【人教A版】高中數(shù)學選修11同步輔導與檢測 章末評估驗收(三)

1、高中數(shù)學選修精品教學資料 章末評估驗收(三) (時間：時間：120 分鐘分鐘 滿分：滿分：150 分分) 一、選擇題一、選擇題(本大題共本大題共 12 小題小題,每小題每小題 5 分分,共共 60 分在每小題給分在每小題給出的四個選項中出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的只有一項是符合題目要求的) 1已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)可導可導,則則 f（1x）f（1）x等于等于( ) af(1) b不存在不存在 c.13f(1) d以上都不對以上都不對 解析：解析： f（1x）f（1）x f（1x）f（1）1x1f(1) 答案：答案：a 2曲線曲線 yf(x)x33x21 在點在點(2,3)處的切

2、線方程為處的切線方程為( ) ay3x3 by3x1 cy3 dx2 解析：解析：因為因為 yf(x)3x26x, ,則曲線則曲線 yx33x21 在點在點(2, ,3)處的切線的斜率處的切線的斜率 kf(2)322620, ,所以切線方程為所以切線方程為 y(3)0(x2), ,即即 y3. 答案：答案：c 3函數(shù)函數(shù) f(x)x33x1 的單調遞減區(qū)間是的單調遞減區(qū)間是( ) a(1,2) b(1,1) c(,1) d(,1),(1,) 解析：解析：f(x)3x23, ,由由 f(x)0, ,可得可得1x1. 答案：答案：b 4函數(shù)函數(shù) f(x)x3ax23x9,在在 x3 時取得極值時取

3、得極值,則則 a 等于等于( ) a2 b3 c4 d5 解析：解析：f(x)3x22ax3.由由 f(x)在在 x3 時取得極值時取得極值, ,即即 f(3)0, ,即即 276a30, ,所以所以 a5. 答案：答案：d 5觀察觀察(x2)2x,(x4)4x3,(cos x)sin x,歸納可得：若定義歸納可得：若定義在在 r 上的函數(shù)上的函數(shù) f(x)滿足滿足 f(x)f(x),記記 g(x)為為 f(x)的導函數(shù)的導函數(shù),則則 g(x)( ) af(x) bf(x) cg(x) dg(x) 解析：解析：觀察可知觀察可知, ,偶函數(shù)偶函數(shù) f(x)的導函數(shù)的導函數(shù) g(x)是奇函數(shù)是奇函

4、數(shù), ,所以所以 g(x)g(x) 答案：答案：d 6若函數(shù)若函數(shù) f(x)13x3f(1)x2x,則則 f(1)的值為的值為( ) a0 b2 c1 d1 解析：解析：f(x)x22f(1)x1, , 則則 f(1)122f(1)11, ,解得解得 f(1)0. 答案：答案：a 7 某商場從生產某商場從生產廠家以每件廠家以每件 20 元的價格購進一批商品元的價格購進一批商品 設該商設該商品零售價定為品零售價定為 p 元元,銷售量為銷售量為 q 件件,且且 q 與與 p 有如下關系：有如下關系：q8 300170pp2,則最大毛利潤為則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進貨支出毛利潤銷售收入進貨支出

5、)( ) a30 元元 b60 元元 c28 000 元元 d23 000 元元 解析：解析： 設毛利潤為設毛利潤為 l(p)元元, ,由題意知由題意知 l(p)pq20qq(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150 p211 700 p166 000, ,所所以以 l(p)3p2300p11 700.令令 l(p)0, ,解得解得 p30 或或 p130(舍去舍去)當當 20p30 時時, ,l(p)0, ,l(p)為增函數(shù)；當為增函數(shù)；當 p30時時, ,l(p)0, ,l(p)為減函數(shù)為減函數(shù), ,故故 p30 為為 l(p)的極大值點的極大值點, ,也是最大也是最大值點值

6、點, ,此時此時 l(30)23 000, ,即最大毛利潤為即最大毛利潤為 23 000 元元 答案：答案：d 8設函數(shù)設函數(shù) f(x)13xln x(x0),則則 yf(x)( ) a在區(qū)間在區(qū)間 1e，1 (1,e)內均有零點內均有零點 b在區(qū)間在區(qū)間 1e，1 (1,e)內均無零點內均無零點 c在區(qū)間在區(qū)間 1e，1 內無零點內無零點,在區(qū)間在區(qū)間(1,e)內有零點內有零點 d在區(qū)間在區(qū)間 1e，1 內有零點內有零點,在區(qū)間在區(qū)間(1,e)內無零點內無零點 解析：解析：由題意得由題意得 f(x)x33x, ,令令 f(x)0 得得 x3；令；令 f(x)0得得 0 x3；f(x)0 得得

7、 x3, ,故知函數(shù)故知函數(shù) f(x)在區(qū)間在區(qū)間(0, ,3)上為減函數(shù)上為減函數(shù), ,在區(qū)間在區(qū)間(3, ,)為增函數(shù)為增函數(shù), ,在點在點 x3 處有極小處有極小值值 1ln 30；又；又 f(1)130, ,f(e)e310, ,f 1e13e10. 答案：答案：c 9 設設 f(x),g(x)是是 r 上的可上的可導函數(shù)導函數(shù),f(x),g(x)分別為分別為 f(x),g(x)的導的導函數(shù)函數(shù),且且 f(x)g(x)f(x)g(x)0,則當則當 axf(b)g(x) bf(x)g(a)f(a)g(x) cf(x)g(x)f(b)g(b) df(x)g(x)f(a)g(a) 解析：解析

8、：因為因為f(x)g(x)f(x)g(x)g(x) f(x)0, ,所以函數(shù)所以函數(shù) yf(x)g(x)是減是減函數(shù)函數(shù)所以當所以當 axf(x)g(x)f(b)g(b)故選故選 c. 答案：答案：c 10函數(shù)函數(shù) yx22sin x 的圖象大致是的圖象大致是( ) a b c d 解析：解析：y122cos x, ,令令 y0, ,解得解得 cos x14, ,根據(jù)三角函數(shù)的知根據(jù)三角函數(shù)的知識可知此方程有無窮多個解識可知此方程有無窮多個解, ,即函數(shù)即函數(shù) yx22sin x 有無窮多個極值點有無窮多個極值點, ,又函數(shù)又函數(shù) yx22sin x 是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,所以圖象關于坐標原點

9、對稱所以圖象關于坐標原點對稱, ,故選故選 c. 答案：答案：c 11對任意的對任意的 xr,函數(shù)函數(shù) f(x)x3ax27ax 不存在極值點的充不存在極值點的充要條件是要條件是( ) a0a21 ba0 或或 a7 ca0 或或 a21 da0 或或 a21 解析解析：f(x)3x22ax7a, ,令令 f(x)0, ,即即 3x22ax7a0, ,對對于此方程于此方程, ,4a284a, ,當當0, ,即即 0a21 時時, ,f(x)0 恒成立恒成立, ,函數(shù)不存在極值點函數(shù)不存在極值點 答案：答案：a 12 若若 a0,b0,且函數(shù)且函數(shù) f(x)4x3ax22bx2 在在 x1 處有

10、極處有極值值,則則 ab 的最大值等于的最大值等于( ) a2 b3 c6 d9 解析：解析：函數(shù)的導數(shù)為函數(shù)的導數(shù)為 f(x)12x22ax2b, ,由函數(shù)由函數(shù) f(x)在在 x1處有極值處有極值, ,可知函數(shù)可知函數(shù) f(x)在在 x1處的導數(shù)值為處的導數(shù)值為0, ,即即122a2b 0, ,所以所以 ab6, ,由題意知由題意知 a, ,b 都是正實數(shù)都是正實數(shù), ,所以所以 ab ab22 6229, ,當且僅當當且僅當 ab3 時取到等號時取到等號 答案：答案：d 二、填空題二、填空題(本大題共本大題共 4 小題小題,每小題每小題 5 分分,共共 20 分把答案填在分把答案填在題中

11、橫線上題中橫線上) 13 若曲線若曲線 yxa1(ar)在點在點(1,2)處的切線經過坐標原點處的切線經過坐標原點,則則 a_ 解析：解析：由題意由題意, ,知知 yaxa1, ,故在點故在點(1, ,2)處的切線的斜率處的切線的斜率 a, ,又因又因為切線過坐標原點為切線過坐標原點, ,所以所以 a20102. 答案：答案：2 14函數(shù)函數(shù) f(x)xx1(x2)的最大值為的最大值為_ 解析：解析：先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性, ,再進一步求解函數(shù)的最大再進一步求解函數(shù)的最大值值 f(x)（x1）x（x1）21（x1）2, , 當當 x2 時時, ,f(x)0, ,則

12、則x0 時時, ,f(x)ex11, , 所以所以 f(1)e111112. 所以曲線所以曲線 yf(x)在點在點(1, ,2)處的切線方程為處的切線方程為 y22(x1), , 即即 2xy0. 答案：答案：2xy0 三、解答題三、解答題(本大題共本大題共 6 小題小題,共共 70 分解答應寫出文字說明、分解答應寫出文字說明、證明過程或演證明過程或演算步驟算步驟) 17(本小題滿分本小題滿分 10 分分)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x3x16. (1)求曲線求曲線 yf(x)在點在點(2,6)處的切線的方程；處的切線的方程； (2)如果曲線如果曲線 yf(x)的某一切線與直線的某一切線與直線

13、y14x3 垂直垂直,求切點求切點坐標與切線的方程坐標與切線的方程 解：解：(1)因為因為 f(x)(x3x16)3x21, , 所以所以 f(x)在點在點(2, ,6)處的切線的斜率為處的切線的斜率為 kf(2)13. 所以切線的方程為所以切線的方程為 y13(x2)(6), , 即即 y13x32. (2)因為切線與直線因為切線與直線 yx43 垂直垂直, , 所以切線的斜率所以切線的斜率 k4. 設切點的坐標為設切點的坐標為(x0, ,y0), , 則則 f(x0)3x2014, , 所以所以 x0 1, , 所以所以 x01，y014或或 x01，y018. 即切點坐標為即切點坐標為(

14、1, ,14)或或(1, ,18) 切線方程為切線方程為 y4(x1)14 或或 y4(x1)18. 即即 y4x18 或或 y4x14. 18 (本小題滿分本小題滿分 12 分分)設函數(shù)設函數(shù) yf(x)4x3ax2bx5 在在 x32與與 x1 處有極值處有極值 (1)寫出函數(shù)的解析式；寫出函數(shù)的解析式； (2)指出函數(shù)的單調區(qū)間；指出函數(shù)的單調區(qū)間； (3)求求 f(x)在在1,2上的最值上的最值 解：解： (1)y12x22axb, ,由題設知當由題設知當 x32與與 x1 時函數(shù)有極時函數(shù)有極值值, ,則則 x32與與 x1 滿足滿足 y0, , 即即 12 3222a32b0，12

15、（1）22a （1）b0，解得解得 a3，b18， 所以所以 y4x33x218x5. (2)y12x26x186(x1)(2x3), ,列表如下：列表如下： x (, 1) 1 1，32 32 32， y 0 0 y y 極大值極大值 16 y 極小極小 值值614 由上表可知由上表可知 ( , , 1)和和 (32, , )為函數(shù)的單調遞 增區(qū)為函數(shù)的單調遞 增區(qū)間間, , 1，32為函數(shù)的單調遞減區(qū)間為函數(shù)的單調遞減區(qū)間 (3)因為因為 f(1)16, ,f 32614, ,f(2)11, , 所以所以 f(x)在在1, ,2上最小值是上最小值是614, ,最大值為最大值為 16. 19

16、(本小題滿分本小題滿分 12 分分)有甲、乙兩種商品有甲、乙兩種商品,經營經營銷售這兩種商品銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是所能獲得的利潤依次是 p 萬元和萬元和 q 萬元萬元,它們與投入資金它們與投入資金 x 萬元的關萬元的關系有經驗公式：系有經驗公式： px5,q35x.現(xiàn)有現(xiàn)有 3 萬元資金投入經營甲、 乙兩種商萬元資金投入經營甲、 乙兩種商品品,為獲得最大利潤為獲得最大利潤,對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能獲得的最大利潤是多少？獲得的最大利潤是多少？ 解：解：設對乙種商品投資設對乙種商品投資 x 萬元萬元, ,則甲種商品投資為則甲種

17、商品投資為(3x)萬元萬元, ,總總利潤為利潤為 y 萬元萬元 根據(jù)題意根據(jù)題意, ,得得 y3x535x(0 x3), , y153101x.令令 y0, ,解得解得 x94. 由實際意義知由實際意義知 x94即為函數(shù)的極大值點即為函數(shù)的極大值點, ,也是最大值點也是最大值點, ,此時此時 3x34. 因此為獲得最大利潤因此為獲得最大利潤, ,對甲、乙兩種商品的資金投入應分別為對甲、乙兩種商品的資金投入應分別為0.75 萬元和萬元和 2.25 萬元萬元, ,獲得的最大利潤為獲得的最大利潤為 1.05 萬元萬元 20 (本小題滿分本小題滿分 12 分分)若函數(shù)若函數(shù) f(x)4x3ax3 在在

18、12,12上是單上是單調函調函數(shù)數(shù),則實數(shù)則實數(shù) a 的取值范圍為多少？的取值范圍為多少？ 解：解：f(x)12x2a, ,若若 f(x)在在 12，12上為單調增函數(shù)上為單調增函數(shù), , 則則 f(x)0 在在 12，12上恒成立上恒成立, , 即即 12x2a0 在在 12，12上恒成立上恒成立 所以所以 a12x2在在12, ,12上恒成立上恒成立, , 所以所以 a(12x2)min0. 當當 a0 時時, ,f(x)12x20 恒成立恒成立只有只有 x0 時時 f(x)0 所以所以 a0 符合題意符合題意 若若 f(x)在在 12，12上為單調減函數(shù)上為單調減函數(shù), , 則則 f(x

19、)0, ,在在 12，12上恒成立上恒成立, , 即即 12x2a0 在在 12，12上恒成立上恒成立, , 所以所以 a12x2在在 12，12上恒成立上恒成立, , 所以所以 a(12x2)max3. 當當 a3 時時, ,f(x)12x233(4x21)0 恒成立恒成立(且只有且只有 x12時時 f(x)0. 因此因此, ,a 的取值范圍為的取值范圍為 a0 或或 a3. 21(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)12x2ln x. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,e上的最大值、最上的最大值、最小值小值； (2)求證： 在區(qū)間求證： 在區(qū)間1,)上上,

20、函數(shù)函數(shù) f(x)的圖象在函數(shù)的圖象在函數(shù) g(x)23x3的圖的圖象的下方象的下方 (1)解：解：由由 f(x)12x2ln x 得得 f(x)x1x, , 因為當因為當 x1, ,e時時, ,f(x)0, , 所以函數(shù)所以函數(shù) f(x)在在1, ,e上是增函數(shù)上是增函數(shù) f(x)maxf(e)12e21, , f(x)minf(1)12. (2)證明：證明：設設 f(x)f(x)g(x)12x2ln x23x3, ,則則 f(x)x1x2x2（1x）（）（1x2x2）x. 因為因為 x1, ,所以所以 f(x)0, , 所以函數(shù)所以函數(shù) f(x)在在(1, ,)上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,又

21、因為又因為 f(1)16, ,故在故在1, ,)上有上有 f(x)0, ,即即 f(x)g(x), ,所以在區(qū)間所以在區(qū)間1, ,)上上, ,函數(shù)函數(shù) f(x)的圖的圖象在函數(shù)象在函數(shù) g(x)23x3的圖象的下方的圖象的下方 22(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)2x33x. (1)求求 f(x)在區(qū)間在區(qū)間2,1上的上的最大值；最大值； (2)若過點若過點 p(1,t)存在存在 3 條直線與曲線條直線與曲線 yf(x)相切相切,求求 t 的取值范的取值范圍；圍； (3)過點過點 a(1,2),b(2,10),c(0,2)分別存在幾條直線與曲線分別存在幾條直線與曲

22、線 yf(x)相切相切(只需寫出結論只需寫出結論)? 解：解：(1)由由 f(x)2x33x, ,得得 f(x)6x23. 令令 f(x)0, ,得得 x22或或 x22.因為因為 f(2) 10, ,f 22 2, ,f 22 2, ,f(1)1, , 所以所以 f(x)在區(qū)間在區(qū)間2, ,1上的最大值為上的最大值為 f 22 2. (2)設過點設過點 p(1, ,t)的直線與曲線的直線與曲線 yf(x)相切于點相切于點(x0, ,y0), , 則則 y02x303x0, ,且切線斜率為且切線斜率為 k6x203, , 所以切線方程為所以切線方程為 yy0(6x203)(xx0), , 因此因此 ty0(6x203)(1x0), , 整理得整理得 4x306x20t30. 設設 g(x)4x36x2t3, , 則則“過點過點 p(1, ,t)存在存在 3 條直線與曲線條直線與曲線 yf(x)相切相切”等價于等價于“