導(dǎo)數(shù)的運算(二)

1、2-3一、隱函數(shù)的一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法四、高階導(dǎo)數(shù)四、高階導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 1、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則：、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則：).0)()()()()()()()( ) 3();()()()( )()( ) 2();()( )()( ) 1 (2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu2 2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)在點則復(fù)合函數(shù)處可導(dǎo)在而可導(dǎo)在點如果函數(shù),)(,)(,)(xxfyuufyxxuxuxuyy2-2 導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的運算(二）

2、二）012 yx12xy.),(顯函數(shù)xfy 0),( yxf隱函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化 我們所遇到的函數(shù)大都是一個變量明我們所遇到的函數(shù)大都是一個變量明顯用另一個變量表示的形式顯用另一個變量表示的形式-y = f(x),這種形式稱為顯函數(shù)這種形式稱為顯函數(shù). .0,33yyxexyyx定義定義: :.)(0),(稱為隱函數(shù)所確定的函數(shù)由方程xyyyxf0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?對于這樣的函數(shù)例如例如,122xyx數(shù)是由方程形式給出的.但這個函對于對于,的函數(shù)也是 xy隱函數(shù)的求導(dǎo)

3、法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)一般可用隱函數(shù)一般可用f(x,y)=0表示表示.現(xiàn)在的問題是通過現(xiàn)在的問題是通過方程方程f(x,y)=0確定了確定了y是是x的函數(shù)，如何來的函數(shù)，如何來求求 y的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).容易看出：容易看出：“先將形式隱函數(shù)顯化，然后再求導(dǎo)先將形式隱函數(shù)顯化，然后再求導(dǎo)”不是一個好的辦法，因為將隱函數(shù)顯化，即將其變不是一個好的辦法，因為將隱函數(shù)顯化，即將其變成顯函數(shù)形式一般是非常困難的，甚至是不可能的成顯函數(shù)形式一般是非常困難的，甚至是不可能的. 對于隱函數(shù)求導(dǎo)，可以采用這樣的方法：對于隱函數(shù)求導(dǎo)，可以采用這樣的方法：首先在等首先在等式兩邊對式兩邊對x求導(dǎo)，遇到求導(dǎo)，遇到 y 時將

4、其認(rèn)作中間變量，利用時將其認(rèn)作中間變量，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到含復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到含的方程，解出的方程，解出即可即可. .例例1 設(shè)設(shè)y=y(x)由由 確定，求確定，求 .xyyx2ey解解 兩邊對兩邊對x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得，2eyxyyyx解方程得解方程得.2eyxyyx隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo). . 例例2 求隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)yxye2.|0 xyy及, 2e yxy若注意到解解，yxyyyee.e1e yyxy 從而.3e)2(1e yyyyy也可得.e| 2e2020 xyy，yxy，x于是可解

5、得由時例例3 3.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 xxy解得解得,xeyedxdyyx, 0, 0 yx由原方程知由原方程知000yxyxxxeyedxdy. 1 dxdyxeyedxdy0解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 x解得解得)cos(1)cos(yxyxy例例4 4 求由方程求由方程)sin(yxy所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù) y)cos(yx)1 (y)cos()cos(yxyyxy 解：解：,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線

6、方程為所求切線方程為)23(23 xy2323 xy法法線線方方程程為為yxyyyx22.)23,23(,333 的切線方程和法線方程的切線方程和法線方程點點上上求過求過的方程為的方程為例例5 設(shè)曲線設(shè)曲線cxyyxc 即即 y = x即即 x + y 3 = 0 例例6 求橢圓曲線求橢圓曲線 處的切線方處的切線方程程 和法線方程和法線方程.)2, 1 (14222上點yx解解，021yyx,2yxy切線斜率切線斜率, 222|)2, 1 (1 yk法線斜率法線斜率.22112kk所以切線方程為所以切線方程為. 222 ),1(22xyxy即法線方程為法線方程為. 2222 ),1(222xy

7、xy即2-2 導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的運算(二）二）選學(xué)內(nèi)容選學(xué)內(nèi)容對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 在求導(dǎo)運算中，常會遇到下列兩類函在求導(dǎo)運算中，常會遇到下列兩類函數(shù)的求導(dǎo)問題，一類是冪指函數(shù)，即形如數(shù)的求導(dǎo)問題，一類是冪指函數(shù)，即形如 的函數(shù)，還有一類是一系列函數(shù)的函數(shù)，還有一類是一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù).)()(xgxf 所謂所謂對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法，就是在，就是在 y=f(x) 的兩的兩邊分別取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)邊分別取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)的方法的方法.觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: : 先在方

8、程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù)，將連乘積、商將連乘積、商函數(shù)或冪指函數(shù)簡化為和差函數(shù)，然后利函數(shù)或冪指函數(shù)簡化為和差函數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù). .適用范圍適用范圍: :解解用對數(shù)求導(dǎo)法，則兩邊分別取對數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法，則兩邊分別取對數(shù). )(sinyxyx，求設(shè) .sin ln )ln(sin ln xxxyx所以所以).cotsin(ln)(sin )cotsin(lnxxxxxxxyyx兩邊對兩邊對x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得,cossin1sinln1xxxxyy例例1,cotsinln1xxxyy例例2 2解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對

9、數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 例例3 3解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 xy.,)4(1) 1(23yexxxyx求設(shè)142) 1(3111xxxy解解等式兩邊取自然對數(shù)得等式兩邊取自然對數(shù)得xxylnlnln求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對對 xy1)ln1ln(lnxxyyxlnln例例4.設(shè)

10、設(shè)xxyln，求，求y xxln1x1)ln1ln(ln)(lnxxxx=2-2 導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的運算(二）二）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則若將由參數(shù)方程若將由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)看成復(fù)合函所確定的函數(shù)看成復(fù)合函 數(shù)：數(shù)： ，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：)()(tytx)(),(1xttx.ddddddxttyxy這就是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則這就是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則.).0)( )()(dddddd1ddttttxtytxty例例1 設(shè),sin,cos33taytax解解txtyxydddddd.ddxy求例例2

11、設(shè),sine,cosetytxtt解解txtyxydddddd.ddxy求)sin(ecosecosesinetttttttt . sincos cossintttt 例例3 求曲線 在t=e處的切線方程和法線方程.ttyttx2ln,ln解解txtyxydddddd.231121dd1etxyk所以切線斜率當(dāng)當(dāng)t=e時，時，x=e，y=e.法線斜率. 32112kk.1lnln2ln1ln1ln2ln22tttttttttt故切線方程為. 2e23 ),e(23exyxy即法線方程為. e 3532 ),e(32exyxy即例例 4設(shè)參數(shù)方程設(shè)參數(shù)方程 tbytaxsincos ， ( (橢

12、圓方程橢圓方程) )確確定了函數(shù)定了函數(shù) y = y(x)，.ddxy求求解解所以所以.cotsincosddtabtatbxytbdtdycostadtdxsintadtdysin 例例 5求擺線求擺線 (a 為常數(shù)為常數(shù)) 在對應(yīng)于在對應(yīng)于 時曲線上點的切線方程時曲線上點的切線方程 .)cos1 ( )sin(tayttax，3 t3 t解解 與與 對應(yīng)的曲線上的點為對應(yīng)的曲線上的點為 ,21,233 aap)cos1 (tadtdx所以所以. 3dd,cos1sindd3 txyttxy點點 p 處的切線方程為處的切線方程為aaxay2333212-2 導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的運算(二）二） 我

13、們把函數(shù)我們把函數(shù) y f(x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) y f (x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(如果如果可導(dǎo)可導(dǎo))叫做函數(shù)叫做函數(shù) y f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 記作記作 y、f (x)或22dxyd 即 y(y) f (x)f (x) 或)(22dxdydxddxyd 類似地類似地 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù) 三階導(dǎo)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù); ; 一般地一般地 (n 1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做叫做n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 分別記作分別記作 y y (4) y (n) 或33dxyd 44dxyd nndxyd v高階導(dǎo)數(shù)的定義相應(yīng)地，稱相應(yīng)地，稱 為一階導(dǎo)數(shù)為

14、一階導(dǎo)數(shù).)(xf 若若y=f(x)的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 存在，存在，)()(xfn 變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度a a是位移函數(shù)是位移函數(shù) s=s(t) 對時間對時間 t 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的物理意義二階導(dǎo)數(shù)的物理意義:avs )()(),()1(xfxfxfn ，都存在都存在. 則稱則稱 y=f(x) n階階二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).可導(dǎo)，此時意味著可導(dǎo)，此時意味著解：本題是求解：本題是求 y 在點在點 x=e 處的二階導(dǎo)數(shù)值，即處的二階導(dǎo)數(shù)值，即 是是 y 的二階導(dǎo)函數(shù)在的二階導(dǎo)函數(shù)在 x=e 處的函數(shù)值。處的函數(shù)值。 例例1

15、1 yaxb 求y ya 解 y0 例例2因為因為所以所以例例3 3 已知一質(zhì)點的運動方程是已知一質(zhì)點的運動方程是)64sin(3ts則該質(zhì)點運動的加速度則該質(zhì)點運動的加速度a是是_4)64sin(12tva解解=. e23yxyx ，求練習(xí)練習(xí) 1. 設(shè)設(shè)解解1. )66(e)32(2e22232xxxxyxx. )6124(e232xxxx21.yxxy ，求求2. 設(shè)設(shè). e23yxyx ，求練習(xí)練習(xí) 1. 設(shè)設(shè)解解2.21.yxxy ，求求2. 設(shè)設(shè)xxxxy2121122.11222xx12121) 12(142222xxxxxxy2/3222) 1() 12() 1(4xxxxx.

16、) 1(322/323xxx選學(xué)內(nèi)容選學(xué)內(nèi)容例例1 1.),()(nyrxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 .,)(22110nnnnnyaxaxaxay求 例例2 設(shè)解解,)2() 1(1322110 nnnnaxanxanxnay,2)3)(2( )2)(1() 1(2423120 nnnnaxannxannxanny.!0)(anyn. 0, ,)(kynk時當(dāng)容易看出,23)4)(3)(2( )3)(2)(1()

17、2)(1(3524130 nnnnaxannnxannnxannn y .sin)(nyxy，求例例3 設(shè)設(shè)求求n階導(dǎo)數(shù)時，通常的方法是先求出一階、二階、階導(dǎo)數(shù)時，通常的方法是先求出一階、二階、三階等導(dǎo)數(shù)，從中歸納出三階等導(dǎo)數(shù)，從中歸納出n階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式.因此，求因此，求 n 階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于從各階導(dǎo)數(shù)中尋找共有的規(guī)律階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于從各階導(dǎo)數(shù)中尋找共有的規(guī)律.解解:),2sin(cosxxy),22sin( )22sin()2cos( xxxy),23sin( )222sin()22cos( xxxy所以所以. )2sin()(nxyn例例4 4.),1ln()(nyxy求求設(shè)

18、設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 34)1 (! 2)1 ()1 (210 xxxy 462)4()1 (! 3)1 ()1 ( 3! 20 xxxy)1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明)程。處的切線方程和法線方，上一點、求橢圓)231 (134122pyx.122yxyx，求）（、設(shè)0231241yyx解：求導(dǎo)：yxy432123413切的切線斜率為點kp2法法線的斜率k) 1(2123xy切線方程為：) 1(223xy法線方程為：程。處的切線方程和法線方，上一點、求橢圓)231 (134122pyx解：等式兩邊同時取自然對數(shù)：解：等式兩邊同時取自然對數(shù)：xxy)1ln(ln2)1ln(2xxxxxxxyy211)1ln(21122