第十二章二階常系數(shù)齊次線性微分方程62146

1、一、定義一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(1)1(1)(xfypypypynnnn 二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式0 qyypy二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法0 qyypy,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程特征根特征根,2422,1qppr

2、 特點(diǎn)特點(diǎn)未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于0即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子猜想猜想有特解有特解rxey 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根特征根為特征根為,2421qppr ,2422qppr 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解,11xrey ,22xrey 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxrececy )0( 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根特征根為特征根為,221prr 一特解為一特解為,11xrey ,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為代入原方程并化簡(jiǎn)，代入原方程并化簡(jiǎn)，將將222y

3、yy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexccy )0( 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根特征根為特征根為,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xcxceyx )0( 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .方法步

4、驟方法步驟寫出特征方程寫出特征方程02 qprr求出特征根求出特征根21,rr按特征根的三種不同情況依下表寫出齊通解按特征根的三種不同情況依下表寫出齊通解 特征根特征根 齊通解齊通解)(21實(shí)rr xrxrececy2121 21rr xrexccy1)(21 jr 2 , 1)sincos(21xcxceyx 例例1 求通解求通解032 yyy解解 特征方程為特征方程為0322 rr特征根為特征根為3, 121 rr齊通解為齊通解為xxececy321 例例2 2.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)

5、(221xexccy 例例3 3.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xcxceyx 例例4 設(shè)圓柱形浮筒，直徑為設(shè)圓柱形浮筒，直徑為0.5 米，鉛直放米，鉛直放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開，浮筒在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開，浮筒在水中振動(dòng)的周期為在水中振動(dòng)的周期為2 秒，求浮筒的質(zhì)量秒，求浮筒的質(zhì)量解解設(shè)浮筒的質(zhì)量為設(shè)浮筒的質(zhì)量為 m 平衡時(shí)平衡時(shí) 圓柱浸入水中深度為圓柱浸入水中深度為 l浮力浮力glr 2重力重力mg mgglr 2 設(shè)設(shè) t 時(shí)刻浮筒上升了時(shí)刻浮筒上升了

6、x 米米 此時(shí)此時(shí)浮力浮力gxlr)(2 重力重力mg 由由newton第二定律第二定律 mggxlrdtxdm )(222 glrgxlr 22)(gxr2 0222 xmgrdtxd 記記mgr22 0222 xdtxd tctcx sincos21 t2)(25.1952kggrm 3310mkg 28 . 9smg mr25. 0 14. 3 三、三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( ypypypynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1

7、110 jk復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個(gè)根個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各含一且每一項(xiàng)各含一個(gè)任意常數(shù)個(gè)任意常數(shù).nnycycycy 2211實(shí)重根實(shí)重根復(fù)單根復(fù)單根復(fù)重根復(fù)重根實(shí)單根實(shí)單根幾種情況幾種情況每個(gè)根對(duì)應(yīng)通解中的一項(xiàng)每個(gè)根對(duì)應(yīng)通解中的一項(xiàng)其寫法與二階方程的情形完全類似其寫法與二階方程的情形完全類似具體分為具體分為例例50)4( yy解解 特征方程為特征方程為014 r解得解得jrr 4 , 32 , 1

8、, 1故所求通解為故所求通解為xcxcececyxxsincos4321 例例6 6.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy解解特征方程為特征方程為, 01222345 rrrrr0) 1)(1(22 rr, 0)1)(1(22 rr特征根為特征根為, 154321jrrjrrr 故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxccxxccecyx 四、小結(jié)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不

9、同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. 0 qyypy02 qprr 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)式式 實(shí)實(shí)根根21rr 實(shí)實(shí)根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1 xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考題解答思考題解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 則則, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxececz 21.ln21xxececy 練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 求求下下列列微微分分方方程程的

10、的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. . 三、三、求作一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求作一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . . 四、四、設(shè)圓柱形浮筒設(shè)圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當(dāng)稍當(dāng)稍向下壓后突然放開向下壓后突然放開, , 浮筒在水中上下振動(dòng)的浮筒在水中上下振動(dòng)的s2周期為周期為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、xeccy421 ； 2 2、tetccx2521)( ；