632函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性

1、問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出問(wèn)題問(wèn)題: :6.3.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及一致收斂性解解,)(nnxxs 且且得和函數(shù)：得和函數(shù)：該級(jí)數(shù)每一項(xiàng)都在該級(jí)數(shù)每一項(xiàng)都在0,1是連續(xù)的，是連續(xù)的， . 1, 1, 10, 0)(lim)(xxxsxsnn.1)(處間斷處間斷在在和函數(shù)和函數(shù) xxs例考察函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例考察函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx和函數(shù)的連續(xù)性和函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論結(jié)論 對(duì)對(duì)什什么么級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，能能從從每每一一項(xiàng)項(xiàng)的的連連續(xù)續(xù)性性得得出出和和函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性，從從每每一一項(xiàng)項(xiàng)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)之之和和得得出出原原來(lái)來(lái)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和

2、和函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分呢呢？問(wèn)題問(wèn)題一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性定義定義 只要只要n充分大充分大)(nn ,在區(qū)間在區(qū)間i上所有曲上所有曲線線)(xsyn 將位于曲線將位于曲線 )(xsy與與 )(xsy之間之間.xyoi )(xsy )(xsy)(xsy )(xsyn 幾何解釋幾何解釋: :研究例研究例1中的級(jí)數(shù)中的級(jí)數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx在區(qū)間在區(qū)間( 0 , 1）內(nèi)的一致收斂性）內(nèi)的一致收斂性.解解對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù),n取取nnx21 ，于是，于是,21)( nnnnxxs, 0)( nxs但但.21)()()(

3、nnnnnxsxsxr從而從而只要取只要取21 ，不論，不論n多么大，在多么大，在(0,1)總存在總存在點(diǎn)點(diǎn)nx，,)( nnxr使得使得因此級(jí)數(shù)在因此級(jí)數(shù)在( 0, 1 )內(nèi)不一致連續(xù)內(nèi)不一致連續(xù)說(shuō)明說(shuō)明: :從下圖可以看出從下圖可以看出:但但雖然函數(shù)序列雖然函數(shù)序列nnxxs )(在在( 0, 1 )內(nèi)處處內(nèi)處處,0)( xs)(xsn在在( 0, 1 )內(nèi)各點(diǎn)處收內(nèi)各點(diǎn)處收收斂于收斂于斂于零的斂于零的“快慢快慢”程度是不一致的程度是不一致的oxy(1,1)nnxxsy )(1 n2 n4 n10 n30 n1一致收斂一致收斂上上，這級(jí)數(shù)在，這級(jí)數(shù)在注意：對(duì)于任意正數(shù)注意：對(duì)于任意正數(shù),

4、01rr 小結(jié)小結(jié)一致收斂性與所討論的區(qū)間有關(guān)一致收斂性與所討論的區(qū)間有關(guān)定理（維爾斯特拉斯定理（維爾斯特拉斯(weierstrass(weierstrass) )判別法）判別法）如如果果函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在區(qū)區(qū)間間i上上滿滿足足條條件件: :(1)(1) )3 , 2 , 1()( naxunn; ;(2) (2) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nna收斂收斂, ,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間i上一致收斂上一致收斂. .一致收斂性簡(jiǎn)便的判別法：一致收斂性簡(jiǎn)便的判別法：證證在在),(內(nèi)內(nèi)), 3 , 2 , 1(1sin222 nnnxn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 121nn

5、收收斂斂，由由魏魏爾爾斯斯特特拉拉斯斯判判別別法法，所給級(jí)數(shù)在所給級(jí)數(shù)在),( 內(nèi)一致收斂?jī)?nèi)一致收斂例例證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) 22222sin22sin1sinnxnxx在在),( 上一致收斂上一致收斂.二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)定理定理1 1 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1)(nnxu的各項(xiàng)的各項(xiàng))(xun在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上都連續(xù)上都連續(xù), ,且且 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上一上一致收斂于致收斂于)(xs, ,則則)(xs在在 ba, 上也連續(xù)上也連續(xù). .定理定理2 2 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1)(nnxu的各項(xiàng)的各項(xiàng))(xun在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上都連續(xù)上都連

6、續(xù), ,且且 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上一上一致收斂于致收斂于)(xs, ,則則)(xs在在 ba, 上可以逐項(xiàng)積分上可以逐項(xiàng)積分, ,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其 中中bxxa 0, , 并并 且且上上 式式 右右 端端的的 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 在在 ba, 上上也也一一致致收收斂斂. .(4)定理定理3 3 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上收斂上收斂于和于和)(xs，它的各項(xiàng)，它的各項(xiàng))(xun都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù))(xun ，并且級(jí)數(shù)，并且級(jí)數(shù) 1)(nnxu在在 ba, 上一致收斂，上一致收斂，則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1)(nnxu在在 ba, 上也一致收斂，且可逐上也一致收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即項(xiàng)求導(dǎo)，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)注意注意: :級(jí)數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo)級(jí)數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).例如，級(jí)數(shù)例如，級(jí)數(shù) 22222sin22sin1sinnxnxx在任何區(qū)間在任何區(qū)間,ba上都是一致收斂的上都是一致收斂的.逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級(jí)數(shù),cos2coscos22 xnxx.,發(fā)散的發(fā)散的都是都是所以對(duì)于任意值所以對(duì)于任意值因其一般