第三節(jié)數(shù)量積及應用舉例

1、第三節(jié)第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用舉例向量的應用舉例基礎梳理基礎梳理|a a|b b|cos |a a|b b|cos 1. 平面向量的數(shù)量積(1)平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a a和b b,它們的夾角為,把數(shù)量 叫做a a和b b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab= ,并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 .0 |a a|cos (2)a a在b b方向上的投影設為兩個非零向量a a,b b的夾角，則 叫做a a在b b方向上的投影.b b在a a方向上的投影 （3）a ab b的幾何意義數(shù)量積a ab b等于a a的長度|a|與 |b b|cos的乘

2、積.|a a|cos 0 |a a|b b| a ba b2. 向量的數(shù)量積的性質(zhì)設a a,b b都是非零向量,e e是與b b方向相同的單位向量,是a a與e e的夾角,則(1)e ea a=a ae e= .(2)a ab ba ab b= .(3)當a a與b b同向時,a ab b= .當a a與b b反向時,a ab b= .特別地:a aa a=a a2=|a a|2或|a a|= .(4)|a ab b| |a a|b b|.(5)cosa a,b b= .a a-|a a|b b| b ba a a a(b b) (a ab b)3. 向量數(shù)量積的運算律(1)a ab b= (

3、交換律);(2)(a a)b b= = (數(shù)乘結合律);(3)(a a+b b)c c= (分配律).a ac c+b bc c 聯(lián)系 向量問題 向量運算 幾何關系 x1x2+y1y2 2211xy 2222xy x1x2+y1y2 =0121222221122x xy yxyxy 4. 平面向量數(shù)量積的坐標表示a a=(x1,y1),b b=(x2,y2).(1)a ab b= ；(2)|a a|= ,|b b|= ;(3)a ab b ; (4)若a a與b b夾角為,則cos=(5)若a(x1,y1)，b（x2,y2）,則a、b兩點間的距離為|ab|= .5. 平面向量在平面幾何中的應用

4、用向量方法解決幾何問題一般分四步:(1)選好基向量；(2)建立平面幾何與向量的 ,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為 ;(3)通過 研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;(4)把運算結果“翻譯”成 .222121()()xxyy 3. （2011嘉興模擬）向量a a的模為10，它與x軸的夾角為150，則它在x軸上的投影為 . 基礎達標基礎達標1. （教材改編題）邊長為2的等邊三角形abc中，abbc的值為 .2. （教材改編題）設向量a a=(4,5)，b b=(-1,0),則向量a a+b b與a a-b b的夾角的余弦值為 .-2 4 17175 3 1.解析：|c

5、os1202abbcabbc 2.解析：ab(3,5)，ab(5,5)，cosab，ab4 17174. 如圖，在平行四邊形abcd中，ac=(1,2)，bd=(-3,2),則adac= .3 3.解析：a在x軸上的投影為|a|cos 15010 .5 3 324.解析：令 則a(2,0)，b(1,2)，所以 b(ab)3.,aba adb ad ac 5. (教材改編題)已知a a=(1,6),b b=(2,k),若a ab b,k= ;若a ab b，則k= . 12 13 解析：若ab，則1k620，k12.若ab，則ab0，126k0，k .13 經(jīng)典例題經(jīng)典例題題型一題型一 平面向量

6、的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積【例1】已知a a,b b是非零向量.（1）若a ab b，判斷函數(shù)f(x)=(x a a+b b)(x b b-a a)的奇偶性；（2）若f(x)為奇函數(shù)，證明：a ab b. 解：（1）f(x)=x2a ab b+(b b2-a a2)x-a ab b,a ab b,a ab b=0，f(x)=(b b2-a a2)x.當|a a|b b|時，f(x)為奇函數(shù)；當|a a|=|b b|時，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)對于xr恒成立，所以f(0)=0,即-a ab b=0,又a a,b b是非零向量，故a ab

7、b.變式變式1-11-1已知向量a a=(cosx,sinx),b b=(3,-1),且f(x)=a ab b，求f(x)的最大值. 解：f(x)=a ab b= cosx-sinx=2（ cosx- sinx）,f(x)=2sin（ -x）,f(x)max=2.332123 題型二題型二 模與垂直問題模與垂直問題【例2】（2010廣東改編）已知向量a a=(1,1)，b b=(2，5)， c c=(3，x).(1)若|2a a+b b-c c|=1,求實數(shù)x的值；(2)若(8a a-b b)c c，求實數(shù)x的值. 解：(1)2a a+b b-c c=2(1,1)+(2,5)-(3,x)=(1

8、,7-x).又|2a a+b b-c c|=1, ,(7-x)2=0,x=7.(2)8a a-b b=8(1,1)-(2,5)=(6,3).由(8a a-b b)c c,得18+3x=0,x=-6.2(1(7)1x 變式變式2-12-1已知|a a|=4,|b b|=8,a a與b b的夾角是120.(1)計算|a a+b b|,|4a a-2b b|;(2)k為何值時，(a a+2b b)(ka a-b b)? 解：由已知,a ab b=48-（ ）=-16.(1)|a a+b b|2=a a2+2a ab b+b b2=16+2(-16)+64=48,|a a+b b|= .|4a a-2

9、b b|2=16a a2-16a ab b+4b b2=1616-16(-16)+464=3162,|4a a-2b b|= .(2)若(a a+2b b)(ka a-b b),則(a a+2b b)(ka a-b b)=0,ka a2+(2k-1)a ab b-2b b2=0,即16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.4 316 312題型三題型三 夾角問題夾角問題【例3】（2011臺州模擬）在abc中，滿足abac，m是bc的中點. 若|ab|=|ac|，求向量ab+2ac與2ab+ac的夾角的余弦值. 解：設向量ab+2ac與向量2ab+ac的夾角為，|ab|=|ac|=a,ab

10、ac,|ab|=|ac|,(ab+2ac)(2ab+ac)=2ab2+5abac+2ac2=4a2,|ab+2ac|= ,同理可得|2ab+ac|= ,cos=2(2)abac 22445abab acaca 5a22(2) (2)445522abacabacaaabacabac 變式變式3-13-1(2011北京模擬)已知非零向量a a,b b滿足|a a|=2|b b|,且b b(a a+b b),求向量a a,b b的夾角a a,b b.解：|a a|=2|b b|,b b(a a+b b), b ba a+b b2=0,a ab b=-|b b|2.又cosa,b=又a,b0,a,b=

11、 .2122ba ba bb b 23 易錯警示易錯警示【例】已知a a,b b均為單位向量，且a ab b,若向量a a+b b與a a+2b b的夾角為鈍角，求的取值范圍.錯解：|a a|=|b b|=1,a ab b=0,(a a+b b)(a a+2b b)=a a2+(2+2)a ab b+2b b2=+2=3.又a a+b b與a a+2b b的夾角為鈍角，(a a+b b)(a a+2b b)0,30,0.錯解分析 cosa,b0a,b ,本題中a a+b b,a a+2b b為鈍角，故須a a+b b,a a+2b b=時的的值舍去.(, 2 正解：a a+b b與a a+2b

12、 b的夾角為鈍角，(a a+b b)(a a+2b b)0,即0,且 , .綜上，的取值范圍為(-,- )(- ,0).12 222鏈接高考鏈接高考 1. （2010天津）如圖，在abc中，adab,bc= bd,|ad|=1,則acad=( )a.2 b. c. d. b.知識準備: 1. 平面向量的數(shù)量積公式; 2. 基底向量表示目標向量. 33333321. d解析：由圖可得：acad=(ab+bc)ad=abad+bcad=0+ bdad= (ba+ad)ad= |ad|2= .33332. （2010安徽）設向量a a=(1,0)，b b=（ , ）,則下列結論中正確的是( )a. |a a|=|b b| b. a ab b= c. a a-b b與b b垂直 d. a ab b知識準備: 1. 向量