【典型例題】例題1. 如圖D在AC上，ABAC，ADDB，請(qǐng)指出圖中的等腰三角形，以及它們的腰、底邊、頂角及底角。分析：這里要根據(jù)條件來(lái)說(shuō)明圖形的名稱，而不是憑直觀和想象。相等的兩邊叫腰，另一邊叫底邊；兩腰的夾角叫頂角，另外的兩角叫底角。解：圖中的等腰三角形有：ABC和ADB。它們的腰、底邊、頂角、底角分別列表如下：

6、腰底邊頂角底角ABCAB、ACBCBACCBA， CADBAD、DBABBDABAD， ABD注意：在沒有明確三角形的具體條件的情況下，關(guān)于等腰三角形的有關(guān)概念（腰、頂角等）有多種可能的結(jié)果存在。如：ABC是等腰三角形，就有可能AB、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰，相應(yīng)的底邊、頂角、底角也都會(huì)發(fā)生變化。所以在敘述等腰三角形時(shí)，一般要明確指出相等的兩邊是哪兩邊。例2. 如下圖，在ABC中，ABAC，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且ADAE，AP是ABC的角平分線。點(diǎn)D、E關(guān)于AP對(duì)稱嗎？DE與BC平行嗎？說(shuō)明理由。分析：根據(jù)等腰三角形的軸對(duì)稱性研究下列問題：（1）將等腰ABC沿頂角平

7、分線折疊時(shí)，線段AD與AE能重合嗎？為什么？邊AB與AC呢？（2）AD與AE重合，AB與AC重合，說(shuō)明點(diǎn)D與點(diǎn)E，點(diǎn)B與點(diǎn)C分別有怎樣的位置關(guān)系？（3）軸對(duì)稱圖形有什么性質(zhì)？由此可推出AP與DE，BC有怎樣的位置關(guān)系？那么DE與BC呢？解：點(diǎn)D、E關(guān)于AP對(duì)稱，且DEBC。理由如下：因?yàn)锳P是BAC的平分線，ABAC，ADAE。則當(dāng)把圖形沿直線AP對(duì)折時(shí)，線段AB與AC重合，線段AD與AE重合，所以點(diǎn)B、C關(guān)于直線AP對(duì)稱，點(diǎn)D、E也關(guān)于直線AP對(duì)稱，所以BCAP，DEAP，所以DEBC。注意：這里AB與AC重合以及AD與AE重合的理由是：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在的直線是對(duì)稱軸。

8、例3. 在ABC中，ABAC， A50°，求B，C的度數(shù)分析： 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：兩底角相等。結(jié)合三角形的內(nèi)角和等于180°來(lái)計(jì)算。解：在ABC中，ABAC，BC（在一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角）ABC180°，A50°BC65°注意： 此題也可以用代數(shù)的方法（列方程）來(lái)解，其解題依據(jù)仍然是：等腰三角形的兩底角相等和三角形的內(nèi)角和為180°。例4. 已知線段a，h（如下圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BCa，BC邊上的高線為h。分析：（1）假設(shè)圖形已經(jīng)作出，BC長(zhǎng)已知，可以先作出BC邊，要作等腰三角形ABC，關(guān)鍵是要作出哪一個(gè)

9、點(diǎn)？（2）已知BC邊上的高的長(zhǎng)度為h，你能作出BC邊上的高線嗎？等腰三角形底邊上的高線與中線有什么關(guān)系？由此能確定頂點(diǎn)A的位置嗎？作法：如下圖。1. 作線段BCa。2. 作線段BC的垂直平分線l，交BC于點(diǎn)D. 3. 在直線l上截取DAh，連結(jié)AB，AC。則ABC就是所求的等腰三角形。注意：這里作圖的依據(jù)是：等腰三角形三線合一的性質(zhì)。更準(zhǔn)確地理解三線合一的性質(zhì)應(yīng)該是“把等腰、底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線作為四個(gè)元素，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素作為結(jié)論”。例5. 已知在ABC中，ABAC，直線AE交BC于點(diǎn)D，O是AE上一動(dòng)點(diǎn)但不與A重合，且OBOC，試猜想AE

10、與BC的關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想的理由。猜想：AEBC，BDCD說(shuō)理：ABAC(已知)OBOC(已知)AOAO（公共邊）ABOACO（SSS）BAOCAOAEBC，BDCD（等腰三角形底邊上中線，底邊上高線與頂角平分線互相重合）注意：等腰三角形的三線合一的性質(zhì)其本質(zhì)是等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。而軸對(duì)稱又是全等變換中的基本形式，因此常用全等來(lái)研究等腰三角形中的問題。例6. 探索：等腰三角形兩底角的平分線大小關(guān)系。已知：如圖，在ABC中，ABAC，BD、CE分別是兩底角的平分線。猜想：BDCE.解：ABAC（已知）， ABCACB （在一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角）BD、CE分別是兩底角的平分線（已知）DBC

11、ABC，ECBACB （角平分線的定義）DBCECB，在DBC和ECB中DBCECB，BCCB（公共邊），ABCACB ， DBCECB（ASA）BDCE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）注意：等腰三角形除了頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高以外，還有其他一些相關(guān)的線段，探索它們之間的關(guān)系也屬于等腰三角形性質(zhì)的一部分，此例就是所做的一種探索，按照這種思路大家還可以對(duì)其他線段進(jìn)行探索。課后反思：認(rèn)識(shí)等腰三角形并不困難，但要正確表述卻不容易。特別是等腰三角形三線合一的性質(zhì)的應(yīng)用，很容易只給出一個(gè)條件，就得出結(jié)論。應(yīng)用等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行說(shuō)理正確的表述格式如下：在ABC中，如下圖，ABACBC（在一個(gè)三角形中

12、等邊對(duì)等角）在ABC中，如下圖（1）ABAC ，12ADBC，BDDC （等腰三角形三線合一）（2）ABAC，BDDC ADBC，12（等腰三角形三線合一）（3）ABAC，ADBCBDDC，12（等腰三角形三線合一）【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）一. 填空：在ABC中，ABAC，D在BC上，1. 如果ADBC，那么BAD_，BD_。2. 如果BADCAD，BC= 6cm， 那么BDA_°，BD_cm。3. 如果BDCD，那么BAD_，AD_。4. 如果B80°，那么BAC 5. 在ABC中，ABAC，BAC40°，M是BC的中點(diǎn)，那么AMC ， BAM 6.

13、如下圖，在ABC中，ABAC，DAC是ABC的外角。 則：BAC180° B，B（ ）DAC C。7. 如下圖，在ABC中，ABAC，外角DCA100°，則B °8. 如果等腰三角形有兩邊的長(zhǎng)分別為12cm，5cm，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是 cm。二. 解答題1. 請(qǐng)寫出周長(zhǎng)為8cm，且邊長(zhǎng)均為整數(shù)的等腰三角形的各邊長(zhǎng)。2. 在等腰三角形ABC中，ABAC，周長(zhǎng)為14cm，AC邊上的中線BD把ABC分成了周長(zhǎng)差為4cm的兩個(gè)三角形，求ABC各邊長(zhǎng)。3. 一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為41，求這個(gè)三角形各角度數(shù)。4. 如圖已知ABAC，BDDC，AE平分CAF，試判斷

14、AE與AD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由?！驹囶}答案】一. 填空1. CAD， CD 2. 90，3 3. CAD，BC 4. 20°5. 90°，20°； 6. 2180°BAC27. 80° 8. 29二. 解答題1. 解：等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，3，3（C）2. 解：如圖，設(shè)AD，則DC，AB2。設(shè)BC。由題意可以列方程：解之得：x = 3，y =2 或 解之得：x = 5/3 ，y = 22/3顯然第二種情況不符合“三角形兩邊之和大于第三邊”，所以舍去。所以ABC的三邊長(zhǎng)分別為：ABAC 2x =6 cm，BCy = 2cm.3. 解：ABC中ABAC，所以CB若BACB 41則：BACBC6B180°所