第六節(jié)：高斯公式

1、第六節(jié)第六節(jié) 高斯公式高斯公式 一、高斯公式一、高斯公式 二、簡單的應(yīng)用二、簡單的應(yīng)用 三、物理意義三、物理意義通量與散度通量與散度 四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題一、高一、高 斯斯 公公 式式格林公式：格林公式： dldxdyypxqqdypdx)(xy0d描述了在閉曲線描述了在閉曲線 l 上的曲線積分上的曲線積分與與 l所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域 d 上的二重積分上的二重積分之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。xyz0 在空間閉曲面在空間閉曲面 上，可以作上，可以作曲面積分曲面積分在在 所圍空間閉區(qū)域所圍空間閉區(qū)域 上，上，可以做三重積分可以做三重積分因此在因此在 上的曲面積分與在上的曲面積分與在 上的三重

2、積分必存在某種聯(lián)系。上的三重積分必存在某種聯(lián)系。l設(shè)設(shè) 是由分片光滑的有向閉曲面是由分片光滑的有向閉曲面 所圍空間閉區(qū)域所圍空間閉區(qū)域并假設(shè)（并假設(shè)（1）用平行于）用平行于 z 軸的直線穿越軸的直線穿越 的內(nèi)部時，的內(nèi)部時，與與 的邊界曲面的邊界曲面 交點恰好為兩點。交點恰好為兩點。 （2） 取外側(cè)。取外側(cè)。xyz0 的形狀如圖所示的形狀如圖所示 1 2 3 321 ),(:11yxzz 取下側(cè)，取下側(cè)，),(:22yxzz 取上側(cè)，取上側(cè)，:3 母線平行于母線平行于 z 軸的柱面，取外側(cè)軸的柱面，取外側(cè)又設(shè)又設(shè) r (x , y , z) 在在 上具有上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

3、在在 xoy 面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為xydxyd),(:11yxzz 取下側(cè)，取下側(cè)，),(:22yxzz 取上側(cè)，取上側(cè)，xyz0 1 2 3 xyd dxdyzyxr),( 1rdxdy 2rdxdy 3rdxdy 1rdxdy 2rdxdy xyddxdyyxzyxr),(,1 xyddxdyyxzyxr),(,2 xydyxzyxr),(,2dxdyyxzyxr),(,1 ),(:11yxzz 取下側(cè)，取下側(cè)，),(:22yxzz 取上側(cè)，取上側(cè)，xyz0 1 2 3 xyd rdxdy xydyxzyxr),(,2dxdyyxzyxr),(,1 dxdydzzr ),(),

4、(21yxzyxzddzzrdxdyxy xydyxzyxr),(,2dxdyyxzyxr),(,1 dxdydzzr dxdyzyxr),(假設(shè)（假設(shè)（1）用平行于）用平行于 z 軸的直線穿越軸的直線穿越 的內(nèi)部時，的內(nèi)部時，與與 的邊界曲面的邊界曲面 交點恰好為兩點。交點恰好為兩點。 （2） 取外側(cè)。取外側(cè)。（3）r (x , y , z) 在在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 dxdydzzr dxdyzyxr),(同理，若用平行于同理，若用平行于 x 軸軸 和和 y 軸的直線穿越軸的直線穿越 的內(nèi)部的內(nèi)部時，與時，與 的邊界曲面的邊界曲面 交點恰好為兩點。交點恰好為兩點。

5、 p (x , y , z)，q (x , y, z) 在在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 dxdydzxp, pdydz dxdydzyq, qdzdx結(jié)論：結(jié)論：假設(shè)條件（假設(shè)條件（1）用平行于）用平行于 z 軸的直線穿越軸的直線穿越 的內(nèi)部的內(nèi)部時，與時，與 的邊界曲面的邊界曲面 交點恰好為兩點。交點恰好為兩點。 （2） 取外側(cè)。取外側(cè)。（3）r (x , y , z) 在在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 dxdydzzr dxdyzyxr),( dxdydzxp, pdydz dxdydzyq, qdzdx結(jié)論：結(jié)論：說明說明 1. 若若 不滿足條件（不

6、滿足條件（1），則可類似于格林公），則可類似于格林公式的情形進(jìn)行處理。式的情形進(jìn)行處理。 2. 三式合并即為三式合并即為 dxdydzzryqxp)( rdxdyqdzdxpdydzp、q、r 在在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 dxdydzzryqxp)( rdxdyqdzdxpdydz定理定理 1: 設(shè)設(shè) 是由分片光滑的有向閉曲面是由分片光滑的有向閉曲面 所圍空間所圍空間閉區(qū)域，閉區(qū)域，其中，其中， 是是 的整個邊界曲面，取外側(cè)。的整個邊界曲面，取外側(cè)。)cos,cos,(cos n是與是與 的側(cè)向一致的法向量的側(cè)向一致的法向量的方向余弦，的方向余弦，記記則由兩類曲面積

7、分之間的關(guān)系，高斯公式又可寫成則由兩類曲面積分之間的關(guān)系，高斯公式又可寫成 dxdydzzryqxp)( dsrqp)coscoscos( 高斯公式是計算第二類曲面積分的有效工具之一。高斯公式是計算第二類曲面積分的有效工具之一。例例1：計算：計算 dxdyzdzdxydydzxi222,)()()(:2222rczbyax 取外側(cè)。取外側(cè)。解：分析：解：分析： 被積函數(shù)都是二次的，求偏導(dǎo)后變?yōu)橐淮伪环e函數(shù)都是二次的，求偏導(dǎo)后變?yōu)橐淮?2xp dxdydzzyxi)(2,2yq ,2zr zryqxp )(2zyx ,)()()(:2222rczbyax ,axx 令令, byy , czz 則

8、則, zdydxddxdydz ,:2222rzyx zdydxdcbazyxi)(2例例1：計算：計算 dxdyzdzdxydydzxi222,)()()(:2222rczbyax 取外側(cè)。取外側(cè)。解：分析：解：分析： 被積函數(shù)都是二次的，求偏導(dǎo)后變?yōu)橐淮伪环e函數(shù)都是二次的，求偏導(dǎo)后變?yōu)橐淮?:2222rzyx zdydxdcbazyxi)(2 zdydxdzyx)(2 zdydxdcba)(2由對稱性知由對稱性知0)( zdydxdzyx zdydxdcbai)(2334)(2rcba xyzoh 例例2：計算：計算 dszyxi)coscoscos(222 其中其中 為錐面為錐面222y

9、xz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0）之間部分的下側(cè)。）之間部分的下側(cè)。)cos,cos,(cos n是與是與 的側(cè)向一致的法向量的側(cè)向一致的法向量的方向余弦。的方向余弦。解：解：應(yīng)用高斯公式時一定要注意條件應(yīng)用高斯公式時一定要注意條件（1） 是分片光滑是分片光滑閉曲面閉曲面（2）p、q、r 在在 上具有一階上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。補(bǔ)充：補(bǔ)充：,:1hz ,222hyx 1 上側(cè)上側(cè)在在1 可以應(yīng)用高斯公式。可以應(yīng)用高斯公式。n例例2：計算：計算 dszyxi)coscoscos(222 其中其中 為錐面為錐面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及

10、 z = h （h 0）之間部分的下側(cè)。）之間部分的下側(cè)。)cos,cos,(cos n是與是與 的側(cè)向一致的法向量的側(cè)向一致的法向量的方向余弦。的方向余弦。解：解：xyzoh 1 在在1 可以應(yīng)用高斯公式?？梢詰?yīng)用高斯公式。 1)coscoscos(222dszyxi 1)coscoscos(222dszyx dxdydzzyx)(2n 12dsz)1 , 0 , 0( 例例2：計算：計算 dszyxi)coscoscos(222 其中其中 為錐面為錐面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0）之間部分的下側(cè)。）之間部分的下側(cè)。)cos,cos,(cos n是與

11、是與 的側(cè)向一致的法向量的側(cè)向一致的法向量的方向余弦。的方向余弦。解：解：xyzoh 1 n dxdydzzyxi)(2 12dsz)1 , 0 , 0( dxdydzyx)(2 zdxdydz2 12dsz zdxdydz2 12dsz zdhzdxdydz02zd 12dshz 例例2：計算：計算 dszyxi)coscoscos(222 其中其中 為錐面為錐面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0）之間部分的下側(cè)。）之間部分的下側(cè)。)cos,cos,(cos n是與是與 的側(cè)向一致的法向量的側(cè)向一致的法向量的方向余弦。的方向余弦。解：解： dxdydzzy

12、xi)(2 12dsz zdhzdxdydz02 12dshxyzoh 1 n)1 , 0 , 0( zdz hdzzz02)(2 的面積的面積12 h42h )(22hh 42h 本題所用方法俗稱本題所用方法俗稱 “封口法封口法”例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzai,:222yxaz 其中其中取上側(cè)。取上側(cè)。解：解：xyz0 dxdyazxdydzaai2)(1n1 補(bǔ)充：補(bǔ)充：, 0:1 z,222ayx 下側(cè)下側(cè)在在1 可以應(yīng)用高斯公式?？梢詰?yīng)用高斯公式。 12)(1dxdyazxdydzaai 12)(1dxdyazxdydzaa dxdydzazaa)(2

13、1xyd222:ayxdxy xyddxdyaa2)0(1 例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzai,:222yxaz 其中其中取上側(cè)。取上側(cè)。解：解： dxdyazxdydzaai2)(1222:ayxdxy dxdydzazaa)(21 xyddxdyaa2)0(1xyz0n1 xyd dxdydz3 dxdydzza23a 32 a ardrrdda0220sincos22 3a 23a 例例4：計算：計算 zdxdyrdzdxxrdydzyilnln, 1:222222 czbyax其中其中取外側(cè)，取外側(cè)，解：解：xyz222zyxr 0分析：經(jīng)計算可得分析：經(jīng)

14、計算可得1 zryqxp故可考慮用高斯公式故可考慮用高斯公式問題：問題：p、q 、r在在 內(nèi)不連續(xù)內(nèi)不連續(xù)以原點為中心作一小球以原點為中心作一小球,:22221 zyx取內(nèi)側(cè)取內(nèi)側(cè)1 在在所圍空間區(qū)域所圍空間區(qū)域1 上上滿足高斯公式的條件。滿足高斯公式的條件。 1 例例4：計算：計算 zdxdyrdzdxxrdydzyilnln, 1:222222 czbyax其中其中取外側(cè)，取外側(cè)，解：解：222zyxr 分析：經(jīng)計算可得分析：經(jīng)計算可得1 zryqxpxyz0 1 1lnlnzdxdyrdzdxxrdydzyi 1lnlnzdxdyrdzdxxrdydzy 11 dxdydz 1lnlnz

15、dxdydzdxxdydzy 23434 abc 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 例例4：計算：計算 zdxdyrdzdxxrdydzyilnln, 1:222222 czbyax其中其中取外側(cè)，取外側(cè)，解：解：222zyxr xyz0 1 23434 abci 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 對于對于,ln yp ,ln xq zr 在在1 所圍的球上應(yīng)用高斯公式所圍的球上應(yīng)用高斯公式 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 21 dxdydz334 23434 abci)34(2 abc 34 二、物理意義二、物理意義-通量與散度通量與散度1. 1. 通量的定義通量的

16、定義: : rdxdyqdzdxpdydz沿場中某一有向曲面沿場中某一有向曲面 的第二類曲面積分的第二類曲面積分稱為該向量場通過曲面稱為該向量場通過曲面 向著指定側(cè)的通量（或流量）向著指定側(cè)的通量（或流量）kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 設(shè)有向量場設(shè)有向量場)cos,cos,(cos n是與是與 的側(cè)向一致的法向量的側(cè)向一致的法向量的方向余弦，的方向余弦， dsrqp)coscoscos( 所以所以 dsna dsan2. 2. 散度的定義散度的定義: :設(shè)有向量場設(shè)有向量場kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 稱稱zryqxp 為該向

17、量場的散度。記作為該向量場的散度。記作adivzryqxpadiv 即即高斯公式高斯公式 dsna dvadiv這里這里 取外側(cè)取外側(cè) dvadivdsan或或.的外側(cè)法向量上的投影的外側(cè)法向量上的投影在曲面在曲面是向量是向量 aannaan 其中其中第十章第六節(jié)作業(yè)第十章第六節(jié)作業(yè)習(xí)題習(xí)題10 6: 2, 3, 4, 8(1), 9 四、小結(jié)四、小結(jié) dsadvadivn3應(yīng)用的條件應(yīng)用的條件4物理意義物理意義2高斯公式的實質(zhì)高斯公式的實質(zhì)1高斯公式高斯公式 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(思考題思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成

18、立？思考題解答思考題解答曲面應(yīng)是分片光滑的曲面應(yīng)是分片光滑的閉閉曲面曲面.一、一、利用高斯公式計算曲面積分利用高斯公式計算曲面積分: : 1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 為球面為球面 2222azyx 外側(cè)；外側(cè)； 2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之間的圓柱體之間的圓柱體922 yx的整個表面的外的整個表面的外 側(cè)；側(cè)； 3 3、 xzdydz, , 其中其中是上半球面是上半球面 222yxrz 的上側(cè)的上側(cè) . . 練練 習(xí)習(xí) 題題二、證明二、證明: :由封閉曲面所包圍的體積為由封閉曲面所包圍的體積為 dszyxv)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,cos,cos是曲面的外法線的方向余弦是曲面的外法線的方向余弦 . . 三、求向量三、求向量kxzjyxizxa22)2( , ,穿過曲面穿過曲面 : :為為 立方體立方體ayax 0,0, ,az 0的全表面的全表面, ,流流 向外側(cè)的通量向外側(cè)的通量 . . 四、求向量場四、求向量場kxzjxyieaxy)cos()cos(2 的散的散度度 . . 五、設(shè)五、設(shè)),(,),(zyxvzyxu是兩個定義在閉區(qū)域是兩個定義在閉區(qū)域