K不確定環(huán)境下的期權(quán)定價模型doc9

1、Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價模型OPTION PRICING UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY周娟 1 韓立巖 2* 鄭承利 3摘要： 傳統(tǒng)的金融學(xué)主要研究的是投資個體在風(fēng)險環(huán)境中投資組合選擇和資產(chǎn)定價問題。而knight 不確定性與風(fēng)險是有區(qū)別的。風(fēng)險（risk ）是概率分布唯一存在的、在數(shù)量上可確定的、封閉和完備的那種不確定性，而 Knight 不確定性則是指不具有這些性質(zhì)的、易受“潛在意外”和新事物影響而經(jīng)常變化的不確定性，這種不確定性不能被單一概率所揭示。Ellsberg 悖論指出Knight 不確定性的存在確實(shí)會影響當(dāng)事人的選擇行為。Knight不確定環(huán)境

2、下的基礎(chǔ)資產(chǎn)定價已經(jīng)取得重大突破(Epstein, 1994）。本文此基礎(chǔ)上提出Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價方法，為衍生金融工具的定價提供一條新思路。本文利用-模糊測度和Choquet 積分來導(dǎo)出Knight 不確定環(huán)境下歐式無紅利期權(quán)的價格表示。認(rèn)為在knight 環(huán)境下期權(quán)的價格是一個區(qū)間而不是某個特定得值。該種方法在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的使用前景。關(guān)鍵詞： Knight 不確定性，期權(quán)定價，-模糊測度， Choquet 積分1. 引言主流的資產(chǎn)定價理論，包括被Cochrane(2001) 認(rèn)為是金融資產(chǎn)定價的兩根“支柱”的均衡定價理論和套利定價理論，總是假定投資者不但清楚地知道未

3、來可能出現(xiàn)哪些不確定性狀態(tài)，而且能夠?qū)ζ浒l(fā)生的概率做出估計這些估計至少在投資者看來是可靠的，他們正是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行選擇或決策。這種處理外部不確定環(huán)境的手法是從經(jīng)濟(jì)學(xué)那里承襲來的，新古典學(xué)派的理性經(jīng)濟(jì)人模型等經(jīng)濟(jì)學(xué)研究都普遍使用該方法。* 韓立巖，北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向：宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融投資學(xué)，通訊地址：北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院， 100083；周娟，北京航空航天大學(xué)管理科學(xué)與工程專業(yè)博士研究生，主要研究方向：金融資產(chǎn)定價理論；鄭承利，北京大學(xué)深圳研究生院博士后，主要研究方向：金融工程。事實(shí)上，面對充滿了不確定因素的金融市場，這個假定是有局限性的。Knig

4、ht(1921)和 Keynes(1921) 在不同場景下對于風(fēng)險和不確定性都作了相同的辨析，指出了可知的不確定性（風(fēng)險）和不可知的不確定性（真正的不確定性）的本質(zhì)差異。 其后的研究者常常將 “真正”的不確定性稱為 “ Knight 不確定性（ Knightianuncertainty ）”或“不明確性（ambiguity ）”，并在模型研究中將風(fēng)險（risk ）限定為概率分布唯一存在的、在數(shù)量上可確定的、封閉和完備的那種不確定性，而設(shè)定Knight 不確定性為不具有這些性質(zhì)的、易受“潛在意外”和新事物影響而經(jīng)常變化的不確定性。Knight 不確定性的本質(zhì)并非“未知”而是不可知，處理未知可以使

5、用貝葉斯方法，而處理不可知則需要完全不同的方法。Ellsberg(1961)基于實(shí)驗(yàn)提出了著名的Ellsberg 悖論，指出Knight 不確定性的存在確實(shí)會影響當(dāng)事人的選擇行為，這種行為無法用單一概率測度的觀點(diǎn)加以解釋。因?yàn)檫@里的概率測度不但違背了著名的VonNeumann-Morgenstern 公理系統(tǒng)，甚至違背Savage(1954) 提出的主觀概率存在的公理體系，而這些體系是主流經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)討論風(fēng)險決策時所必須遵循的基本原則。由Ellsberg 悖論引發(fā)了大量實(shí)證研究，其中既有基于實(shí)驗(yàn)的也有基于市場的，這些內(nèi)容在Camerer and Weber(1992)中有很好的綜述。由于利息

6、過程和紅利過程都面臨Knight 不確定性（ Papamarcou and Fine(1991) 、 Barsky and Delong(1992) ），因此資產(chǎn)定價研究也需要考慮Knight 不確定性。 通過研究Knight 不確定性， 金融市場一些現(xiàn)存的“謎”，例如價格突變、資產(chǎn)收益率的超額波動性、經(jīng)紀(jì)商的買賣差價、期權(quán)平價公式的背離以及投資組合慣性等，都能得到較好地解釋（ Basili(2001) ）。 Miao and Wang(2004)甚至發(fā)現(xiàn) Knight 不確定性會影響美式期權(quán)執(zhí)行時間的決定。Epstein and Wang(1994) 將 Lucas 無限期經(jīng)濟(jì)人代表模型擴(kuò)展

7、到Knight 不確定環(huán)境下，討論了證券的均衡定價問題。 其中經(jīng)濟(jì)人代表的信念被描述成一個概率測度集合，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出連續(xù)均衡價格過程，發(fā)現(xiàn)均衡價格有不唯一的可能性，證明了同時存在的多個均衡價格必然分布在同一個連通閉集內(nèi)的結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上很好地解釋了超額波動現(xiàn)象。Epstein and Wang(1995) 進(jìn)一步放寬了上述條件，允許不連續(xù)均衡價格在一定范圍內(nèi)存在，解釋了外界條件沒有發(fā)生顯著變化時證券價格也可能發(fā)生突變的奇異現(xiàn)象。Epstein and Chen(2002) 還將上述模型擴(kuò)展到連續(xù)時間場合，同樣得到了類似的結(jié)論。文獻(xiàn)調(diào)研表明， 資產(chǎn)定價研究中的Knight 不確定性已經(jīng)為越

8、來越多的研究者所重視，在基礎(chǔ)資產(chǎn)定價領(lǐng)域已經(jīng)取得突破，衍生資產(chǎn)定價研究的大門也正在開啟。盡管已經(jīng)出現(xiàn)了一些觸及Knight 環(huán)境下衍生產(chǎn)品定價問題的研究，例如 Mceneaney(1997) 用穩(wěn)健性控制方法給完全市場中只考慮風(fēng)險的環(huán)境下的期權(quán)進(jìn)行定價， 得出了與傳統(tǒng)的B-S 公式相一致的結(jié)果；鄭承利 (2003) 采用基于非可加測度的模糊期權(quán)定價方法對市政債券發(fā)債規(guī)?？刂七M(jìn)行了實(shí)證研究；Miao and Wang(2004) 關(guān)于 Knight 不確定性對美式期權(quán)執(zhí)行時間決定的影響的理論研究等，但是都尚未深入。然而在一個完整的資產(chǎn)定價體系中，衍生產(chǎn)品定價是不可或缺的基本組成部分，所以有必要系

9、統(tǒng)地研究Knight 不確定性環(huán)境下期權(quán)定價的理論和方法。本文旨在提出一種基于Knight 不確定環(huán)境下的期權(quán)定價方法。2. 用 -模糊測度表征 Knight 不確定性環(huán)境下投資者個體的信念用來描述 Knight 不確定性下的個體信念迄今為止有兩種方法，其一是以 Epstein and Wang(1994，1995)為代表的多先驗(yàn)概率模型。個體的期望效用表示為fdP( )min fdm : mP( ) 。未來的不明確性用一族概率測度來表述，P()就是這樣的一個概率測度族。它表示如果現(xiàn)在的狀態(tài)是，則 P()包含了將來出現(xiàn)各個狀態(tài)的概率的所有可能值m。值得注意的是 P()中的元素 m 是一個定義在

10、 (,)上的概率測度，而不是某個特殊狀態(tài)的概率值。它實(shí)際上是選取得所有概率測度下的最小的期望值。另一種表達(dá)信念的方法是以 Chateauneuf(1991)等為代表的用一個非可加測度（容度）和基于非可加測度的Choquet 積分來表征個體的效用評價，并且指出了在滿足某些條件的前提下，兩種方式是等價的。本文遵循著后一種方法，即用一個非可加測度來表征個體效用。在這里我們使用一種特殊的非可加測度，即-模糊測度來表示 Knight不確定環(huán)境下的投資人信念。令 為自然狀態(tài)空間，為 的子集所構(gòu)成的 -代數(shù)。定義 1：一個定義在上的實(shí)值集函數(shù)是一個容度，如果它滿足：(a) (?)=0 ， ()=1(b) 單

11、調(diào)性，即 A 、 B ，若 A B，則 (A) (B) 。進(jìn)一步地，若 還滿足 A 、B，有 (AB)+ (AB) (A)+ (B) ，則稱 是凸容度；若 (AB)+ (AB)(A)+ (B) ，則稱 是凹容度。顯然容度不滿足可加性。定義 2：對于任意非負(fù)隨機(jī)變量f: R+ ， f 關(guān)于 的 Choquet 積分定義為：( c)fd x: f (x)a da 。0定義 3 (Wang and Kilr, 1992) ： :0,是一個 上的 -模糊測度當(dāng)且僅當(dāng)：1 (1(E )1,01n(a) 它滿足 -規(guī)則，即存在(,)0使得 (En )n 1，supn1( En ),0其中對于 中的不交序列

12、 E n有 supsupE(E) 。n1(b) 至少存在一個集合 E 有 (E)< 。若 還滿足 ()=1，則稱 是一個正規(guī)的 -模糊測度。定義 4：扭曲函數(shù)是一個定義在 0, 1 上的連續(xù)的嚴(yán)格單調(diào)遞增映射，且滿足 (0)=0 ，(1)=1 。設(shè) P 是(,)上的一個概率測度，則=?P是一個容度，并且若 是一個凸函數(shù)，則 是一個凸容度；若 是一個凹函數(shù)，則 是一個凹容度。本文中我們使用Wang and Kilr(1992) 中給出的扭曲函數(shù)來構(gòu)建一個正規(guī)的-模糊測度，即：( P)1 (1) P1,0 .(1)P,0易知，在（ 1）式的扭曲函數(shù)下，=?P是一個正規(guī)的-模糊測度，當(dāng)然也是一

13、個容度。同時，當(dāng)0時，概率測度與 -模糊測度之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。若是一個 上的 -模糊測度，則P=log1+(1+ )是一個 上的概率測度； 反之，若 P是一個 上的概率測度， 則1 (1 )P1 是 上的 -模糊測度 (Zhangand Ye, 1997) 。當(dāng) >0 時， 是一個凹函數(shù)，因此是一個凹容度，它滿足超可加性；當(dāng)<0 時， 是一個凸函數(shù)，因此 是一個凸容度，它滿足次可加性。這里我們給出 -模糊測度和 Choquet 積分的經(jīng)濟(jì)解釋。 使用扭曲函數(shù)來構(gòu)建 -模糊測度需要依賴于一個被扭曲的概率測度P，我們可以把它看作是事件發(fā)生的客觀概率。在投資者個體不能清楚地知道這個客

14、觀概率時，個體只能選擇一個非可加測度來替代這個概率測度。因此只要0，就意味著經(jīng)濟(jì)行為人面臨Knight 不確定性。對于投資者個體來說，應(yīng)該是一個外生給定的量，因?yàn)樗从沉藗€體所能夠捕獲到的市場信息，這個信息量的大小一般說來不會受到個體本身的影響。換句話說，個體所能得到的信息量是客觀的。然而對于信息的加工和處理過程最終并形成個體的信念，對未來狀態(tài)發(fā)生概率的估計，是屬于個體自身的因素，具有主觀性。當(dāng)>0時，個體表現(xiàn)出對Knight不確定性的厭惡態(tài)度，并且隨著值的增大，采用一種超可加測度的信息處理方式，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來越悲觀的心態(tài)；而當(dāng)<0 時，個體表現(xiàn)出對Knight不確定性的喜好

15、態(tài)度，并且隨著值的減小，個體采用一種次可加測度的信息處理方式，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來越樂觀的心態(tài)（關(guān)于不確定性厭惡和不確定性喜好的概念，請參閱Chateauneuf(1991) ）。同時，投資人個體的值并不是一成不變的，會受到整個市場的影響：當(dāng)市場繁榮時，個體的態(tài)度會趨于樂觀， 值會逐漸減?。划?dāng)市場蕭條時，個體的態(tài)度會趨于悲觀，值會逐漸變大。于是，事實(shí)上可以成為反映市場的心理指數(shù)。3. 歐式無紅利股票期權(quán)價格的導(dǎo)出本節(jié)我們導(dǎo)出 Knight 不確定環(huán)境下的歐式無紅利股票期權(quán)的定價公式。假設(shè)在一個兩期經(jīng)濟(jì)中，市場上只存在一個經(jīng)濟(jì)代表人。歐式無紅利股票看漲期權(quán)的期末支付為CT=maxS T-K, 0

16、 ，其中 ST 是期權(quán)到期時標(biāo)的資產(chǎn)的價格， K 是期權(quán)的執(zhí)行價格，假設(shè)T 是到期時間， r f 是 0,T 時間內(nèi)的無風(fēng)險利率，EQ·是等價鞅測度Q 下的期望。則看漲期權(quán)的價格為（Cochrance, 2001）：c1K , 0（ 2）1EQ max ST。r f為了解決 Knight 不確定環(huán)境下期權(quán)的定價方法，本文用 -模糊測度和 Choquet 期望分別去替代概率測度和風(fēng)險中性概率下的期望。于是（2）式被改寫為：c1K , 0（ 3）1CE max ST，1(1 )Q 1rf其中(Q),0，這里 Q 是風(fēng)險中性概率，它是某個客觀概率的等價鞅概率，若Q,0經(jīng)濟(jì)代表人的信息是清晰

17、明確的，則=0；如果考慮 Knight 不明確性， 則這個客觀概率被扭曲， 用一個相應(yīng)的非可加測度來描述。 CE的 Choquet 期望。· 表示關(guān)于容度我們利用對偶測度構(gòu)建模糊價格區(qū)間，即( ) 1(AC ) ，其中，A，C。AA =-A顯然，若 是 上的 -模糊測度，則*被稱為的對偶參數(shù)。是 上的 -模糊測度，1當(dāng) =0 時，表示經(jīng)濟(jì)代理人能夠準(zhǔn)確的用一個概率來描述未來狀態(tài)的發(fā)生。偏離 0 越遠(yuǎn)，信息越不明確，因而代理經(jīng)濟(jì)人越不能確定期權(quán)的具體價格。對于一個給定的-模糊測度和它的對偶測度，Knight 不明確性下的期權(quán)價格區(qū)間為：*11c ,c CE 1 r fCT ,CE *

18、1r fCT ，其中11c(c) (ST K )1ST K d0( ST K )1ST K x dx ；1r f1 r f*1cK d * 。以及(c) ( ST K )1ST1r f（ 1）若在 1 期，股票價格有兩個狀態(tài)，即uS、 dS，為避免退化的情況， u<1+r f <d。對于看漲期權(quán)，11 (11 rfdc) u d1 uS K ,0（ 5）1r f1r fd*11*u d1 uS K ,0,*cr f* (1)（ 6）11 *于是，當(dāng) 0 時， c , c 構(gòu)成一個期權(quán)的價格區(qū)間。同樣地，對于看跌期權(quán)有：11u ( 1r f)p)ud1 KdS1 r f(1u(1 r

19、 f )*11* (1* ) u d*p1 K dS ,1r f1這與 Epstein(1994) 中所指出的， 在 Knight 不確定環(huán)境下， 金融資產(chǎn)的均衡價格是一個區(qū)間而不是一個確定的值，在思路上是一致的。當(dāng)期末標(biāo)的資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布時，情況會變得復(fù)雜些，下面我們簡單的進(jìn)行一下討論。（ 2）若在期末，股票收益率服從正態(tài)分布，易知風(fēng)險中性概率Q 也是正態(tài)分布的，則er fT(1(1)Nd1 1) dx,0cK（ 7）er f T01er f T(*)N d1 N d1 dx,0,*(1K1) dx,1cK（ 8）e rfT*N d1 dx,0ln x S0r f22KT=0 ，結(jié)果

20、則其中 d1T， N · 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的累積概率分布函數(shù)。上式中若與 Black-Scholes 期權(quán)定價公式一致。這說明，B-S 公式?jīng)]有考慮信息的不明確性對資產(chǎn)價格的影響。同理可得看跌期權(quán)的定價公式：14c/p12K12 r f T(1)N d1) dx,e(p100callrTKK 81rf Tef*N dN2 d2 dx,0,*e(*(1) 01)dx,p062 2e4r f TN d2 dx,ln x S0r fTK其中 d2。2Tput00；* 01，*0012345678910lanbuda圖 1：歐式期權(quán)價值隨 變化圖圖 1 指出歐式期權(quán)隨 的值變化而使得交易區(qū)間不斷

21、增大。這意味著當(dāng)投資人個體的信息越來越模糊時，期權(quán)的均衡價格范圍也越來越大。值得指出的是，鄭承利(2003) 中也提出了異質(zhì)經(jīng)濟(jì)人環(huán)境下的期權(quán)定價方法，其中也用到了-模糊測度，雖然推導(dǎo)過程相似，但經(jīng)濟(jì)原理顯然不同。在鄭承利(2003) 中所考慮的是異質(zhì)經(jīng)濟(jì)行為人對市場信息不同的處理方式最終導(dǎo)致不同的均衡價格，而其本質(zhì)上還是在風(fēng)險的環(huán)境下考慮期權(quán)定價問題。本文是在經(jīng)濟(jì)代表人面臨Knight 不確定環(huán)境的期權(quán)定價問題的研究。從研究對象上來說，經(jīng)濟(jì)環(huán)境不一樣，經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)也不同。因此這個結(jié)果所表示的經(jīng)濟(jì)含義也截然不同。雖然兩者最后都?xì)w到一個價格區(qū)間，然而鄭承利(2003) 中的價格區(qū)間所反映的是經(jīng)濟(jì)人由

22、于對市場的看法不同故價格會受到經(jīng)濟(jì)人行為的影響，在這種情況下要解釋均衡是比較困難的。本文是代表經(jīng)濟(jì)人模型，均衡的問題比較容易處理，同時均衡價格在一個區(qū)間內(nèi)則是因?yàn)榇砣怂莆盏男畔⒔Y(jié)構(gòu)不完全所導(dǎo)致。5. 結(jié)論風(fēng)險和 Knight 不確定性（有時也稱不明確性（ambiguity ）有本質(zhì)差異。通常風(fēng)險（risk）可以被唯一的概率測度所描述，而在 Knight 不確定性情況下，投資者對未來的主觀評估不能用唯一的概率來表示。通常是用一族概率測度或某個非可加概率來表示。本文我們使用 -模糊測度和 Choquet 積分來表達(dá)經(jīng)濟(jì)行為人的信念。并且指出，當(dāng) 0，意味著經(jīng)濟(jì)行為人面臨 Knight 不確定性

23、。當(dāng) >0 時，個體表現(xiàn)出對 Knight 不確定性的厭惡態(tài)度，并且隨著 值的增大，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來越悲觀的心態(tài)；而當(dāng) <0 時，個體表現(xiàn)出對 Knight 不確定性的喜好態(tài)度， 并且隨著 值的減小， 經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來越樂觀的心態(tài)。 基于 -模糊測度和 Choquet 積分，我們證明了 Knight 不確定環(huán)境下， 無紅利歐式期權(quán)的均衡價格是一個區(qū)間而不是一個確定的值，這將為Knight 不確定環(huán)境下衍生資產(chǎn)定價的進(jìn)一步研究提供一些思路。參考文獻(xiàn) :1Barsky, R. B., and J. B. Delong (1992):“ Why Does the Stock Ma

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