第十一章級數(shù)微分方程習(xí)題課

1、2 nnnuuuuu32111 1、常數(shù)項級數(shù)、常數(shù)項級數(shù)niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和定義定義級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容3性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級數(shù)前面加上或去掉有限項不影響級在級數(shù)前面加上或去掉有限項不影響級數(shù)的斂散性數(shù)的斂散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和.

2、. 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)4定義定義0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns2 2、正項級數(shù)及其審斂法、正項級數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .5(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時時,二級數(shù)有相同的斂散性二

3、級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng)0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l時時, 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;6設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂;1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; 1 時失效時失效.設(shè)設(shè) 1nnu是正項級數(shù)是正項級數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或為數(shù)或 , ,則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂; ; 1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; ;1 時失效時失效. .7定義定義 正正 、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu

4、 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級數(shù)收斂級數(shù)收斂, , 且其和且其和1us , , 其余 項其余 項nr的絕對值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法8定義定義 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若

5、1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)及其審斂法95 5、函數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)(1) (1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在ri 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間i上上的的( (函函數(shù)數(shù)項項) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .(2) (2) 收斂點與收斂域收斂點與收斂域如如果果ix 0,數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂,10則稱則稱0 x為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點收斂點, ,否否則則稱稱為

6、為發(fā)發(fā)散散點點. .所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù))(1xunn 的所有收斂點的全體稱為的所有收斂點的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項級數(shù)的和是函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為函數(shù)項級數(shù)的為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). .11(1) (1) 定義定義形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù).,00時時當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).6 6、冪級數(shù)、冪級數(shù)nnnxa 012如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則

7、則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (1 (abelabel 定理定理) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則 它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切 x處處絕絕對對收收斂斂; ; (2) (2) 收斂性收斂性13如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)r存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;

8、當(dāng)當(dāng)rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)rxrx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論14定義定義: : 正數(shù)正數(shù)r稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.(-r,r)稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時時, 1r;(3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 r.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, r;15a.a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minr

9、rr )nnnbac rrx, ,2100rrxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (3)(3)冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算16乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc rrx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)17b.b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): : 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(rr 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在端端點點收收斂斂,則則在在端端點點單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù). 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和

10、函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(rr 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(rrx 可逐項積分可逐項積分. 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(rr 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項求導(dǎo)任意次并可逐項求導(dǎo)任意次.187 7、冪級數(shù)展開式、冪級數(shù)展開式 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù).(1) 定義定義19定理定理 )(xf在點在點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級

11、數(shù), ,在在)(0 xu 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)0)(lim xrnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .20(3) 展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或討論討論).(xf斂

12、于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項積逐項積分分等方法等方法,求展開式求展開式.21),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式22)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1

13、(31211 , 1( x23(1) (1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個不同函數(shù)在任意兩個不同函數(shù)在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系8 8、傅里葉級數(shù)、傅里葉級數(shù)24 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級數(shù)三角級數(shù)25其中其中 ), 2 , 1(,

14、sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為稱為 f (x)的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù). 10)sincos(2nnnnxbnxaa26(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(dirichlet(dirichlet) )充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設(shè)設(shè))(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù).如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點,并并且且至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂,并并且且(1) 當(dāng)當(dāng)x是是)

15、(xf的連續(xù)點時的連續(xù)點時,級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于)(xf;(2) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的間斷點時的間斷點時, 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;27 如果如果)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxbnnsin1 稱為稱為正弦級數(shù)正弦級數(shù).(4) (4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級級數(shù)數(shù)時時,它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann28 當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時時,它的

16、傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxaanncos210 稱為稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù).29奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxf令令的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) 在在0, 上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)30偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxf令令的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x31式為式為則它的傅里葉級數(shù)

17、展開則它的傅里葉級數(shù)展開的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函數(shù)的傅氏展開的周期函數(shù)的傅氏展開周期為周期為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln32二、典型例題二、典型例題331. 設(shè) a 是常數(shù) , 則級數(shù). )(1)sin(12nnnan(a) 絕對收斂; (b) 條件收斂 ;(c) 發(fā)散 ; (d) 收斂性與 a 的取值有關(guān) .提示提示:221)sin(nnan12)s

18、in(nnan而11nn發(fā)散 , 故原級數(shù)發(fā)散 .c絕對收斂34( 常數(shù) a 0 ) ( )2. 級數(shù))cos1() 1(1nann(a)絕對收斂; (b) 條件收斂 ;(c) 發(fā)散; (d) 收斂性與 a 的有關(guān) .提示提示: nanancos1)cos1() 1(因121nn收斂 , 故原級數(shù)絕對收斂 , 所以應(yīng)選 ( a )a2221na35)() 1(21nannn3. 設(shè) 常數(shù)(a) 發(fā)散; (b) 條件收斂 ;(c) 絕對收斂; (d) 收斂性與 有關(guān) . 提示提示:2) 1(nann而12nna和121nn都收斂, 故原級數(shù)絕對收斂c12nna收斂 , 則級數(shù)21nan22121

19、nan且級數(shù)0364. 設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù) k 0 , 則級數(shù)則級數(shù))() 1(21nnknn(a) 發(fā)散發(fā)散 ; (b) 條件收斂條件收斂; (c)絕對收斂絕對收斂; (d) 收斂與發(fā)散與收斂與發(fā)散與 k 有關(guān)有關(guān) . 提示提示:21) 1(nnknn21) 1(nknnnnn1) 1(1絕對收斂絕對收斂條件收斂條件收斂b37肯定收斂肯定收斂的是（ )5. 設(shè) , ),2, 1(10nnan則下列級數(shù)中提示提示:22) 1(nnnaad1)(nnaannnab1) 1()(1)(nnac12) 1()(nnnad121nn,10nan21n收斂12) 1(nnna絕對收斂38nnnya16. 設(shè)冪

20、級數(shù)必定在區(qū)間 內(nèi)收斂. nnnxa1的收斂半徑為 3 , 則冪級數(shù)11) 1(nnnxan提示提示: 令, 1 xy則收斂半徑均為 3 ,(2 , 4)故11) 1(nnnxan必在這里關(guān)鍵用到冪級數(shù)求導(dǎo)后收斂半徑不變31 x即42x內(nèi)收斂 .11nnnyan與39斂斂？是是條條件件收收斂斂還還是是絕絕對對收收斂斂？如如果果收收斂斂，是是否否收收判判斷斷級級數(shù)數(shù) 1ln)1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,lnln)(發(fā)散發(fā)散1111nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂40,ln)1(1級級數(shù)數(shù)是是交交錯錯 nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：,

21、 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf41,), 1(上單增上單增在在,ln1單減單減即即xx ,1ln1時單減時單減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯級數(shù)收斂，所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂42例例3.判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;ln1)3(210 nn. )0,0()4(1 sanansn解解: (1) ,1limnnn可知原級數(shù)發(fā)散可知原級數(shù)發(fā)散,111lim nnnnn發(fā)散發(fā)散由由

22、1nn143利用比值判別法 , 可知原級數(shù)發(fā)散 .因 n 充分大時,ln1110nn由 發(fā)散,21nn知原級數(shù)發(fā)散 . :2) !()2(122nnn:ln1)3(210 nn: )0,0()4(1 sanansn用比值判別法可知:時收斂 ;時發(fā)散 ;時, 與 p 級數(shù)比較可知:時收斂1s時發(fā)散1s1a1a1a44例例4 設(shè)設(shè)正項級數(shù)正項級數(shù)1nnu和和1nnv12)(nnnvu也收斂也收斂 .解解: 因因,0limlimnnnnvu 存在存在 n 0 ,)(nnvunn 利用利用收斂級數(shù)的性質(zhì)收斂級數(shù)的性質(zhì)及及比較判斂法比較判斂法易知結(jié)論正確易知結(jié)論正確 .都收斂都收斂 , 證明級證明級數(shù)數(shù)

23、當(dāng)當(dāng) n n 時時2)(nnvu ,0)(lim nnnvu即即45例例5. 若級數(shù)若級數(shù)1nna與與1nnb均收斂均收斂 , 且且nnnbca, ),2, 1(n證明級數(shù)證明級數(shù)1nnc收斂收斂 .證證: nnnnabac0, ),2,1(n則則1nna與與1nnb收斂收斂)(1nnnab 收斂收斂)(1nnnac 收斂收斂1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收斂收斂46),()(,21121211naaaannn設(shè)設(shè)證明級數(shù)證明級數(shù) 收斂收斂。 111nnnaa證明證明： 111211nnnnnaaaaa)(02112121nnnnnnnaaaaaaa)(從而數(shù)列從而數(shù)列

24、 的極限存在的極限存在 na111110nnnnnnnaaaaaaa考察正項級數(shù)考察正項級數(shù) ，設(shè)它的部分和為，設(shè)它的部分和為 ，則，則 11nnnaa)(ns6例例47nknkknaaaas1111)(因因 存在，故存在，故 存在，存在， 1nnalimnnslim也就是正項級數(shù)也就是正項級數(shù) 收斂。收斂。 11nnnaa)(由比較審斂法知原級數(shù)收斂。由比較審斂法知原級數(shù)收斂。48例例7. 求級數(shù)求級數(shù)01nnnx的和函數(shù)的和函數(shù). )(xs時級數(shù)且1x01)(nnnxxs xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及及收斂收斂 , 時當(dāng)0 x0111nnnxx

25、xnnxxx00d111nan112limlim1nnaarnnnn解解:收斂域為收斂域為 ) 1, 149) 1 ,0()0, 1x)(xs, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xs而而)0(s,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及及50例例8 8求0n12121nnxn的和函數(shù).解解: 設(shè) xs0n12121nnxn1 , 1x由逐項求導(dǎo) xsnnx21nx20n0n211x 00 s xxdxsxs0 xdxx0211xarctan0n12121nnxnxarctan11 x51和和函函數(shù)數(shù)求求12nnxnn)()1 , 1(, 冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂